专题03 等腰（边）三角形-2023-2024学年人教版八年级数学上学期解答题必刷专题训练

专题03 等腰（边）三角形-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（解析版） 1、 如图，在ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形． 【答案】 证明：∵FD∥AC ∴∠PFD=∠E，∠FDB=∠C， ∵AB=AC ∴∠B=∠C， ∴∠FDB=∠B ∴FB=FD， ∵FB=FD，EP⊥BC ∴∠PFB=∠PFD， ∵∠PFB=∠AFE， ∴∠PFD=∠AFE ∵∠PFD=∠E， ∴∠E=∠AFE， ∴AE=AF即△AEF是等腰三角形 【考点】等腰三角形的判定与性质 【解析】【分析】利用平行线的性质，可证得∠PFD=∠E，∠FDB=∠C，根据等边对等角可证得∠B=∠C，再根据垂直的定义推出∠E=∠PED，然后去证明∠E=∠AFE，然后利用等角对等边就可证得结论。 2、 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC． 求证：△BDE是等腰三角形． 【答案】 证明：如图， ∵DE∥AC， ∴∠1=∠3， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∵AD⊥BD， ∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°， ∴∠B=∠BDE， ∴△BDE是等腰三角形． 【考点】等腰三角形的判定 【解析】【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义，去证明∠2=∠3，可证AE=DE，再根据垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠B=∠BDE，利用等角对等边就可得出DE=BE，利用等腰三角形的定义，可证得结论。 3、如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF． 【答案】 证明：连接BD、CD， ∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴BD=CD，DE=DF． ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE=CF． 【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得DE=DF，再根据两个三角形是直角三角形即可证明Rt△CDF≌Rt△BDE，从而可得出结果． 4、在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C． (1)如图①，求证：△ADE是等腰三角形； (2)如图②，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）． 【解析】 (1)证明：是的一个外角， 又， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形． (2)解：由（1）得，， ， DE平分∠ADC， ， 又∠BAD＝∠CDE， ， ， ， 所以图中与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质． 5、如图，在△ABC中，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE． (1)如果∠BAC＝90°，AB＝AC． ①如图1，当点D在线段BC上时，线段CE与BD的位置关系为 ，数量关系为 ； ②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由； (2)如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD． 【解析】 （1）解：①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又 BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B，CE＝BD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即 CE⊥BD．故答案为：CE⊥BD；CE＝BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即 CE⊥BD； （2）证明：过点A作AG⊥AC交BC于点G， ∵∠ACB＝45°，∴∠AGC＝45°，∴AC＝AG，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键． 6、两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【解析】 (1)解：证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； (2)如图2， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC， 令AD与CE交于点G， ∵∠AGE=∠DGO， ∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE， ∴∠DOE=∠DAE=60°， ∴∠BOC=60°； (3)∠A+∠BCD=180°．理由： 如图3，延长DC至P，使DP=DB， ∵∠BDC=60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴BD=BP，∠DBP=60°， ∵∠ABC=60°=∠DBP， ∴∠ABD=∠CBP， ∵AB=CB， ∴△ABD≌△CBP（SAS）， ∴∠BCP=∠A， ∵∠BCD+∠BCP=180°， ∴∠A+∠BCD=180°． 【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 7、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h． （1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h； （2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由． 【解答】解：（1）如图1，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP+S△APC ∴BC•AMAB•PDAC•PF 即 BC•hAB•h1AC•h2 又∵△ABC是等边三角形 ∴BC＝AB＝AC， ∴h＝h1+h2； （2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下： 如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP ∴BC•AMAB•PDAC•PEBC•PF 即BC•hAB•h1AC•h2BC•h3 又∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝AC． ∴h＝h1+h2+h3； 点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3． 理由如下：如图3，连接PB，PC，PA 由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC， 即BC•AMAB•PDAC•PEBC•PF， ∵AB＝BC＝AC， ∴h1+h2﹣h3＝h， 即h1+h2﹣h3＝h． 8、如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ （2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，t×1+12＝2t， 解得：t＝12， ∴当t＝12时，M，N两点重合， 此时两点在点C处重合； （2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形． 理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y， ∵CM＝NB， ∴y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN． 9、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE． （1）求证：CE＝CF； （2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF． ∴CE＝CF． （2）解：GE＝BE+GD成立． ∵△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠ECD+∠ECB＝∠ECD+∠FCD． 即∠ECF＝∠BCD＝90°． 又∠GCE＝45°， ∴∠GCF＝∠GCE＝45°． ∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG． ∴EG＝GF． ∴GE＝DF+GD＝BE+GD． （3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G， 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°， 又∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCG为正方形． ∴AG＝BC＝12． 已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE+DG， 设DE＝x，则DG＝x﹣4， ∴AD＝AG﹣DG＝16﹣x，AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8． 在Rt△AED中 ∵DE2＝AD2+AE2，即x2＝（16﹣x）2+82 解得：x＝10． ∴DE＝10． 10、如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值； （2）分两种情况讨论：①当∠DEC为直角时，②当∠EDC为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值． 【解答】解：（1）根据题意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t ∵，∠B＝30°，AC＝6cm ∴BC＝2AC＝12cm， ∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC为等边三角形， ∴CD＝CE， 6﹣t＝2t， t＝2， ∴当t为2时，△DEC为等边三角形； （2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°， ∴CE＝， 2t＝（6﹣t）， t＝； ②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°， CD＝CE， 6﹣t＝•2t， t＝3． ∴当t为或3时，△DEC为直角三角形． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键． 11、如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上． 求证：(1)CE＝AC＋DC；(2)∠ECD＝60°. 解：(1) ∵△ABC，△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝EC.∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD， ∴CE＝BD＝AC＋CD （2）由(1)知△BAD≌△CAE， ∴∠ACE＝∠ABD＝60°， ∴ ∠ECD＝180°－∠ACB－∠ACE＝60° 12、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF. (1)求证：AD⊥CF； (2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由． 解：(1)∵BF∥AC，∠ACB＝90°， ∴∠CBF＝90°， ∵∠ABC＝45°，DE⊥AB， ∴∠BDF＝45°，从而∠BFD＝45°＝∠BDF， ∴BD＝BF＝CD，又AC＝BC， ∴△ACD≌△CBF(SAS)， ∴∠CAD＝∠BCF， ∴∠CGD＝∠CAD＋∠ACF＝∠BCF＋∠ACF＝90°， ∴AD⊥CF (2) △ACF是等腰三角形．理由：由(1)知BD＝BF，又DE⊥AB， ∴AB是DF的垂直平分线， ∴AD＝AF，由(1)知△ACD≌△CBF， ∴AD＝CF，∴AF＝CF， ∴△ACF是等腰三角形 13、如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点． (1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由) (2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由； (3)如图③，如果(1)的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由． 解： (1)AE是∠FAD的角平分线 成立．理由如下： 延长FE交AD的延长线于G. ∵E为CD的中点， ∴CE＝DE.证△CEF≌△DEG(ASA)， ∴EF＝EG.∵AE⊥FG， ∴AF＝AG， ∴AE是∠FAD的平分线 (3)结论仍成立，证明方法同(2) 14、（2024·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD⊥AE，垂足为F． (1)求证∠CAE=∠ABD； (2)连接DE，满足∠AEB=∠DEC，求证：BD=DE+AE； (3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足∠AEB=∠GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)BG=AE+EG，见解析 【分析】（1）根据∠CAE=90°-∠BAE，∠ABD=90°-∠BAE，等量代换即可得证． （2）作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M，证明△ABD≌△CAM和△EDC≌△EMC即可得证． （3）延长AE至点N，作EN=EG，先证明△BEG≌△BEN，再证明AN=BN即可． （1） 证明：∵BD⊥AF， ∴∠BFA=90°， ∵∠CAE+∠BAF=90°，∠ABD+∠BAF=90° ∴∠CAE=∠ABD． （2） 证明：如图，作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M 由①知，∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAM中，， ∴△ABD≌△CAM（ASA） ∴BD=AM， ∵∠AEB=∠CEM， ∴∠DEC=∠CEM， 又∵∠ACBA=45° ∴∠MCE=45° 在△EDC和△EMC中， ， ∴△EDC≌△EMC（ASA） ∴EM=ED， ∵AM=AE+EM， ∴BD=DE+AE． （3） 证明：如图，延长AE至点N，作EN=EG， ∵∠AEB =∠GEC，∠AEB =∠CEN， ∴∠GEC =∠CEN， ∴∠BEG =∠BEN， 在△BEG和△BEN中， ∴△BEG≌△BEN（SAS）， ∴BN=BG，∠GBC =∠NBC， ∵∠GBC =45°－∠ABD， ∴∠ABN =90°－∠ABD， ∵∠BAN =90°－∠CAE，且∠ABD =∠CAE， ∴∠ABN =∠BAN， ∴AN=BN=BG， ∵AN=AE+EN=AE+EG ∴BG=AE+EG． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握补短法证明线段间的关系是解题的关键． 15．（2024·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF (1)如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）； (3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明） 【答案】(1)AE+BF＝AB，证明见解析 (2)BF﹣AE＝AB (3)AE﹣BF＝AB 【分析】（1）AE+BF=AB，可证明△CBF≌△CAD和△CDB≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论； （2）BF-AE=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论； （3）AE-BF=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论． （1） AE+BF＝AB，如图1， ∵△ABC和△DCF是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°． ∴∠ACD＝∠BCF， 在△ACD和△BCF中 ∴△ACD≌△BCF（SAS） ∴AD＝BF 同理：△CBD≌△CAE（SAS） ∴BD＝AE ∴AE+BF＝BD+AD＝AB； （2） BF﹣AE＝AB，如图2， 同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE， ∴AD＝BF，BD＝AE， ∴BF﹣AE＝AD﹣BD＝AB； （3） AE﹣BF＝AB，如图3， 同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE， ∴AD＝BF，BD＝AE， ∴AE﹣BF＝BD﹣AD＝AB． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，灵活运用类比思想，在变化中发现不变是解决问题的关键． 16（2024·天津红桥·八年级期末）如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发． （1）如图1，连接AQ、CP求证： （2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 （3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°． 【分析】 （1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP，结合等边三角形的性质证全等即可； （2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP的度数，再根据对顶角相等可得的度数； （3）先证出，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°． 【详解】 解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°， ∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发， ∴BQ=AP， 在△ABQ与△CAB中， ∴． （2）角度不变，60°，理由如下： ∵ ∴∠CPA=∠AQB， 在△AMP中， ∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°， ∴∠QMC=∠AMP=60°， 故∠QMC的度数不变，度数为60°． （3）角度不变，120°，理由如下： 当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时， 有AP=BQ，∴BP=CQ ∵∠ABC=∠BCA=60°， ∴∠CBP=∠ACQ=120°， ∴ ∴∠Q=∠P， ∵∠QCM=∠BCP， ∴∠QMC=∠CBP=120°， 故∠QMC的度数不变，度数为120°． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键． 17（2024·山东五莲·八年级期末）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． （1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析． 【分析】 （1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案； （2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案． 【详解】 解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC＝4， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5； 故答案为：1＜AD＜5， （2）BE+CF＞EF； 证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示． 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF； （3）AF+CF＝AB． 如图③，延长AE，DF交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠G， 在△ABE和△GCE中 CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC， ∴△ABE≌△GEC（AAS）， ∴CG＝AB， ∵AE是∠BAF的平分线， ∴∠BAG＝∠GAF， ∴∠FAG＝∠G， ∴AF＝GF， ∵FG+CF＝CG， ∴AF+CF＝AB． 【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 18．（2024·广东·深圳市高级中学八年级期末）如图，在等边中，厘米，厘米，如果点以厘米/秒的速度运动． （1）如果点线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动． 它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等． 经过秒后，和是否全等？请说明理由； （2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？ （3）若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过秒点与点第一次相遇，则点的运动速度是多少厘米/秒． （1）△BMN≌△CDM，理由见解析；（2）t秒或t秒；（3）3.8厘米/秒或2.6厘米/秒 【分析】 （1）根据M和N同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等得CM=BN=6cm，所以BM=4cm=CD．根据“SAS”证明△BMN≌△CDM； （2）设运动时间为t秒，分别表示CM和BN．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：①∠NMB=90°；②∠BNM=90°； （3）点M与点N第一次相遇，有两种可能：①点M运动速度快；②点N运动速度快．分别列方程求解． 【详解】 解：（1）△BMN≌△CDM．理由如下： ∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒， ∴CM=2×3=6（cm） BN=2×3=6（cm） BM=BC-CM=10-6=4（cm） ∴BN=CM ∵CD=4（cm） ∴BM=CD ∵∠B=∠C=60°， ∴△BMN≌△CDM．（SAS） （2）设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况： ①当∠NMB=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°． ∴BN=2BM， ∴3t=2×（10-3t） ∴t（秒）； ②当∠BNM=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°． ∴BM=2BN， ∴10-3t=2×3t ∴t（秒）． ∴当t秒或t秒时，△BMN是直角三角形； （3）分两种情况讨论： ①若点M运动速度快，则 3×25-10=25VN，解得 VN=2.6； ②若点N运动速度快，则 25VN-20=3×25，解得 VN=3.8． ∴点的运动速度是3.8厘米/秒或2.6厘米/秒． 【点睛】 此题考查等边三角形的性质、特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，有一定的难度． 19（2024·江西宜春·八年级期末）在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点（点不与点、、重合），过点作于点，过点作于点，连接，． （问题探究）如图1，当点在线段上运动时，延长交于点， （1）求证：≌； （2）与的数量关系为：______（直接写结论，不需说明理由）； （拓展延伸） （3）①如图2，当点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； ②当点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明． （1）见解析；（2）；（3）①不变，，理由见解析；②的面积为或． 【分析】 （1）根据题意可知，又因为，所以，即可证明≌； （2）由（1）知≌，所以AF=CE，又因为BO=CO，∠COE=∠BOG，∠OCE=∠OBG，即可证明 △BOG≌△COE，所以BG=AF； （3）①由题可证，又因为点是的中点，所以，即可证明≌，由（1）可得由（1）可得≌，根据即可求得度数；②根据和即可求得的面积； 【详解】 （1）∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴≌； （2）， ∵≌， ∴ AF=CE， 又∵ BO=CO，∠COE=∠BOG，∠OCE=∠OBG， ∴△BOG≌△COE， ∴BG=CE， ∴BG=AF； （3）①不变，，如图2，理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴，， 由（1）可得≌， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵∴， 又∵， ∴． ②的面积为或 在图2中，， 且，， ∴； 在图3中，， 且，， ∴． 20、已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD=45°，求证：BD=CE． （1）△CDF是等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析 【分析】 （1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状； （2）作AG⊥AB于A，使AG=BD，连结DG，CG，利用SAS证明△AGD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出GD=DC，∠GDC=90°，即可得出∠GCD=∠APD=45°，进而证明，可得，即可证明 【详解】 （1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）如图，作AG⊥AB于A，使AG=BD，连结DG，CG， ∵AG⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠GAD=∠DBC， 在△GAD与△DBC中， ， ∴△GAD≌△DBC（SAS）， ∴GD=DC， ∴△CDG是等腰三角形， ∵△GAD≌△DBC， ∴∠GDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠GDA=90°， ∴△CDG是等腰直角三角形， ∴∠GCD=45°， ∠APD=45°， ， 在和中 AG=BD 试卷第34页，共37页 试卷第33页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 等腰（边）三角形-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（原卷版） 1、如图，在ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形． 2、如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC． 求证：△BDE是等腰三角形． 3、如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF． 4、在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C． (1)如图①，求证：△ADE是等腰三角形； (2)如图②，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）． 5、如图，在△ABC中，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE． (1)如果∠BAC＝90°，AB＝AC． ①如图1，当点D在线段BC上时，线段CE与BD的位置关系为 ，数量关系为 ； ②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由； (2) 如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD． 6、两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系 7、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h． （1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h； （2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由． 8、如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ （2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 9、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE． （1）求证：CE＝CF； （2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长． 学科网（北京）股份有限公司 10、如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形． 11、如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上． 求证：(1)CE＝AC＋DC；(2)∠ECD＝60°. 学科网（北京）股份有限公司 12、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF. (1)求证：AD⊥CF； (2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由． 13、如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点． (1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由) (2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由； (3)如图③，如果(1)的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由． 14、（2024·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD⊥AE，垂足为F． (1)求证∠CAE=∠ABD； (2)连接DE，满足∠AEB=∠DEC，求证：BD=DE+AE； (3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足∠AEB=∠GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明． 15、（2024·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF (1)如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）； (3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明） 16（2024·天津红桥·八年级期末）如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发． （1）如图1，连接AQ、CP求证： （2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 （3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 17（2024·山东五莲·八年级期末）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 18．（2024·广东·深圳市高级中学八年级期末）如图，在等边中，厘米，厘米，如果点以厘米/秒的速度运动． （1）如果点线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动． 它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等． 经过秒后，和是否全等？请说明理由； （2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？ （3）若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过秒点与点第一次相遇，则点的运动速度是多少厘米/秒． 19（2024·江西宜春·八年级期末）在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点（点不与点、、重合），过点作于点，过点作于点，连接，． （问题探究）如图1，当点在线段上运动时，延长交于点， （1）求证：≌； （2）与的数量关系为：______（直接写结论，不需说明理由）； （拓展延伸） （3）①如图2，当点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； ②当点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明． 试卷第1页，共3页 20、已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD=45°，求证：BD=CE． 试卷第6页，共19页 试卷第5页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$