第十四章 三角形 章节测试卷 2023-2024学年 沪教版 （上海）七年级数学第二学期

第十四章《三角形》章节测试卷 一、单选题(共18分) 1．已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 2．在和中，已知，，，，，，能证明的判定方式为（    ） A． B． C． D． 3．的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 4．下列说法中正确的是（   ） A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等 5．若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　） A． B． C．或 D．或 6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 一定成立的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤ 二、填空题(共24分) 7．若三角形三个内角满足，则______． 8．已知a、b、c为三角形的三边，且则，则三角形的形状是 _____． 9．如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ___________． 10．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则___________． 11．已知的三边长分别是4、5、8，的三边分别是4、、，若这两个三角形全等，则______． 12．如图，在中，，，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为______． 13．在等腰三角形中，其中一内角为，腰的垂直平分线交所在的直线于点，则的度数为______． 14．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______． 15．如图，点是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长度为____． 16．如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如、、……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则最多能焊接___________根． 17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，底边的长为5，则腰的长为___________． 18．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为______. 三、解答题(共58分) 19．(本题5分)如图，已知，点分别在上，交于点，交的延长线于点，．求证：． 20．(本题5分)如图，中，，两条高和交于．求证：． 21．(本题7分)如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由． 22．(本题7分)如图，已知，，，，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 23．(本题8分)如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC． (1)试说明△ADC与△BEC全等的理由； (2)试判断△DCE的形状，并说明理由． 24．(本题8分)如图，已知等边△ABC和等边△CDE，P、Q分别为AD、BE的中点． (1)试判断△CPQ的形状并说明理由． (2)如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状会改变吗？请你将图2中的图形补画完整并说明理由． 25．(本题8分)已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． (1)求∠DOE的度数； (2)试判断△MNC的形状，并说明理由． 26．(本题10分)在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明； (3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明． 答案 一、 1．D 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 2．A 【分析】根据全等三角形的判定方法并结合所给条件可得答案． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， 在和中， ， ∴． 故选：A． 3．D 【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形； B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形； C、因为 ，所以，则，所以是等腰三角形； D、因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形． 故选：D. 4．D 【分析】根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质判定即可． 【详解】解：A、两腰对应相等的两个等腰三角形，只有两边对应相等，所以不一定全等，不合题意； B、两锐角对应相等的两个直角三角形，缺少对应的一对边相等，所以不一定全等，不合题意； C、面积相等的两个三角形形状不一定相同，则不一定全等，不合题意； D、斜边对应相等的两个等腰直角三角形，满足三个角及一条边对应相等，故全等，符合题意； 故选：D． 5．B 【分析】利用非负性，求出的值，分是腰长和是腰长，两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 当是腰长时：，三边不能构成三角形， ∴为腰长， ∴三角形的周长是：； 故选B． 6．D 【分析】①根据和是等边三角形可知，，，从而证出，可推知；②由得和，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤先根据全等三角形的性质可得，再根据，可知⑤正确． 【详解】解：①和为等边三角形， ，，， ， 在和中，， ， ，，①正确； ②， 在和中，， ． ， ， ， ，②正确； ③同②得：， ，③正确； ④，且， ，④错误； ⑤， ， ，⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 二、填空题(共24分) 7． 【分析】根据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 8．等边三角形 【分析】先把所给等式左右两边同时乘以2，然后利用完全平方公式得到，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 9．3 【分析】由等边三角形的性质可得，根据是边上的高线，可得，再由题中条件，即可求得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高线， ∴D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 10． 【详解】根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得． 【解答】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故答案为：． 11．6或 【分析】根据全等三角形的性质得到，，或，，分别求出x，y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，，或，， ∴或， ∴或， 故答案为：6或． 12．厘米 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，再由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 则(厘米)， 故答案为：厘米． 13．或 【分析】根据等腰三角形的一个内角为，分类讨论等腰三角形，当等腰三角形角为：，，；当等腰三角形角为：，，；再根据垂直平分线的性质，即可． 【详解】∵等腰三角形中，其中一个内角为， ∴当，，如下图： ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 当，，如下图： ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为：或者． 故答案为：或者． 14．11或15 【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，底边为，根据中点定义得到与相等都等于腰长的一半，边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，分别表示出两部分，然后分，或，两种情况分别列出方程组，分别求出方程组的解即可得到与的两对值，根据三角形的两边之和大于第三边判定能否构成三角形，即可得到满足题意的等腰三角形的底边长． 【详解】解：依题意可得：这一边上的中线为腰上的中线，画出图形如下： 设这个等腰三角形的腰长为，底边长为， 为的中点， ， 根据题意得：或， 解得：或． 又三边长12、12、15和14、14、11均可以构成三角形， 底边长为11或15． 故答案为：11或15． 15．6 【分析】根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，同理，，于是得到结论． 【详解】平分， ， ∵， ， ， ， 同理，， ， ， 故答案为：6． 16．17 【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理求解． 【详解】解：焊接的钢管的长度都与的长度相等，即， ，即第一个等腰的底角是； ，即第二个等腰的底角是； ，即第三个等腰的底角是； …… 等腰三角形的底角度数是5的倍数，且最大的角为， 最多能焊接（根）， 故答案为：17． 17．10 【分析】分两种情况讨论：①；②，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形， ， 是“倍长三角形”，， ①当时，； ②当时，，根据三角形三边关系，此时，A、B、C不能构成三角形，不符合题意， 所以，若等腰是“倍长三角形”，底边的长为5，则腰的长为10， 故答案为：10． 18．1 【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可． 【详解】过点P作交于点F，如图， ∴，，是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∴，， ∵，， ∴， ∵， 故答案为： 三、解答题 19．解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．证明：由题意可得： ∴ ∴ 又∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 21．解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠DBF， 又∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴， ∴∠AFE＝∠DEB， 又∵∠DEB＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形． 22．（1）证明：，， ， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：设与交于点， ∵， ， ， ， ， （对顶角相等）， ， 在中，， ∴． 23． （1） ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， 在△ADC和△BEC中， ， ∴△ADC≌△BEC（SAS）； （2） △DCE是等边三角形；理由如下： ∵△ADC≌△BEC， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC， 即△DCE是等腰三角形， ∴△DCE是等边三角形． 24．(1) 如图1， △CPQ是等边三角形．理由如下： ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴∠C＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∴AC﹣DC＝BC﹣EC，即AD＝BE． ∵P、Q分别为AD、BE的中点， ∴PD＝EQ， ∴CD+DP＝CE+EQ，即CP＝CQ， ∴△CPQ是等边三角形； (2) 如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状不会改变．理由如下： 如图2， ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∵∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE （SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，即∠CAP＝∠CBQ． ∵P是AD的中点，Q是BE的中点， ∴AP＝AD，BQ＝BE， ∴AP＝BQ， ∴在△ACP与△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS）， ∴PC＝QC，∠BCQ＝∠ACP， ∵∠BCQ+∠ACQ＝∠ACB＝60°， ∴∠ACP+∠ACQ＝60°， ∴∠PCQ＝60°， ∴△CPQ是等边三角形． 25．（1） 解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌BCE（SAS）， ∴∠ADC=∠BEC， ∵△DCE是等边三角形， ∴∠CED=∠CDE=60°， ∴∠ADE+∠BED =∠ADC+∠CDE+∠BED =∠ADC+60°+∠BED=∠BEC+∠CED+60° =∠DEC+60° =60°+60° =120°， ∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°； （2） 解：△MNC是等边三角形，理由如下： 由（1）得：△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE，AD=BE， 又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点， ∴AM=AD，BN=BE， ∴AM=BN， 在△ACM和△BCN中，， ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴CM=CN，∠ACM=∠BCN， 又∵∠ACB=60°， ∴∠ACM+∠MCB=60°， ∴∠BCN+∠MCB=60°， ∴∠MCN=60°， ∴△MNC是等边三角形． 26．（1）证明：①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ， ∴； ②∵， ∴，， ∴． （2）解：． ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）解：． ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$