专题02 全等三角形-2023-2024学年人教版八年级数学上册解答题必刷专题训练

专题02 全等三角形-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（原卷版） 1、（2024·浙江杭州·八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 2、（2024·湖南汉寿·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度； （2）设，． ①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 3、（2024·内蒙古扎兰屯·八年级期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 4．（2024·四川安居·八年级期末）如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为． （1）_____________．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，？ （3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（2024·湖北曾都·八年级期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明． 6、（2024·河北宽城·八年级期末）如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 7、（2024·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室八年级期末）如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 8．（2024·重庆彭水·八年级期末）如图，中， ，是上一点，满足，连接交于点，，交于点，连结． （1）求证：． （2）请你判断与的大小关系，并证明你的结论． 9、（2024·广东高明·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10厘米，AC＝14厘米，动点E以4厘米/秒的速度从A点向F点运动，动点G以2厘米/秒的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求证：AF＝AM； （2）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等． 10、（2024·湖北随县·八年级期末）（1）如图①，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，易证：_______________． （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，请求出，，三条线段的数量关系，并证明． （3）如图③，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标． 11、【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 　 A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　 　 A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE． 学科网（北京）股份有限公司 12、如图 （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 证明：DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由． 13、如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点 （1）求证：△BMD为等腰直角三角形． （2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由． （3）将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明理由． 试卷第1页，共3页 14、在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 15、如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 16、（2024·宁夏西吉实验中学八年级期中）如图，四边形ACDB中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC，OE⊥AC，垂足为点E． (1)求证：CO平分∠ACD； (2)求证：OA⊥OC； (3)判断AB，CD，AC之间的数量关系，并说明理由． 17、（2024·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知：在中，于点D，于点E，与交于点G． (1)如图，求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，若，求四边形的面积． 18、（2024·广东潮州·八年级期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到 ， .我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】（2）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点； ②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标. 19、（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 20、在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝　　　；（用α的代数式表示，请直接写出结论） （2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 学科网（北京）股份有限公司 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（解析版） 1、（2024·浙江杭州·八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． （1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE 【分析】 (1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE. 【详解】 (1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE； (2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=90°； (3)、AP＝CE 理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP， 在△ABP和△CBP中， 又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠DCP， ∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE 考点：三角形全等的证明 2、（2024·湖南汉寿·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度； （2）设，． ①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． （1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC.上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【分析】 （1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】 （1）； （2）①． 理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点在射线上时，． 当点在射线的反向延长线上时，． 【点睛】 该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 3、（2024·内蒙古扎兰屯·八年级期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． （1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或 【分析】 （1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ； （2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可． 【详解】 解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ． 理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AP＝BQ＝2， ∴BP＝5， ∴BP＝AC， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C＋∠APC＝90°， ∴∠APC＋∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt 解得：x＝2，t＝1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t 解得：x＝，t＝． 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．（2024·四川安居·八年级期末）如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为． （1）_____________．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，？ （3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （1）；（2）；（3）存在，或，理由见解析． 【分析】 （1）由路程=速度时间，解得，再由即可解题； （2）由全等三角形对应边相等的性质得，即，据此解题； （3）分两种情况讨论，当时或当时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值即可解得的值． 【详解】 解：（1）由题意得，， ， 故答案为：； （2）若 则 即 当时，； （3）存在，理由如下： 当时， ； 当时， 综上所述，当或时，与全等． 【点睛】 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 5．（2024·湖北曾都·八年级期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明． （1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】 （1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围； （2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到； （3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到． 【详解】 （1）延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴； （2）证明:延长到点使,连接， 由（1）知， ∴， ， ， ， ， ， ， ， （3）， 延长到，使，连接， ， ， ， ， ， 点在一条直线上， ， ∴， ∴在和中， ，，， ∴≌， ， ∵， ． 【点睛】 本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键． 6、（2024·河北宽城·八年级期末）如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． （1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得Rt△ADC≌Rt△CEB， ②由Rt△ADC≌Rt△CEB，得出AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD． （2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE． （3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD．证明的方法与（2）相同． 【详解】 解：（1）①证明：于点，于点，， ，， ．又，； ②证明：由①知，，，． ，； （2）证明：于点，于点， ，，．， 又，，，， ； （3）（或，）． 由（2）的方法证得△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CDCE=BEAD． 7、（2024·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室八年级期末）如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （1）见解析；（2）为定值， 【分析】 （1）利用证得，则由“全等三角形的对应边相等”可得，由角平分线的判定定理可得结论； （2）由等积法可求解即可． 【详解】 证明：（1）∵为的中点， ∴． 又∵，， ∴ ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线； （2）如图②，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 8．（2024·重庆彭水·八年级期末）如图，中， ，是上一点，满足，连接交于点，，交于点，连结． （1）求证：． （2）请你判断与的大小关系，并证明你的结论． （1）见解析；（2），理由见解析 【分析】 （1）根据平行线的性质得出，进而证明，即可得出答案； （2）由（1）中全等得出，证明，再结合三角形边的性质即可得出答案． 【详解】 解：（1）∵， ∴ 在和中， ∴ ∴ （2） 理由如下： ∵ ∴ 又∵ ∴ 在和中 ∴ ∴在中，即． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形边的性质，熟练掌握相关性质是解决本题的关键． 9、（2024·广东高明·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10厘米，AC＝14厘米，动点E以4厘米/秒的速度从A点向F点运动，动点G以2厘米/秒的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求证：AF＝AM； （2）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等． （1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）由“HL”可证Rt△AFD≌Rt△AMD，可得AF=AM； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】 解：（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC ∴DF=DM， 在Rt△AFD和Rt△AMD中 ∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL） ∴AF＝AM； （2）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， ∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM， ∴， ∵点E以4cm/s的速度从A点向F点运动， 动点G以2cm/s的速度从C点向A点运动， ∴AE=4t（cm），CG=2t（cm）， ∴，即， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC． （3）解：∵AF＝AM＝10cm，AC＝14cm ∴CM=AC－AM=14－10=4cm 当△DFE与△DMG全等时，EF=MG ①当0＜t≤2时，点G在线段CM上，点E在线段AF上． EF=10-4t，MG=4-2t ∴10-4t=4-2t， 解得 t=3（不合题意，舍去） ②当2＜t≤2.5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上． EF=10-4t，MG=2t-4 ∴10-4t=2t-4，解得 t= 综上：当t=时，△DFE与△DMG全等. 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 10、（2024·湖北随县·八年级期末）（1）如图①，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，易证：_______________． （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，请求出，，三条线段的数量关系，并证明． （3）如图③，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标． （1）；（2），见解析；（3） 【分析】 （1）根据同角的余角相等证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形即可得出答案； （2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明，得到，根据全等三角形的性质得到，结合图形即可得出答案； （3）根据得出和的值，结合坐标与图形性质即可得出答案. 【详解】 （1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ （2）； 理由如下：在中， ∵, ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ （3）如图③，作轴于点，轴于点， 由（1）可知， ∴ ∴ ∴点的坐标为. 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键. 11、【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 　 A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　C　 A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE． （1）解：∵在△ADC和△EDB中，， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故答案为：C． （3）证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接DF， ∵AE是△ABD的中线 ∴BE＝ED， 在△ABE与△FDE中，， ∴△ABE≌△FDE（SAS）， ∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD， ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD， ∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD， ∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD， ∴∠ADF＝∠ADC， ∵AB＝DC， ∴DF＝DC， 在△ADF与△ADC中，， ∴△ADF≌△ADC（SAS） ∴∠C＝∠AFD＝∠BAE． 学科网（北京）股份有限公司 12、 如图 （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 证明：DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由． 【答案】 （1）解：如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中， ，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE （2）解：如图2，∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α， ∴∠DBA=∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE （3）解：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵在△DBF和△EAF中， ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°， ∴△DEF为等边三角形 【考点】全等三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据三角形的两个角以及一角的对边相等，可以证明△ADB≌△CEA（AAS），根据全等三角形的线段对应相同，即可证明DE=AE+AD=BD+CE。 （2）可设∠BDA=∠BAC=α，即可证得∠DBA=∠CAE；根据三角形的两个角以及一角的对边相等，可以证明△ADB≌△CEA（AAS），即可证明DE=AE+AD=BD+CE。 （3）根据（2）中求出的条件△ADB≌△CEA，可以求得∠DBF=∠FAE，根据三角形的两边相同及其夹角相等，可证明△DBF≌△EAF（SAS），根据三角形全等的性质，可以证明△DEF为等边三角形。 13、如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点 （1）求证：△BMD为等腰直角三角形． （2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由． （3）将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明理由． 【答案】 （1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°， ∵点M为BC的中点， ∴BM=EC，DM=EC， ∴BM=DM，BM=CM，DM=CM， ∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC， ∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE， 同理∠DME=2∠ACM， ∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90° ∴△BMD是等腰直角三角形． （2）解：如图2，△BDM是等腰直角三角形， 理由是：延长ED交AC于F， ∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠EAD=45°， ∵AD⊥ED， ∴ED=DF， ∵M为EC中点， ∴EM=MC， ∴DM=FC，DM∥FC， ∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°， ∵ED⊥AB，BC⊥AB， ∴ED∥BC， ∴∠DEM=NCM， 在△EDM和△CNM中 ∴△EDM≌△CNM（ASA）， ∴DM=MN， ∴BM⊥DN， ∴△BMD是等腰直角三角形． （3）解： △BDM是等腰直角三角形， 理由是：如图：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF， 可证得△MDE≌△MFC， ∴DM=FM，DE=FC， ∴AD=ED=FC， 作AN⊥EC于点N， 由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°， 可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM， ∵CF∥ED， ∴∠DEN=∠FCM， ∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD， ∴△BCF≌△BAD， ∴BF=BD，∠DBA=∠CBF， ∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°， ∴△DBF是等腰直角三角形， ∵点M是DF的中点， 则△BMD是等腰直角三角形. 【考点】全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可． （2）延长ED交AC于F，求出DM=FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根据ASA推出△EDM≌△CNM，推出DM=BM即可． （3）过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，DE=FC，作AN⊥EC于点N，证△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得出答案． 14、在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和． 【解析】 (1) 解：DE＝BD+CE，理由如下， ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE． (2) DE＝BD+CE仍然成立，理由如下， ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； (3) 解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴S△ABD＝S△CAE， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h， ∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h， ∵BC＝3BF， ∴S△ABF＝4， ∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4， ∴△FBD与△ACE的面积之和为4． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 15、如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 【解析】 (1)证明：∵BD⊥AC， ∴， 在Rt△BDA和Rt△BDC中， ∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL）， ∴∠BAC＝∠BCA． ∵AB平分∠MAN， ∴∠BAM＝∠BAC， ∴∠BAM＝∠BCA． (2)解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M． ∵BH⊥AM，BD⊥AC， ∴∠AHB＝∠ADB＝90°， 在△AHB和△ADB中， ∴△AHB≌△ADB（AAS）， ∴BH＝BD， ∵S△ABP＝S△BQC， ∴， ∴， ∴， ∴． ②存在，理由如下： 当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示， ∵AB＝BC， 又由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴； 当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示， 由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴∠BAP＝∠BCQ， 又∵AB＝BC， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴． 综上所述，当或时，△APB和△CQB全等． 【点睛】 本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键． 16、（2024·宁夏西吉实验中学八年级期中）如图，四边形ACDB中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC，OE⊥AC，垂足为点E． (1)求证：CO平分∠ACD； (2)求证：OA⊥OC； (3)判断AB，CD，AC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AB＋CD＝AC，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明； （2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后证明即可． (1)证明：∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，OE⊥AC， ∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点， ∴OB＝OD， ∴OE＝OD， 又∵EO⊥AC，∠D＝90°， ∴OC平分∠ACD． (2)证明：在Rt△ABO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB＝∠AOE， 同理求出∠COD＝∠COE， ∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝×180°＝90°， ∴OA⊥OC． (3)结论：AB＋CD＝AC． 理由：∵Rt△ABO≌Rt△AEO， ∴AB＝AE， 同理可得CD＝CE， ∵AC＝AE＋CE， ∴AB＋CD＝AC． 故答案为：AB＋CD＝AC． 【点睛】 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 17、（2024·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知：在中，于点D，于点E，与交于点G． (1)如图，求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为18 【解析】 【分析】 （1）根据垂直得出直角三角形，再利用三角形的内角和进行证明即可； （2）利用角角边证明，再根据全等三角形的性质得到结论即可； （3）过点D作交于点F，（如图见详解），利用角边角证明，从而得到，且，再将四边形的面积转化为计算的面积进行计算即可． （1）证明：∵， ∴和是直角三角形． 在和中， ，， ∵，∴； （2）证明：∵，， ∴． 在和中，， ∴，∴； （3）解：过点D作交于点F，如图所示 ， ∵，， ∴． 由（2）可知： ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】 本题考查的是三角形的内角和与全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理并能正确进行证明是解题的关键． 18、（2024·广东潮州·八年级期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到 ， .我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】（2）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点； ②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标. 【答案】（1）DE，AE；（2）①见解析；②， 【解析】 【分析】 （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，根据余角的性质得到∠B=∠1，根据全等三角形的性质得到AH=DM，同理AH=EN，求得EN=DM，由全等三角形的性质得到DG=EG，于是得到点G是DE的中点； ②过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，根据余角的性质得到∠OBN=∠BAM，根据全等三角形的性质得到AM=BN，ON=BM，设AM=x，则BN=AM=x，从而得到结论． 【详解】 解：（1）AC=DE，BC=AE； 故答案为：， （2）①如图，作于，于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，，，， ∴（）， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， 在与中，，，， ∴（）， ∴， ∴点是的中点； ②如图，过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M， ∴∠M=90°， ∵∠OBA=90°， ∴∠ABM+∠OBN=90°， ∵∠ABM+∠BAM=90°， ∴∠OBN=∠BAM， 在△OBN与△BAM中， ， ∴△OBN≌△BAM（AAS）， ∴AM=BN，ON=BM， 设AM=x，则BN=AM=x， ∴ON= x+2， ∴MB+NB=x+x+2=MN=4， ∴x=1，x+2=3， ∴点B的坐标（3,1）； 如图 同理可得，点B的坐标（-1,3）， 综上所述，点B的坐标为， 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 19、（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2），理由详见解析. 【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论； （2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论. 【详解】（1）. 理由如下：如图①，∵是的平分线，∴ ∵，∴，∴，∴. ∵点是的中点，∴， 又∵， ∴≌（AAS），∴. ∴. 故答案为. （2）. 理由如下：如图②，延长交的延长线于点. ∵，∴， 又∵，， ∴≌（AAS），∴， ∵是的平分线，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 20、在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝　　　；（用α的代数式表示，请直接写出结论） （2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 【答案】（1）2α﹣180°；（2）∠BPC+∠BQC＝180°．理由见解析；（3）∠A的度数是90°或60°或120°． 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． （2）证明∠Q=90°-∠A，∠BPC=90°+∠A，可得结论． （3）首先证明∠A=2∠E，∠ECQ=90°，再分四种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）如图①中， ∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB） =180°（∠ABC+∠ACB） =180°（180°﹣∠A）， =90°∠A， ∵∠BPC=α， ∴∠A=2α﹣180°． 故答案为2α﹣180°． （2）结论：∠BPC+∠BQC=180°． 理由：如图②中， ∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB） （360°﹣∠ABC﹣∠ACB） （180°+∠A） =90°∠A， ∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A， ∵∠BPC=90°∠A， ∴∠BPC+∠BQC=180°． （3）延长CB至F， ∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线， ∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线， ∴∠ABF=2∠EBF， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠ECB， ∵∠EBF=∠ECB+∠E， ∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E， 即∠ABF=∠ACB+2∠E， 又∵∠ABF=∠ACB+∠A， ∴∠A=2∠E， ∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ ∠ACB∠NCB =90°， 如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°； ④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$