精品解析：辽宁省丹东市东港市前阳镇2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

辽宁省丹东市东港市前阳镇2022—2023学年度第二学期八年级（下）期末考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组数是勾股数是（　　） A. 1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，8，10 D. 5，11，12 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理和勾股数的概念，逐一判断选项，从而得到答案． 【详解】A、∵12+22≠32， ∴这组数不是勾股数； B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数， ∴这组数不是勾股数； C、∵62+82＝102， ∴这组数是勾股数； D、∵52+112≠122， ∴这组数不是勾股数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股数的概念，掌握“若，且a，b，c是正整数，则a，b，c是勾股数”是解题的关键． 2. 某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼的时间，列表如下： 锻炼时间/h 5 6 7 8 人数 2 6 5 2 则这 15 名学生一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别为（ ） A. 6 h，6 h B. 7 h，7 h C. 7 h，6 h D. 6 h，7 h 【答案】A 【解析】 【分析】从15个学生体育锻炼的时间中，找出出现次数最多的数是众数，排序后处在第8位的数是中位数． 【详解】解：15名学生的锻炼时间从小到大排列后处在第8位的是6小时，因此中位数是6小时， 6小时的出现次数最多，是6次，因此众数是6小时， 故选：A． 【点睛】考查中位数、众数的意义及求法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数，在一组数据中出现次数最多的数是众数． 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4， 即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 4. 50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前50%的选手晋级，选手拿到成绩后，他只要知道所有参赛选手成绩的（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵有50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前50%的选手晋级， ∴晋级的有25名， ∴要判断他能否进入晋级，只需知道这些数据的中位数即可． 故选：C． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 5. 某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 第10天销售20千克 B. 一天最多销售30千克 C. 第9天与第16天的日销售量相同 D. 第19天比第1天多销售4千克 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象提供信息，用待定系数法求出和所对应的函数解析式，代入相应数值计算即可． 【详解】设时，函数解析式为， 代入得：，解得 其解析式为： 设时，函数解析式为 代入和得：，解得 其解析式为： A.第10天的销售量为：，故A正确； B.由图知：一天最多销售30千克，故B正确； C.第9天的销售量为： 第16天的销售量为：，故C错误； D.第19天的销售量为： 第1天的销售量为： 所以第19天的销售量比第1天多4千克，故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根据图象求一次函数解析式并完成相关计算的能力，熟练使用数形结合是解题的关键． 6. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用二次根式的性质化简和二次根式的运算，根据法则计算后进行判断即可. 【详解】A. ，故选项计算错误，不符合题意； B. ，故选项计算正确，符合题意； C. ，故选项计算错误，不符合题意； D. ，故选项计算错误，不符合题意； 故选：B 7. 用计算器计算13.49，13.55，14.07，13.51，13.84，13.98的平均数为(　　) A. 13.53 B. 13.61 C. 13.74 D. 14.00 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算器的基本使用方法，依次输入13.49+13.55+14.07+13.51+13.84+13.98=，可得. 【详解】运用计算器，依次输入13.49+13.55+14.07+13.51+13.84+13.98=13.74 故选C 【点睛】考核知识点;用计算器求平均数. 8. 顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所构成的图形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 任意四边形 【答案】B 【解析】 【分析】因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形． 【详解】如图： AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC， ∵AC＝BD， ∴EH＝FG＝FG＝EF， ∴四边形EFGH是菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，难度中等，需要掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，另外要知道四边相等的四边形是菱形． 9. 为增强居民节水意识，我市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即每月用水不超过10吨，每吨收费元；若超过10吨，则10吨水按每吨元收费，超过10吨的部分按每吨元收费，公司为居民绘制的水费（元）与当月用水量（吨）之间的函数图象如下，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若小明家3月份用水14吨，则应缴水费23元 D. 若小明家7月份缴水费30元，则该用户当月用水吨 【答案】D 【解析】 【分析】先根据计费办法求出y与x之间的函数表达式，再根据函数图象可分别求出a、b的值，然后根据a、b的值可验证选项C、D． 【详解】由题意得：当时， 当时， 由函数图象可知，经过点 将点代入得： 解得，则选项A正确 同理可得：经过点 将点代入得： 解得，则选项B正确 则y与x的函数表达式为 当时， 因此，若小明家3月份用水14吨，则应缴水费23元，选项C正确 ， 当时，，解得 因此，若小明家7月份缴水费30元，则该用户当月用水吨，选项D错误 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数与一次函数的实际应用，理解题意，正确求出函数表达式是解题关键． 10. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ） A. 2m B. 3m C. 6m D. 9m 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积公式，Rt△ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC三个三角形面积的和列式求出点O到三边的距离，然后乘以3即可． 【详解】设内切圆半径为r， 由勾股定理可得斜边=， 则利用面积法可得：， 解得． ∴管道为（m）， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到两边的距离相等的性质，以及勾股定理，三角形的面积的不同表示，根据三角形的面积列式求出点O到三边的距离是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据二次根式的性质计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：12． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键． 12. 如图，直线l:y＝kx +b与y轴的交点是(0，－3)，当x＜0时，y的取值范围是______． 【答案】y＞－3 【解析】 【分析】根据函数图象的交点，即可判定y的取值范围. 【详解】由题意，得 当x＜0时，y＞－3 故答案为：y＞－3. 【点睛】此题主要考查一次函数的性质，熟练掌握，即可解题. 13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝12cm，△OAB的周长是10cm，则EF＝______cm． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，求出OA+OB的值，由△OAB的周长求出AB，根据三角形中位线的性质求出EF的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AC+BD＝12cm， ∴， ∵△OAB的周长是10cm， ∴OA+OB+AB=10cm， ∴AB=4cm， ∵点E、F分别是线段AO，BO的中点， ∴， 故答案：2 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线是判定及性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 14. 如图一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为2cm的长方体纸箱A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是_________cm 【答案】 【解析】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：当如图1所示时， （cm），当如图2所示时， （cm）， 当如图3所示时， （cm），∵， ∴它所行走的最短路径的长是cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题是解题的关键． 15. 如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，.若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作EM⊥AD垂足为M，EN⊥CD垂足为N，先证得DMEN为正方形，再根据勾股定理得出，得出，再根据正方形的性质和勾股定理即可得出答案； 【详解】解：过点E作EM⊥AD垂足为M，EN⊥CD垂足为N，则∠DME=90°， 在正方形ABCD中，∠ADC=∠MDC =90°，， ∴四边形DMEN为矩形， ∵∠CDE=45°， ∴∠ADE=135°， ∴∠MDE=45°， ∴∠MED=45°， ∴DM=EM， ∴矩形DMEN为正方形， 设DM=EM=DN=EN=x，则AM=x+1， 在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，AE=BD， ∴2=（x+1）2+x2， ∴或（负值舍去）， ∴， ∴， ∵正方形，∴EF=CE， 在Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定、二次根式的混合运算、解一元二次方程及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）（1） （2） 【点睛】此题考查了二次根式的加减乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则． 17. 已知，，满足等式． （1）求、、的值； （2）判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）a=，b=5，c= （2）能，三角形为直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质到，即可得到、、的值； （2）先利用三角形的三边关系判断能构成三角形，再利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴，，． 【小问2详解】 ∵，满足三边关系， ∴a、b、c能构成三角形， ∵， ∴， ∴三角形直角三角形． 【点睛】此题考查二次根式的非负性、非负数的性质、勾股定理的逆定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形三边关系是解题的关键． 18. 已知点P（2a﹣3，a+1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大2． 【答案】（1）点P的坐标为 （2）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据轴上的点的横坐标等于0，即可求解； （2）根据题意列出方程，解方程求解． 【小问1详解】 解：∵点P（2a﹣3，a+1）在x轴上， ∴a+1＝0， 解得a＝﹣1， ∴2a﹣3＝﹣5 ∴点P的坐标为（﹣5，0）； 【小问2详解】 ∵点P（2a﹣3，a+1）的纵坐标比横坐标大2， ∴a+1﹣（2a﹣3）＝2， 解得：a＝2， ∴2a﹣3＝22﹣3＝1，a+1＝2+1＝3， ∴点P的坐标为（1，3）． 【点睛】本题考查了点的坐标，理解题意得出相应方程是解题的关键． 19. 如图，快递员小李从点出发，负责给三个菜鸟驿站派送包裹，站点位于点的北偏西方向上，站点位于点的南偏东方向上，站点位于点的北偏东方向上，且站点到点的距离与站点到点的距离相等．已知小李在派送包裹时，从点到站点所需要的时间分别为和，配送速度均为． （1）试计算的度数； （2）求站点与站点之间的距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了与方位角有关的计算、勾股定理，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题意得出，，，再根据，，计算即可得解； （2）连接，由题意得出，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图， 由题意得：，，， ，； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由题意得：，， ． 20. 如图，在中，，是过点的直线，于点，于点． （1）若，在直线的同侧（如图①所示），且，求证： ①； ②． （2）若，在直线的两侧（如图②所示），且，其他条件不变，与垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由已知条件，证明，再利用角与角之间的关系求证，即可证明；②利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）同（1），先证再利用角与角之间的关系求证，即可证明． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ， ； ，， ； 【小问2详解】 解：结论：． 理由：，， ， 在和中， ， ， ． ， ， 即， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 21. 已知关于x的方程． （1）若该方程的解满足，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式： （1）先求出方程的解，再根据，求出a的取值范围即可； （2）求出的最大整数解，代入方程，求出a的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：； 【小问2详解】 解，得： ∴不等式的最大整数解为， ∴当时，，解得：． 22. 学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价分别为多少元？ （2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？ （3）若学校购买这批篮球和足球的总费用为(元)，在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用最小，并求出的最小值． 【答案】（1）一个篮球120元，一个足球90元； （2）11种； （3）购买篮球40，足球60个时，最小值为10200元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式组，应用一次函数的性质解决问题． （1）设一个篮球x元，则一个足球元，根据题意列出方程，即可解答； （2）设购买篮球x个，足球个，根据题意，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答； （3）表示出总费用，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值． 【小问1详解】 解：设一个篮球x元，则一个足球元，由题意得： ， 解得：， （元） ∴一个篮球120元，一个足球90元． 【小问2详解】 设购买篮球x个，足球个， 由题意可得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴共有11种购买方案． 【小问3详解】 由题意可得 ∵， ∴y随x增大而增大， ∴当时，有最小值，（元）， 所以当时，最小值为元． 23. （1）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为_______． （2）【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由． （3）【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，直接写出△BCD的面积（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）【问题原型】32；（2）【初步探究】△BCD的面积为a2；（3）【简单应用】△BCD的面积为a2 【解析】 【分析】问题原型：如图1中，△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论； 初步探究：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论． 简单运用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】解：【问题原型】 如图1中， 如图1中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E． ∴∠BED=∠ACB=90°， ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD， ∴AB=BD，∠ABD=90°． ∴∠ABC+∠DBE=90°． ∵∠A+∠ABC=90°． ∴∠A=∠DBE． 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（AAS） ∴BC=DE=8． ∵S△BCD=BC•DE ∴S△BCD=32， 故答案为：32 【初步探究】△BCD的面积为a2． 理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E． ∴∠BED＝∠ACB＝90° ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE， ∴AB＝BD，∠ABD＝90°． ∴∠ABC+∠DBE＝90°． ∵∠A+∠ABC＝90°． ∴∠A＝∠DBE． 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（AAS） ∴BC＝DE＝a． ∵S△BCD＝BC•DE ∴S△BCD＝a2； 【简单应用】△BCD的面积为a2． 如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E， ∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a． ∴∠FAB+∠ABF=90°． ∵∠ABD=90°， ∴∠ABF+∠DBE=90°， ∴∠FAB=∠EBD． ∵线段BD是由线段AB旋转得到的， ∴AB=BD． △AFB和△BED中， ， ∴△AFB≌△BED（AAS）， ∴BF=DE=a． ∵S△BCD=BC•DE， ∴S△BCD=•a•a=a2． ∴△BCD的面积为a2． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省丹东市东港市前阳镇2022—2023学年度第二学期八年级（下）期末考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组数是勾股数的是（　　） A. 1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C 6，8，10 D. 5，11，12 2. 某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼的时间，列表如下： 锻炼时间/h 5 6 7 8 人数 2 6 5 2 则这 15 名学生一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别为（ ） A. 6 h，6 h B. 7 h，7 h C. 7 h，6 h D. 6 h，7 h 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前50%的选手晋级，选手拿到成绩后，他只要知道所有参赛选手成绩的（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 5. 某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 第10天销售20千克 B. 一天最多销售30千克 C. 第9天与第16天的日销售量相同 D. 第19天比第1天多销售4千克 6. 下列各式计算正确是（　　） A. B. C. D. 7. 用计算器计算13.49，13.55，14.07，13.51，13.84，13.98的平均数为(　　) A. 13.53 B. 13.61 C. 13.74 D. 14.00 8. 顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所构成的图形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 任意四边形 9. 为增强居民节水意识，我市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即每月用水不超过10吨，每吨收费元；若超过10吨，则10吨水按每吨元收费，超过10吨的部分按每吨元收费，公司为居民绘制的水费（元）与当月用水量（吨）之间的函数图象如下，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若小明家3月份用水14吨，则应缴水费23元 D. 若小明家7月份缴水费30元，则该用户当月用水吨 10. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ） A. 2m B. 3m C. 6m D. 9m 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 如图，直线l:y＝kx +b与y轴的交点是(0，－3)，当x＜0时，y的取值范围是______． 13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝12cm，△OAB的周长是10cm，则EF＝______cm． 14. 如图一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为2cm的长方体纸箱A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是_________cm 15. 如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，.若，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）（1）； （2）． 17. 已知，，满足等式． （1）求、、的值； （2）判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？若不能，请说明理由． 18. 已知点P（2a﹣3，a+1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大2． 19. 如图，快递员小李从点出发，负责给三个菜鸟驿站派送包裹，站点位于点的北偏西方向上，站点位于点的南偏东方向上，站点位于点的北偏东方向上，且站点到点的距离与站点到点的距离相等．已知小李在派送包裹时，从点到站点所需要的时间分别为和，配送速度均为． （1）试计算的度数； （2）求站点与站点之间的距离． 20. 如图，在中，，是过点的直线，于点，于点． （1）若，在直线的同侧（如图①所示），且，求证： ①； ②． （2）若，在直线两侧（如图②所示），且，其他条件不变，与垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 21. 已知关于x的方程． （1）若该方程的解满足，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 22. 学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价分别为多少元？ （2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？ （3）若学校购买这批篮球和足球的总费用为(元)，在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用最小，并求出的最小值． 23. （1）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCDBC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为_______． （2）【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由． （3）【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，直接写出△BCD的面积（用含a的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$