精品解析：江苏省射阳中学2024-2025学年高三上学期7月月考数学试题

数学学科阶段练习（一） 时间：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组函数和，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为 A. B. C. D. 5. 下列各函数中，值域为的是（　　） A. B. C. D. 6. 若存在正数，使成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 命题：“，”的否定为真命题的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数,下列说法正确的是( ) A. 若定义域为R,则 B. 若值域为R,则 C. 若最小值为0,则 D. 若最大值为2,则 11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.给出定义：在平面直角坐标系中，能够将圆心位于坐标原点的圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题： ①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个； ②函数可以是某个圆的“优美函数”； ③余弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数是“优美函数”的充要条件为存在，使得对恒成立. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的定义域为，则实数______. 13. 已知函数在区间内是减函数，则 的取值范围为__________. 14. 已知函数（且 ≠1），若对任意.存在使得成立，则实数 的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）． 16. 已知二次函数的图象经过点和，且函数在上的最大值为4. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围. 17. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数 的取值范围. 18. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 设 为实数，函数 （1）若求 的取值范围； （2）求的最小值； （3）设函数求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科阶段练习（一） 时间：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题， 得命题的否定为. 故选：D. 2. 下列四组函数和，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的概念，分别判定两个函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于B中，函数和函数，两函数的对应法则不同，所以不是同一函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 故选C. 【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中根据同一函数的概念，分别判定两个函数的定义域和对应法则是否相同是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围. 【详解】由题意得，解得，故， 因为，所以. 故选：A 4. 若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出函数的图象，此函数是偶函数，当时，即为，而函数，即可得出所求函数图象． 【详解】当时，函数始终满足， 必有， 所以， 先画出函数的图象：在y轴右侧递减的关于y轴对称的图象．如图中黑色曲线， 而函数，与函数图象关于 轴对称， 其图象为在y轴右侧递增的关于y轴对称的图象，如图中虚线部分． 故选：B． 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属中档题 5. 下列各函数中，值域为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可． 【详解】解：∵，∴的值域是R，不满足条件． ∵，则函数的值域为，不满足条件． ∵，即函数的值域为，满足条件． ∵，∴，不满足条件． 故选：C． 6. 若存在正数 ，使成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将给定不等式变形并分离参数，构造函数，再求其值域即可得解. 【详解】存在正数 ，成立成立成立， 令，显然在上单调递增， ，即值域为， 依题意有， 所以实数 的取值范围是. 故选：C 7. 若，设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可. 【详解】由题意知，由， 所以为偶函数，图象关于 轴对称， 当时，由复合函数的单调性法则知随 的增大而增大， 即 ， 单调递增， 因为，， 且，， 所以，所以， 即，也就是. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，且对任意实数 有，若函数的图象关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到函数是以为周期的周期函数，且，结合周期性和，得到，即可求解. 【详解】由题意，函数对任意实数 有， 可得， 则， 所以函数是以为周期的周期函数， 又由函数的图象关于直线对称， 可得函数的图象关于 轴对称，即， 因为，所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 命题：“，”的否定为真命题的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出命题的否定，再判断取值范围即可得出结果. 【详解】命题：“，”的否定为“，”， 当时，恒成立，符合题意； 当时，， 综上，， 故选：AB 10. 已知函数,下列说法正确的是( ) A. 若定义域为R,则 B. 若值域为R,则 C. 若最小值为0,则 D. 若最大值为2,则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可. 【详解】对于A，若函数定义域为R,则恒成立, 当时,恒成立,满足题意, 当时,则有,解得, 所以实数 的取值范围为,故选项A错误； 对于B，若函数值域为R,则能取尽大于零的所有实数， 当时,,不满足题意， 当时,则有,解得， 所以若值域为R,则,故选项B正确； 对于C，若函数最小值为0,则有最小值1， 由二次函数的图象和性质得,解得,故选项C正确; 对于D，若函数最大值为2,则有最大值4, 由二次函数的图象和性质得,解得,故选项D正确. 故选:BCD. 11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.给出定义：在平面直角坐标系中，能够将圆心位于坐标原点的圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题： ①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个； ②函数可以是某个圆的“优美函数”； ③余弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数是“优美函数”的充要条件为存在，使得对恒成立. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】AB 【解析】 【分析】根据定义分析可得优美函数的特征为函数图象关于圆心（即坐标原点）成中心对称，再逐一分析各个命题即可得解. 【详解】依题意，函数是优美函数，等价于函数图象关于圆心（即原点）成中心对称， 对于A，以原点为对称中心的中心对称图形有无数个，如函数，为常数，命题①是真命题，A正确； 对于B，函数的定义域为R， ， 即函数的图象关于原点成中心对称，命题②是真命题，B正确； 对于C，余弦函数不是关于原点成中心对称的图形，命题③是假命题，C错误； 对于D，函数的图象关于点成中心对称，而点不一定为原点，命题④是假命题，D错误. 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的定义域为，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及性质，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得或， 当时，，定义域为； 当时，，定义域为，不满足； 所以. 故答案为：3 13. 已知函数在区间内是减函数，则 的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得， 所以 的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数（且 ≠1），若对任意.存在使得成立，则实数 的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式. 根据题意可得只需即可 【详解】根据题意可得只需即可， 由题可知 为对数底数且或. 当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，， 所以，即，可得； 当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，可得. 综上：. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用对数运算及换底公式计算即得. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知二次函数的图象经过点和，且函数在上的最大值为4. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）运用二次函数的图像及性质可求函数解析式， （2）依题意，转化为一元二次不等式恒成立问题，结合一元二次函数图象即可解决. 【小问1详解】 因为二次函数的图象经过点和， 所以函数的对称轴为， 又函数在上的最大值为4，所以函数的顶点坐标为，开口向下， 设（），把点代入得，解得， 所以. 【小问2详解】 依题意：不等式对于一切实数x均成立， 即，即对于一切实数x均成立， 所以，即， 即，解得或， 所以m的取值范围为. 17. 已知函数 （1）解关于x的不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】由一元二次不等式以及对数不等式即可求解； （2）分离参数，结合对勾函数的性质求解最值即可得a的取值范围. 【小问1详解】 因为定义域为，则 ， 设.则不等式可化为，即， 解得或，即或， 解得或. 所以不等式的解集为或 【小问2详解】 因为， 所以， 设，则， 原问题化为：存在. 即在上有解. 因为在上单调递减，所以， 所以. 18. 对于函数，若其定义域内存在实数 满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推导出矛盾的结论即可得证； （2）由幂函数定义求得解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“”在R上有解，然后通过换元法，结合二次函数的零点分布知识求解． 【小问1详解】 假设为“伪奇函数”，∴存在 满足， ∴有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”； 【小问2详解】 为幂函数，∴，∴． ∴， ∵为定义在的“伪奇函数”， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，∴在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， ∴，，∴的值域为， ∴，∴； 【小问3详解】 设存在满足，即在上有解， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，取等号时 ， ∴在上有解， ∴在上有解（*）， ∵，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，∴， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，∴， 综上可知，． 【点睛】方法点睛：本题考查新定义问题，有判断与新定义有关的问题时可能用反证法，这样可能通过新定义进行转化，然后证得结论．本题(2)(3)小题都是通过新定义转化为方程在某个区间有解问题，再利用已知函数知识求解即可． 19. 设 为实数，函数 （1）若求 的取值范围； （2）求的最小值； （3）设函数求不等式的解集. 【答案】（1） （2）见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）代入即可根据一元二次不等式即可求解， （2）根据二次函数的性质，结合分类讨论即可求解， （3）由分类讨论，结合二次不等式的性质即可求解. 【小问1详解】 若，则 【小问2详解】 当时，为开口向上，对称轴为的二次函数，所以， 故 当时，为开口向上，对称轴为的二次函数， ，即 【小问3详解】 时，由，得， ， 当或时，此时不等式的解为， 当时，， 得 当时，则, 故当时，不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为 当，得，此时不等式的解为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $