精品解析：2023年浙江省衢州市柯城区江山市龙游县数学第一次模拟试题

2023年江山、龙游、柯城三地初中毕业生适应性考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共有三大题，24小题，共6页．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号分别填写在“答题纸”的相应位置上，不要漏写． 3．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上．本次考试不允许使用计算器．画图用2B铅笔． 参考公式：二次函数（是常数，）图象的顶点坐标是． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某运动鞋品牌店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码 24 24.5 25 25.5 26 265 销售量/双 3 8 16 10 6 2 下次该店主应进货最多的尺码为（ ） A. 24.5 B. 25 C. 25.5 D. 26 4. 如图所示，白球通过两次撞击桌沿，绕过黑球反弹后击中花球．若白球第一次与桌沿撞击时，轨迹与桌沿成，那么白球第二次与桌沿撞击时轨迹与桌沿所成锐角度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，折叠后，是的中线的是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》一共收录了246个数学例题，其中“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题，且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个．求“方程”的例题数是多少个？设“方程”的例题数是个，“勾股”的例题数为个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在的边上，经过点，且与相切于点．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，点是的中点，垂直交延长线于点，若，，则菱形的边长是（ ） A. B. C. 5 D. 6 10. 已知二次函数（其中是常数，），当时，最小值为，则的值为（ ） A. B. 或3 C. 或3 D. 3或 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是______． 13. 图1是一个圆柱体，图2是它的主视图．若，，则该圆柱体的侧面积为______． 14. 某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为______． 15. 如图，正方形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，边的中点正好在反比例函数的图象上，则正方形的边长为____________． 16. 已知图1是一扇开启状态下的某型号窗户，图2是其示意图．导轨固定在窗台上且，固定在连杆上，四边形是平行四边形，滑块可在导轨上自由滑动，滑动过程中连杆的长度均不发生改变，当窗框与导轨垂直时，窗户为完全开启状态． （1）当窗户完全闭合时，点重合，点在导轨上，如图3所示．若，，则______，______cm． （2）在（1）的条件下，窗户从完全闭合状态到完全开启状态，滑块的运动路径长为______cm． 三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程） 17. （1）计算：． （2）化简：． 18. 阅读下列信息，并回答问题． 题目：如图，在中，，，是边上的两点，满足． 求证：． 下面是小亮的证明过程． 证明：， ． 在和中，， ， ． 小亮的证明是否正确？若正确，给出判定的理由；若不正确，写出正确的证明． 19. 如图，在的网格中，线段的端点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请用无刻度的直尺画出符合要求的图形，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）在图1中画出一个以为边的，使顶点在格点上． （2）在图2中的线段上找出一点，使． 20. 某校为了解九年级学生对统计知识的掌握情况，组织了一次测试，并随机抽取了50名学生的测试成绩进行整理、分析，部分信息如下： ①如图是测试成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）． ②学生测试成绩在这一组是： ． ③学生测试成绩的平均数为分，众数为84分． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请写出这次测试的样本容量，及成绩在80分以上（含80分）的学生人数． （2）判定这组数据的中位数所在的组别，并求出中位数的值． （3）在平均数、中位数、众数这三个统计量中，你认为哪一个统计量比较恰当地反映了该校九年级学生对统计知识的掌握情况？请说明理由． 21. 如图，在中，，以为直径的圆分别交，于点，连接交于点．若． （1）求证：． （2）求的长． 22. 某市出租车乘车费用由里程费和等候费两部分组成． 里程费 等候费 里程数 收费标准 累计等候时间 收费标准 不超过 13元 不超过3分钟 免费 超出整千米数（不足1千米按1千米计） 元/千米 超过3分钟的部分（不足1分钟按1分钟计） 元/分钟 如：从甲地乘出租车到乙地，全程4千米，途中累计等候时间为5分钟，则乘车费用为：（元）． 如图是小江家小龙家、小柯家及体育馆的相对位置示意图，图中数据表示两地间路程． （1）小江某天乘出租车沿路线直达体育馆，求小江这次乘出租车的乘车费用． （2）若乘出租车的里程整千米数为，途中累计等候时间为4分钟时，乘车费用为（元），求关于的函数表达式． （3）小江、小龙、小柯三人相约去体育馆观看足球赛，有如下2种乘出租车方案（中逢每接1人累计等候时间为2分钟）． 方案一：小江从家出发，依次接上小龙和小柯，沿路线前往体育馆． 方案二：小江从家出发接上小龙沿路线，小柯从家出发沿路线分别前往体育馆． 若两种方案的乘车费用相同，求小龙家B与小柯家C间的路程． 23. 根据素材，解决问题． 素材1：在忽略空气阻力的条件下，篮球在空中的飞行距离可分解为水平方向距离和竖直方向距离，水平方向距离适用公式：，竖直方向距离适用公式：，其中为篮球的初始速度，为飞行时间，为初始速度方向与水平面夹角． 素材2：篮球运动员小明在某次投篮训练时，篮球出手点离地面距离为，投篮的初始速度方向与水平面夹角等于．（参考数据：） （1）若小明投篮的初始速度为，解决下列问题． ①当时，则___________m，_____________，此时篮球距离地面___________． ②记篮球的水平方向距离为，篮球与地面的距离为，求关于的函数表达式． （2）在又一次投篮中，当篮球在空中飞行的水平方向距离为时，篮球到地面的距离恰为，试确定这次投篮的篮球的初始速度． 24. 如图，在四边形中，，、分别平分、，并交线段、于点、，于点，与交于点．，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）求的长和的值． （3）如图，分别在线段、上取点、，连结、、，使，当为直角三角形时，直接写出所有满足条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年江山、龙游、柯城三地初中毕业生适应性考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共有三大题，24小题，共6页．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号分别填写在“答题纸”的相应位置上，不要漏写． 3．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上．本次考试不允许使用计算器．画图用2B铅笔． 参考公式：二次函数（是常数，）图象的顶点坐标是． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得， ∴四个数中，最大的数是． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、幂的乘方法则逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，A选项计算错误； B、，B选项计算错误； C、，C选项计算错误； D、，D选项计算正确； 故选：D． 3. 某运动鞋品牌店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售量/双 3 8 16 10 6 2 下次该店主应进货最多的尺码为（ ） A. 24.5 B. 25 C. 25.5 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，该品牌店店主为了促销再次进货，此次进货应参考的是试销售期间所售出鞋的尺码的众数，再由众数的定义求解即可得出答案． 【详解】解：该品牌店店主为了促销再次进货，此次进货应参考的是试销售期间所售出鞋的尺码的众数，由表格可得，出现的次数最多，有次，故众数为， ∴下次该店主应进货最多的尺码为， 故选：B． 4. 如图所示，白球通过两次撞击桌沿，绕过黑球反弹后击中花球．若白球第一次与桌沿撞击时，轨迹与桌沿成，那么白球第二次与桌沿撞击时轨迹与桌沿所成锐角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了两角互余的性质，理解反射角等于入射角，准确识图．根据两角互余的性质及反射角等于入射角解决问题． 详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴白球第二次与桌沿撞击时轨迹与桌沿所成锐角度数为， 故选：B 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组的解集是解题的关键．先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可． 【详解】解：∵解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， 表示到数轴上如下： 故选：C． 6. 如图，折叠后，是的中线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是的中线，可推出点是中点，再根据翻折可知道与是对称点，即可求出答案. 【详解】解：是的中线， 是中点， ， 由图可知，根据翻折性质，满足的只有选项C. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的中线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形. 7. 《九章算术》一共收录了246个数学例题，其中“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题，且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个．求“方程”的例题数是多少个？设“方程”的例题数是个，“勾股”的例题数为个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程组，解题的关键在于找准等量关系．根据“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题，且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个，列出方程即可解题． 【详解】解：“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题， ， 又且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个， ， 可列方程为， 故选：D． 8. 如图，点在的边上，经过点，且与相切于点．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的另一个交点为点D，连接，解直角三角形求出，然后可得和的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，设与的另一个交点为点D，连接， ∵是切线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理的推论以及弧长公式的运用，求出的度数是解答本题的关键． 9. 如图，菱形中，点是的中点，垂直交延长线于点，若，，则菱形的边长是（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过C作延长线于M，根据，设，由菱形的性质表示出，由平行线分线段成比例表示出，根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：过C作延长线于M， ∵， ∴设， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得或（舍去）， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题． 10. 已知二次函数（其中是常数，），当时，的最小值为，则的值为（ ） A. B. 或3 C. 或3 D. 3或 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后分两种情况和，分别根据题意列方程求解即可． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴为， 当时，抛物线开口向上， ∴当时， ∴当时，的最小值为， ∴，解得； 当时，抛物线开口向下， ∴当时， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴，解得， 综上所述，的值为． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】∵一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个白球， ∴从中任意摸出一个球恰好是白球的概率为： ， 故答案为． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．注意概率是所求情况数与总情况数之比． 13. 图1是一个圆柱体，图2是它的主视图．若，，则该圆柱体的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图和圆柱侧面积计算，先根据主视图得出圆柱底面圆的直径为，高为，再根据圆柱体的侧面积公式求解可得，解题的关键是掌握圆柱侧面积的计算． 【详解】解：由题意知，该圆柱底面圆的直径为，高为， 则该圆柱的侧面积为， 故答案为：． 14. 某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可． 【详解】解：取与的交点为点G， 由题意得，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键． 15. 如图，正方形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，边的中点正好在反比例函数的图象上，则正方形的边长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的中点为E，连接交于点F，根据对称性得到，进而求得，勾股定理求出，然后，则，利用解方程求解即可． 【详解】如图所示，设的中点为E，连接交于点F， ∵四边形是正方形，边的中点正好在反比例函数的图象上， ∴根据对称性可得，是平分线 ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴设， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴解得． ∴正方形边长为： 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数与几何综合题，正方形和矩形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16. 已知图1是一扇开启状态下的某型号窗户，图2是其示意图．导轨固定在窗台上且，固定在连杆上，四边形是平行四边形，滑块可在导轨上自由滑动，滑动过程中连杆的长度均不发生改变，当窗框与导轨垂直时，窗户为完全开启状态． （1）当窗户完全闭合时，点重合，点在导轨上，如图3所示．若，，则______，______cm． （2）在（1）的条件下，窗户从完全闭合状态到完全开启状态，滑块的运动路径长为______cm． 【答案】 ①. 4 ②. 12 ③. 16 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再根据线段的和与差即可求解； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；结合（1）的结论即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，如图3， ， ∴， 故答案为：4，12； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，滑块移动的距离为， 故答案为：16． 三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程） 17. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据算术平方根的定义、绝对值，有理数的乘方和除法运算法则计算，再计算加减即可得答案； （2）根据分式的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了算术平方根的定义、绝对值，有理数的乘方和除法运算，分式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 18. 阅读下列信息，并回答问题． 题目：如图，在中，，，是边上的两点，满足． 求证：． 下面是小亮证明过程． 证明：， ． 在和中，， ， ． 小亮的证明是否正确？若正确，给出判定的理由；若不正确，写出正确的证明． 【答案】小亮的证明不正确，正确的证明过程见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．理解“”无法证明三角形全等，根据，，得到，，进而推出，利用“”证明，进而得出． 【详解】解：小亮的证明不正确， 正确的证明过程如下： 证明：， ， 又， ， ， 在和中，， ， ． 19. 如图，在的网格中，线段的端点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请用无刻度的直尺画出符合要求的图形，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）在图1中画出一个以为边的，使顶点在格点上． （2）在图2中的线段上找出一点，使． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）取格点C，连接和即可； （2）取格点E，F，连接交于点D，点D即为所求． 【小问1详解】 解：如下图，取格点C，连接和， 由题意可知：， 为； 【小问2详解】 如下图，取格点E，F，连接交于点D， 由题意可知：， ， ， 点D即为所求． 【点睛】本题考查了考查了作图，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 20. 某校为了解九年级学生对统计知识的掌握情况，组织了一次测试，并随机抽取了50名学生的测试成绩进行整理、分析，部分信息如下： ①如图是测试成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）． ②学生测试成绩在这一组的是： ． ③学生测试成绩的平均数为分，众数为84分． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请写出这次测试的样本容量，及成绩在80分以上（含80分）的学生人数． （2）判定这组数据的中位数所在的组别，并求出中位数的值． （3）在平均数、中位数、众数这三个统计量中，你认为哪一个统计量比较恰当地反映了该校九年级学生对统计知识的掌握情况？请说明理由． 【答案】（1）50，23人 （2）第三组，即分；77.5分 （3）选择中位数，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、中位数，能从频数分布直方图中获得有效信息，掌握中位数的定义及应用是解答的关键． （1）根据样本容量的概念和频数分布直方图求解即可； （2）根据中位数的概念求解即可； （3）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取了50名学生的测试成绩进行整理、分析， ∴样本容量为50； 成绩在80分以上（含80分）人， ∴成绩在80分以上（含80分）的学生人数为23人； 【小问2详解】 解：∵随机抽取了50名学生的测试成绩进行整理、分析， ∴中位数在第三组，即分， ∴中位数为第25个数和第26个数的平均数， ∴， ∴中位数为分； 【小问3详解】 解：中位数比较恰当地反映了该校九年级学生对统计知识的掌握情况． ∵中位数是一组数据中位置处于中间的数，表示了中间水平，不会受极端值的影响． 21. 如图，在中，，以为直径的圆分别交，于点，连接交于点．若． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7.2 【解析】 【分析】（1）首先根据圆直径的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一性质求解即可； （2）首先利用勾股定理求出，然后利用等面积法得到，最后利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴； 【小问2详解】 ∵是圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴解得， ∴． 【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 某市出租车乘车费用由里程费和等候费两部分组成． 里程费 等候费 里程数 收费标准 累计等候时间 收费标准 不超过 13元 不超过3分钟 免费 超出整千米数（不足1千米按1千米计） 元/千米 超过3分钟的部分（不足1分钟按1分钟计） 元/分钟 如：从甲地乘出租车到乙地，全程4千米，途中累计等候时间为5分钟，则乘车费用为：（元）． 如图是小江家小龙家、小柯家及体育馆的相对位置示意图，图中数据表示两地间路程． （1）小江某天乘出租车沿路线直达体育馆，求小江这次乘出租车的乘车费用． （2）若乘出租车的里程整千米数为，途中累计等候时间为4分钟时，乘车费用为（元），求关于的函数表达式． （3）小江、小龙、小柯三人相约去体育馆观看足球赛，有如下2种乘出租车方案（中逢每接1人累计等候时间为2分钟）． 方案一：小江从家出发，依次接上小龙和小柯，沿路线前往体育馆． 方案二：小江从家出发接上小龙沿路线，小柯从家出发沿路线分别前往体育馆． 若两种方案的乘车费用相同，求小龙家B与小柯家C间的路程． 【答案】（1）小江这次乘出租车的乘车费用为33元； （2）关于函数表达式为； （3）小龙家B与小柯家C间的路程为． 【解析】 【分析】（1）由已知条件计算即可求解； （2）由题意列式计算即可求解； （3）设小龙家B与小柯家C间的路程为，由题意得到关于S的，解出S即可． 【小问1详解】 解：小江某天乘出租车沿路线直达体育馆， 由题意得，总里程为（千米）， ∴（元）， ∴小江这次乘出租车的乘车费用为33元； 【小问2详解】 解：乘出租车的里程整千米数为，途中累计等候时间为4分钟时，乘车费用为（元）， 由题意得，， ∴关于的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设小龙家B与小柯家C间的路程为， 方案一：小江从家出发，依次接上小龙和小柯，沿路线前往体育馆， 此时总里程，途中累计等候时间为4分钟， ∴乘车费用为（元）， 方案二：小江从家出发接上小龙沿路线，小柯从家出发沿路线分别前往体育馆． ∴乘车费用为（元）， ∵两种方案的乘车费用相同， ∴，解得， ∴小龙家B与小柯家C间的路程为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分段函数的应用，根据题意求出函数的解析式是解答本题的关键． 23. 根据素材，解决问题． 素材1：在忽略空气阻力的条件下，篮球在空中的飞行距离可分解为水平方向距离和竖直方向距离，水平方向距离适用公式：，竖直方向距离适用公式：，其中为篮球的初始速度，为飞行时间，为初始速度方向与水平面夹角． 素材2：篮球运动员小明在某次投篮训练时，篮球的出手点离地面距离为，投篮的初始速度方向与水平面夹角等于．（参考数据：） （1）若小明投篮的初始速度为，解决下列问题． ①当时，则___________m，_____________，此时篮球距离地面___________． ②记篮球的水平方向距离为，篮球与地面的距离为，求关于的函数表达式． （2）在又一次投篮中，当篮球在空中飞行的水平方向距离为时，篮球到地面的距离恰为，试确定这次投篮的篮球的初始速度． 【答案】（1）①3，2.75，4.45；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据水平方向距离适用公式和竖直方向距离适用公式代入求解即可； ②根据和求解即可； （2）将，代入求出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 ①∵，小明投篮的初始速度为， ∴， ∴ ∴此时篮球距离地面， 故答案为：3，2.75，2.75； ②∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 当时， ∴ ∴解得 ∴将，代入得， ∴解得． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 24. 如图，在四边形中，，、分别平分、，并交线段、于点、，于点，与交于点．，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）求的长和的值． （3）如图，分别在线段、上取点、，连结、、，使，当为直角三角形时，直接写出所有满足条件的的长． 【答案】（1）平行，理由见解析 （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件推理出，根据平行线的判定证明平行即可； （2）根据，，，结合勾股定理先求出，再算出；过点作的垂线交于点，证明，利用面积法算出，再计算出即可； （3）根据，当为直角三角形时，分类讨论和两种情况时计算的长即可． 【小问1详解】 解：， （四边形内角和为）， （直角三角形的两个锐角互余）， 、分别平分、，并交线段、于点、， ，， ， ， （同位角相等，两直线平行）； 【小问2详解】 如下图，连接，过点作的垂线交于点 ，，平分，，， ，， , 在和中 ，， 设， 梯形的面积， 解得，即， ． 【小问3详解】 如下图，过点作的垂线交于点， ， , 在和中 ， ，， ，， 解得，， ， ， ∴， ，， ∴， ，， 情况一：当时，如下图，分别过点、作的垂线交于点、 ， ，即， ， ， ， ， ， 平分，， ∴， ， 又，，， ，，， 设，则，， ， ， ， ， ； 情况二：当时，如下图，分别过点、、作直线的垂线交于点、、， ，，， ， ，， 又， ， 结合情况一，同理， 设，则，， ， ， 解得，则， ， 综上所述的长为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定、勾股定理、三角函数计算、相似三角形，根据不同情况分类讨论、画出图象推理证明和计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$