精品解析：湖北省宜昌市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

期末模拟复习卷（一） 一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 7，8，9 D. 6，8，10 2. 函数＝的自变量取值范围是( ) A. －2≤≤2 B. 且≠1 C. ＞－2 D. －2≤≤2且≠1 3. 21名学生比赛成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前10名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这21名学生成绩的（ ） A. 平均数 ​ B. 众数​ C. 方差 D. 中位数 4. 已知一组数据的方差为，则（ ） A. 这组数据有12个 B. 这组数据的平均数是6 C. 方差是一个非负数 D. 每个数据加5，方差的值增加5 5. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. x3+x3＝x6 B. x2•x3＝x5 C. （x+3）2＝x2+9 D. ﹣＝ 6. 如图，正方形的周长为，则矩形的周长是（　　） A. B. C. D. 7. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直 D. 测量四条边是否相等 9. 已知直线y＝kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜x的解集为（　　） A. 3＞x＞﹣3 B. x＜﹣3 C. 3＜x＜6 D. 5＞x＞3 10. 用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，表示直角三角形的两直角边长，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 11. 化简：______． 12. 如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作于点B，且，以原点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是_______． 13. 若，则_____． 14. 若直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为，则直线的解析式为_________． 15. 如图，是菱形ABCD的对角线，，．若点P，点Q分别是上的动点，连接，则的最小值是______． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，某隧道是一个双向通车的隧道，隧道的截面是一个半径为米的半圆形，一辆高米，宽米的卡车能通过该隧道吗？为什么？ 18. 某校为提高学生的安全意识，开展了安全知识竞赛，这次竞赛成绩满分为10分．现从该校七年级中随机抽取10名学生的竞赛成绩，这10名学生的竞赛成绩是：10，9，9，8，10，8，10，9，7，10． （1）求这10名学生竞赛成绩的中位数和平均数； （2）该校七年级共400名学生参加了此次竞赛活动，根据上述10名学生竞赛成绩情况估计参加此次竞赛活动成绩为满分的学生人数是多少？ 19. 已知：如图，在菱形中，，分别是，上的点， （1）如图1，若；求证：； （2）如图2，若，，求的度数． 20. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从A地到达B地的行驶时间； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程． 21. 如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF． （1）求证：DF＝PG； （2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积． 22. 某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题： （1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？ （3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值． 23. 如图1，矩形ABCD中，点E，P，K分别在AB，AD，BC上，且DE⊥PK，DE＝PK． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）如图2，在（1）的条件下，△EFC是等腰直角三角形，∠CEF＝90°，FG⊥AD于点G． ①求证：AG＝FG； ②若点H为CF的中点，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴正半轴上，且OB=2OA，OB−OC=OC−OA=2. (1)求点C的坐标； (2)点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿BA向终点A匀速运动，当点Q到达终点A时，点P、Q均停止运动，设点P运动的时间为t(t＞0)秒，线段PQ的长度为y，用含t的式子表示y，并写出相应的t的范围； (3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线PM，PM=PQ，是否存在t值使点O为PQ中点? 若存在求t值并求出此时△CMQ的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末模拟复习卷（一） 一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 7，8，9 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的知识．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，2，3，4不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，3，4，6不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，7，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，6，8，10是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 函数＝的自变量取值范围是( ) A. －2≤≤2 B. 且≠1 C. ＞－2 D. －2≤≤2且≠1 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知： 据此解得的范围． 详解：要使函数=有意义， 则 解得且x≠1. 故选B. 点睛：考查自变量的取值范围. 分式有意义的条件是分母不为0；二次根式有意义的条件为被开方数大于或等于0. 3. 21名学生比赛成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前10名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这21名学生成绩的（ ） A. 平均数 ​ B. 众数​ C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择．21人成绩的中位数是第11名的成绩，参赛选手要想知道自己是否能进入前10名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有21个人，且他们的分数互不相同，第11名的成绩是中位数，要判断是否进入前10名，故应知道中位数是多少，故D正确． 故选：D． 4. 已知一组数据的方差为，则（ ） A. 这组数据有12个 B. 这组数据的平均数是6 C. 方差是一个非负数 D. 每个数据加5，方差的值增加5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方差的定义与意义∶一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的公式可以得到平均数． 【详解】解：由于这组数据的方差是，得： 这组数据有6个，故选项A不符合题意； 这组数据的平均数是12，故选项B不符合题意； 方差是一个非负数，说法正确，故选项C符合题意； 每个数据加5，方差的值不变，故选项D不符合题意． 故选：C． 5. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. x3+x3＝x6 B. x2•x3＝x5 C. （x+3）2＝x2+9 D. ﹣＝ 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；以及二次根式的减法运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、x3+x3＝2x3，故选项A不符合题意； B、x2•x3＝x5计算正确，故选项B符合题意； C、（x+3）2＝x2+6x+9，故选项C不符合题意； D、二次根式与不是同类二次根式故不能合并，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则和完全平方公式与合并同类项的法则以及二次根式的减法运算法则，解题的关键是熟记各种运算法则． 6. 如图，正方形的周长为，则矩形的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用及矩形的周长的计算方法的运用．由正方形的周长为，易得，又由矩形，易得与是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形的周长为， ， 四边形是矩形， ， 与是等腰直角三角形， ，， 矩形的周长是：． 故选：B． 7. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 8. 在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直 D. 测量四条边是否相等 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解:A、测量一组对边是否平行且相等，能判定平行四边形，不能判定菱形,故选项A不符合题意; B、测量四个内角是否相等，能判定矩形,不能判定菱形,故选项B不符合题意; C、测量两条对角线是否互相垂直,不能判定菱形,故选项C不符合题意; D、测量四条边是否相等,能判定菱形,故选项D符合题意． 故选：D. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识,熟练掌握菱形的判定是解题的关键. 9. 已知直线y＝kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜x的解集为（　　） A. 3＞x＞﹣3 B. x＜﹣3 C. 3＜x＜6 D. 5＞x＞3 【答案】C 【解析】 【分析】将A（3，1）和B（6，0）分别代入y＝kx+b，求出k、b的值，再解不等式组0＜kx+b＜x的解集． 【详解】解：将A（3，1）和B（6，0）分别代入y＝kx+b得，， 解得， 则函数解析式为y＝﹣x+2． 可得不等式组 ， 解得3＜x＜6． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 10. 用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，表示直角三角形的两直角边长，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，算术平方根的应用．本题利用算术平方根的含义可判断②，再利用勾股定理可判断①，利用等面积法可判断③，结合完全平方公式可判断④，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∴，故②符合题意， ∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故①符合题意， 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 可得：， 即；故③符合题意； ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴；故④不符合题意， ∴正确结论有①②③． 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 11. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 12. 如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作于点B，且，以原点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ，， ， 点表示的实数是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 13. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为，则直线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查两条直线相交或平行问题．根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出，根据“与轴交点的纵坐标为”计算求出值，即可得解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 又∵直线与轴交点的纵坐标为， ∴， ∴这条直线的解析式是， 故答案是：． 15. 如图，是菱形ABCD的对角线，，．若点P，点Q分别是上的动点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握菱形的性质和理解“垂线段最短”是解题的关键． 先根据菱形的对称性和“垂线段最短”确定最小值，再根据菱形的面积公式求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形， ∴点关于直线对称，， 过作于，交于， 此时，的值最小，的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先化简二次根式，再合并计算； （2）先化简二次根式，计算乘法，再算除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，某隧道是一个双向通车的隧道，隧道的截面是一个半径为米的半圆形，一辆高米，宽米的卡车能通过该隧道吗？为什么？ 【答案】 一辆高米，宽米的卡车不能通过该隧道，理由： 如图所示： 当时， ， ， 一辆高米，宽米的卡车不能通过该隧道． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据题意直接构造直角三角形，进而得出当时，的长，即可得出答案． 【详解】略 18. 某校为提高学生的安全意识，开展了安全知识竞赛，这次竞赛成绩满分为10分．现从该校七年级中随机抽取10名学生的竞赛成绩，这10名学生的竞赛成绩是：10，9，9，8，10，8，10，9，7，10． （1）求这10名学生竞赛成绩的中位数和平均数； （2）该校七年级共400名学生参加了此次竞赛活动，根据上述10名学生竞赛成绩情况估计参加此次竞赛活动成绩为满分的学生人数是多少？ 【答案】（1）9,9（2）160人 【解析】 【分析】（1）根据中位数与平均数的定义即可求解； （2）用这10名学生竞赛成绩满分的占比乘以总人数即可求解． 【详解】（1）把这10名学生的竞赛成绩排列为：7,8，8,9,9,9,10,10,10，10 故中位数为9 平均数为=9 ∴这10名学生竞赛成绩的中位数和平均数均为9； （2）依题意可得参加此次竞赛活动成绩为满分的学生人数是400×=160（人） 答：估计参加此次竞赛活动成绩为满分的学生人数是160人． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知中位数、平均数的定义． 19. 已知：如图，在菱形中，，分别是，上的点， （1）如图1，若；求证：； （2）如图2，若，，求的度数． 【答案】 （1）四边形为菱形， ， 又 ． （2）20° 【解析】 【分析】（1）根据SAS即可判断出△ABE≌△ADF，即可得到结论． （2）连接AC，则可将菱形分成两个全等的等边三角形，从而得到，然后得到为等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）连结． 四边形为菱形， ，． 与为等边三角形 ， ， ， ， 为等边三角形 ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，以及等边三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据题意条件得出(构造)全等三角形并证明． 20. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从A地到达B地的行驶时间； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程． 【答案】（1）2.5小时；（2）y=﹣100x+550；（3）175千米 【解析】 【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论； （2）根据题意列方程组即可得到结论； （3）根据题意列算式即可得到结论． 【详解】解：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小时）． 答：甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时； （2）设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴甲车返回时y与x之间的函数关系式是y=﹣100x+550（2.5≤x≤5.5）； （3）300÷[（300﹣180）÷1.5]=3.75小时， 当x=3.75时，y=175千米． 答：乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与行程问题，解题的关键是正确读懂函数图象． 21. 如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF． （1）求证：DF＝PG； （2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积． 【答案】（1）=证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB， ∵四边形ABPM为矩形， ∴AB＝PM， ∴AD＝PM， ∵DF⊥PG， ∴∠DHG＝90°， ∴∠GDH+∠DGH＝90°， ∵∠MGP+∠MPG＝90°， ∴∠GDH＝∠MPG， 在△ADF和△MPG中， ∴△ADF≌△MPG（ASA）， ∴DF＝PG； （2）8. 【解析】 【分析】作PM⊥AD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD＝PM；DF⊥PG，得出∠GDH+∠DGH＝90°，推出∠ADF＝∠MPG；还有两个直角即可证明△ADF≌△MPG，从而得出对应边相等 （2）由已知得，DG＝2PC＝2；△ADF≌△MPG得出DF＝PD；根据旋转，得出∠EPG＝90°，PE＝PG从而得出四边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH的值，从而求出高PH 的值；最后根据面积公式得出 【详解】解：（1）略 （2）作PM⊥DG于M，如图， ∵PD＝PG， ∴MG＝MD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴PCDM为矩形， ∴PC＝MD， ∴DG＝2PC＝2； ∵△ADF≌△MPG（ASA）， ∴DF＝PG， 而PD＝PG， ∴DF＝PD， ∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE， ∴∠EPG＝90°，PE＝PG， ∴PE＝PD＝DF， 而DF⊥PG， ∴DF∥PE， 即DF∥PE，且DF＝PE， ∴四边形PEFD为平行四边形， 在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3， ∴PD＝＝， ∴DF＝PG＝PD＝， ∵四边形CDMP是矩形， ∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1， ∵PD＝PG，PM⊥AD， ∴MG＝MD＝1，DG＝2， ∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°， ∴△DHG∽△PMG， ∴， ∴GH＝＝， ∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝， ∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝8． 【点睛】本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值 22. 某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题： （1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？ （3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值． 【答案】（1）y=﹣x+18（2）三种购买方案（3）甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10 【解析】 【分析】(1) 根据题意得购进丙种图书（20﹣x﹣y）套,由7700元计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书，可列出方程的y与x的函数关系式； （2）由（1）得：y=﹣x+18，由书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，可得，得出x的取值范围，由x，y，（20﹣x﹣y）为整数可得方案数； （3）由（1）（2）得三种方案，按所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元进行比较，由a为正整数进行判断可得出答案. 【详解】（1）根据题意得购进丙种图书（20﹣x﹣y）套，则有500x+400y+250（20﹣x﹣y）=7700， 所以解析式为：y=﹣x+18； （2）根据题意得：， 解得：x， 又∵x≥1， ∴， 因为x，y，（20﹣x﹣y）为整数， ∴x=3，6，9， 即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套， ②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套， ③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套， （3）若按方案一：则有13a﹣4a=20，解得a=（不是正整数，不符合题意）， 若按方案二：则有8a﹣6a=20，解得a=10（符合题意）， 若按方案三：则有3a﹣8a=20，解得a=﹣4（不是正整数，不符合题意）， 所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10． 【点睛】本题主要考查一次函数与不等式等知识的综合，注意运算的准确性及灵活根据题意进行方案选择. 23. 如图1，矩形ABCD中，点E，P，K分别在AB，AD，BC上，且DE⊥PK，DE＝PK． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）如图2，在（1）的条件下，△EFC是等腰直角三角形，∠CEF＝90°，FG⊥AD于点G． ①求证：AG＝FG； ②若点H为CF的中点，求的值． 【答案】 （1）证明：如图1中，作KH⊥AD于H交DE于O，设DE交PK于J． ∵PK⊥DE，KH⊥AD， ∴∠KJO＝∠DHO＝90°， ∵∠DOH＝∠JOK， ∴∠JKO＝∠HDO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝∠ADC＝90°＝∠KHP， ∵DE＝PK， ∴△ADE≌△HKP（AAS）， ∴AD＝KH， ∵∠KHD＝∠C＝∠CDH＝90°， ∴四边形CDHK是矩形， ∴CD＝KH， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD是正方形． （2）①解：如图2中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M． ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD ∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD ∴四边形AGFM是矩形 ∴AG＝MF，AM＝FG， ∵∠CEF＝90°， ∴∠FEM＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90° ∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC ∴△EFM≌△CEB（AAS） ∴BE＝MF，ME＝BC ∴ME＝AB＝BC ∴BE＝MA＝MF ∴AG＝FG； ② 【解析】 【分析】（1）如图1中，作KH⊥AD于H交DE于O，设DE交PK于J．证明△ADE≌△ HKP（AAS），推出AD＝KH，想办法证明AD＝DC即可解决问题． （2）①如图2中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“ AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，进一步可得结论；②如图2﹣1中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得＝ ＝，且 CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝ FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG，推出∠GDH＝45°即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：(方法一)如图2﹣1中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，延长GH交CD于点N， ∵FG⊥AD，CD⊥AD ∴FG∥CD ∴＝＝ ，且CH＝FH， ∴GH＝HN，NC＝FG ∵AG＝FG＝NC， 又∵AD＝CD， ∴GD＝DN，且GH＝HN ∴DH⊥GH， ∴DH＝GH＝HN， ∴∠GDH＝45°， ∴＝． (方法2)由题可知FG⊥AD,CD⊥AD, ∴∠GFH=∠NCH ∵H为中点, ∴FH=CH 又∠GHF=∠NHC ∴△GHF≌△NHC ∴GH=NH，DH⊥GN 由三线合一的性质得∠GDH＝45°， ∴＝． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24. 如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴正半轴上，且OB=2OA，OB−OC=OC−OA=2. (1)求点C的坐标； (2)点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿BA向终点A匀速运动，当点Q到达终点A时，点P、Q均停止运动，设点P运动的时间为t(t＞0)秒，线段PQ的长度为y，用含t的式子表示y，并写出相应的t的范围； (3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线PM，PM=PQ，是否存在t值使点O为PQ中点? 若存在求t值并求出此时△CMQ的面积. 【答案】（1）点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，6） （2）y=4t﹣12（3＜t≤4）； （3）8或16 【解析】 【分析】（1）由OB−OC=OC−OA=2可得OB﹣OA=4，结合OB=2OA可得出OA、OB的长度，从而得出OC的长度，写出点C的坐标即可；（2）分别求出P、Q两点相遇的时间、Q点到达A点的时间，写出不同的时间范围内，PQ的长度y与时间t的关系式即可；（3）O为P、Q的中点，即OP=OQ，将OP、OQ用含t的式子表示，列方程，解出t，然后画图，由于不确定M点位于x轴上方或者下方，所以进行分类讨论，利用割补法分别求出△CMQ的面积. 【详解】（1）∵OB﹣OC=OC﹣OA=2， ∴OB﹣OA=4， ∵OB=2OA， ∴OA=4， ∴OB=8，OC=6， ∴C（0，6）； （2）由（1）知：AB=OA+OB=12， ∵点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿BA向终点A匀速运动， ∴点P运动的时间为t（t＞0）秒时，AP=t，BQ=3t， 当P、Q两点相遇时的t的值为：12÷（1+3）=3秒， ∵当点Q到达终点A时，点P、Q均停止运动， ∴t的最大值为12÷3=4秒； ①当0＜t≤3时，如图1， PQ=AB﹣AP﹣QB=12﹣t﹣3t=12﹣4t， 即y=12﹣4t（0＜t≤3）； ②当3＜t≤4时，如图2， PQ=AP+BQ﹣AB=4t﹣12， 即y=4t﹣12（3＜t≤4）； （3）存在t值使点O为PQ中点， ∵点O为PQ中点， ∴0＜t≤3，OP=OQ，即OA﹣AP=OB﹣BQ， ∴4﹣t=8﹣3t，解得：t=2， 当t=2时，AP=2，OP=2，OQ=2，PQ=4，PM=PQ=4， ①点M在x轴上方时，如图3， 过点C作CN⊥PM，得：四边形CNPQ是梯形， ∵S△CMQ=S梯形CNPQ﹣S△CNM﹣S△PQM， ∴S△CMQ=(CN+PQ)×PN﹣CN•MN﹣•PM•PQ =×(OP+PQ)×OC﹣×OP×（OC﹣PM）﹣×4×4 =×(2+4)×6-×2×(6﹣4) ﹣8 =18﹣2﹣8=8； ②点M在x轴下方，如图4．过点C作CN⊥PM，得：四边形CNPQ是梯形， ∵S△CMQ=S梯形CNPQ+S△PQM-S△CNM， ∴S△CMQ=（CN+PQ）•PN+•PQ•PM﹣•MN•CN =×（OP+PQ）×OC+×4×4﹣（OC+PM）•OP =×（2+4）×6+8﹣×（6+4）×2 =×6×6+8﹣×10×2 =18+8﹣10=16． ∴△CMQ的面积为：8或16． 【点睛】本题主要考查分类讨论思想的运用，求三角形的面积不仅可以采用三角形面积公式，还可以采用割补法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $