压轴题03 二次函数中三角形存在性的三种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题03 二次函数中三角形存在性的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、等腰三角形存在性 2 题型二、直角三角形的存在性 11 题型三、等腰直角三角形的存在性 20 压轴能力测评（5题） 34 一、等腰三角形存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1、知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2） 2、解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 二、直角三角形存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1、知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 题型一、等腰三角形存在性 【例1】．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是轴上一点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是抛物线上且在直线上方的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标． 【变式1】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴于A，B两点，交y轴于点C，． (1)直线过A，C两点， ①如图1，求抛物线的解析式； ②如图1，将直线向右平移，A的对应点为B，且，以为一腰作等腰三角形，求N的坐标； (2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线交y轴于点H，若，求a的值． 【变式2】．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值． 【变式3】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．直线与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 题型二、直角三角形存在性 【例2】．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧； (1)求经过A、B、C的抛物线的解析式； (2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【变式2】．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； (2)是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 题型三、等腰直角三角形的存在性 【例3】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（23-24九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)写出点、、的坐标； (2)过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图象相交于点，． ①若，以为直径作，当与轴相切时，求的值； ②直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在，请说明理由． 【变式2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 1．（23-24九年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线过点， (1)求抛物线的解析式； (2)平移抛物线，平移后的顶点为． ①如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线不全是上升趋势，求的取值范围； ②若平移后的新抛物线交轴于点，且恰好为顶角是的等腰三角形，求点的坐标、 2．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于两点（点在轴上），与二次函数图象的对称轴交于点． (1)求的值及点坐标； (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)连接、，求的面积； (4)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使的值最小，此时P的坐标为 ； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由； (4)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，作的角平分线交抛物线于点D，求点D的坐标； (3)在（2）的情况下，若点E为抛物线的顶点，作直线，将抛物线沿直线平移，点E平移后的对应点为F，过点D作x轴的垂线与平移后的抛物线交于点G．在平移过程中，是否存在这样的点F，使得由三个点D、G、F构成的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数中三角形存在性的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、等腰三角形存在性 2 题型二、直角三角形的存在性 11 题型三、等腰直角三角形的存在性 20 压轴能力测评（5题） 34 一、等腰三角形存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1、知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2） 2、解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 二、直角三角形存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1、知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 题型一、等腰三角形存在性 【例1】．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是轴上一点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是抛物线上且在直线上方的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)， 【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，等腰三角形的性质； （1）把、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）分，，三种情况分别求解即可； （3）先求得直线的解析式为，过点作轴的平行线交于点，设点，则，进而表示出面积，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点和点，交轴于点 ∴ 解得： ∴二次函数表达式为：； （2）解：∵， ∴， 设 ①当时，则 ∴或 ②当时， 解得：或（舍去） ∴， ③当时， 解得：， ∴， 综上所述，或或或 （3）解：设直线的解析式为，将点，代入， 解得： ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则， 则， ， 当时，面积取得最大值为：， 则． 【变式1】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴于A，B两点，交y轴于点C，． (1)直线过A，C两点， ①如图1，求抛物线的解析式； ②如图1，将直线向右平移，A的对应点为B，且，以为一腰作等腰三角形，求N的坐标； (2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线交y轴于点H，若，求a的值． 【答案】(1)①；②N点坐标为或或，或或或 (2) 【详解】（1）解：①直线过，两点， ， 将、点坐标代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； ②当时，， 解得或， ， 将直线向右平移，的对应点为， 平移后的直线的解析式为， ，， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ，， ， ，， ，， 当时，或或，； 当时，或或； 综上所述：点坐标为或或，或或或； （2）解：， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ，， ， ， 解得． 【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中． 【变式2】．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或或； (3)，． 【分析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出P点坐标，则可表示出和的长，分、两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标； （3）由B、C的坐标可求得直线的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， 则， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在， 理由：， ∴抛物线对称轴为直线， ，且， ， ∵点P在对称轴上， ∴可设， ， 当时，则有， 解得，此时P点坐标为或； 当PC=CD时，则有， 解得（与D重合，舍去）或， 此时P点坐标为， 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或； （3）当时，即， 解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点E是线段上的一个动点， ∴可设，则， ， ， ∴当时，S△CBF有最大值，最大值为， 此时， ， ∴当时，的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 【变式3】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．直线与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当面积最大时点P的坐标为及该面积的最大值为； (3)存在，或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点P作于H，交直线于F，直线过点D作于G，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，设，则，求得，设面积，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）利用勾股定理得，①当，在点C的上方时，②当，在点C的下方时，③当时，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得， 物线的解析式为； （2）解：如图1，过点P作于H，交直线于F，直线过点D作于G， 设直线的解析式为， 直线经过，， ， 解得， 直线的解析式为， 点P是抛物线上的点且在直线上方， 设，则， ， 设面积为， ， ， 当最大值为时，，此时， 当面积最大时点P的坐标为及该面积的最大值为； （3）解：当时，， ， ， ①当，在点C的上方时， ， 点的坐标为； ②当，在点C的下方时， ， 点的坐标为； ③当时， 设，则， ， 点的坐标为； 综上所述，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题． 题型二、直角三角形存在性 【例2】．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧； (1)求经过A、B、C的抛物线的解析式； (2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）先求出，由旋转的性质得到，则，解方程求出，再把解析式设为交点式，利用待定系数法求解即可； （2）求出对称轴为直线，设，则，，，分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在y轴正半轴上，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 解方程得， ∵点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧， ∴， 设经过A、B、C的抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴经过A、B、C的抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 设， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想并通过勾股定理建立方程求解是解题的关键． 【变式1】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)， ，， (2)存在，，，，，，，， (3)存在， ， 【详解】（1）解：将，代入， 即，解得：， ∴， 令，则， 令，则， 解得：， ，， （2）解：存在是直角三角形， ∵，对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ①当时，, ∴ 解得： ②当时，, ∴ 解得： ③当时，, 解得：或. 综上所述：，，，，，，， （3）存在点使最小，理由如下： 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 由对称性可知，， ， 当、、三点共线时，有最小值， ，，，， ， ， 由对称性可知， ， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ，； 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)． (2)见解析 (3)当为直角三角形时，M的坐标为或． 【分析】（1）本题用待定系数法求二次函数解析式，将，两点代入求解，即可解题． （2）本题根据抛物线的表达式得到点C的坐标，利用勾股定理求得的长，结合，得到，推出，，以及，推出，最后利用等量代换即可解题． （3）本题利用、求得对称轴，根据是以为直角边的直角三角形，分别过点B作交对称轴于和过点A作交对称轴于，先求出直线解析式，根据垂直得到直线解析式和直线解析式，将代入上述解析式，即可解题． 【详解】（1）解：将，两点代入中， 有，解得， 抛物线的表达式为：． （2）解：令，则， ， ，， ， 又，， ， ， ， 平分． （3）解：存在，理由如下： ，， 对称轴为直线， 过点B作交对称轴于， 设直线解析式为，则得，解得， 直线解析式为， 设直线为， ， ， ． 当时，， ； 过点A作交对称轴于， 设直线为，则得， ， ． 当时，， ； 当为直角三角形时，M的坐标为或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形性质、平行线的性质、勾股定理、角平分线的判定、二次函数与一次函数综合、一次函数互相垂直，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键． 【变式3】．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； (2)是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线， 点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为即可得顶点； （2）设， 可得 根据是以为斜边的直角三角形，有 即可解得或； （3）由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时， 随的增大而减小，可得 ②当 即 时， 时最小值为这种情况不存在最小值为；③当 时，随的增大而增大，有 ，分别解方程可得答案. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ， 点的坐标为， ∴， 将代入得： ，解得 ∴抛物线的解析式为， 当 时， ， ， 故答案为：； （2）解：存在点， 使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令 得 ， ∴， ∵， ，， ， 是以AC为斜边的直角三角形， ， ， 解得或 ∴或； （3）解：由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得 (舍去)或 ， ∴此时 ； ②当 即时， 时最小值为 ， ∴这种情况不存在最小值为； ③当时， 随的增大而增大， 时， 取最小值， ， 解得(舍去)或 ； ∴此时 ， 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用． 题型三、等腰直角三角形的存在性 【例3】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可； （3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：作交于点， 令，则， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点R的坐标为， ∴ ， ∵， ∴时，有最大值，此时点P的坐标为； （3）解：∵点Q是线段上一点， ∴设点Q的坐标为， ∵，， ∴， ∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为； 同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为； 如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点P的纵坐标为， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设， 同理， ∴，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴点P的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键． 【变式1】．（23-24九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)写出点、、的坐标； (2)过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图象相交于点，． ①若，以为直径作，当与轴相切时，求的值； ②直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点、、的坐标分别为，，， (2)①；②存在，的值为，，或3 【分析】（1）A、B两点的纵坐标都为0，所以代入，求解即可． （2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q的横坐标为，可推出D、E两点的坐标分别为：，，因为D、E都在抛物线上，代入一点即可得m． （3）使得是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识得m的值． 【详解】（1）当时，有， 解得：，， ∴、两点的坐标分别为和． 当时，， ∴点的坐标为． （2）①∵与轴相切．且与交于、两点， ∴圆心位于直线与抛物线对称轴的交点处， ∵抛物线的对称轴为，的半径为点的纵坐标， ∴、两点的坐标分别为：，         ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ②解：存在． ①当，时，如图1，                            过点F作轴于G， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵ ， ∴或． ②当，时，如图2， 过点F作轴于P， ∴ ． ∵ ，，   ∴ ． ∴ ， ∴ ． ∴或． ③当，时，如图3， 则F点一定在的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′， 分别过F，两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H． ∵， ∴． ∵，， ∴ ． ∴，． ∴ 四边形为正方形． ∴ ． ∴ ． ∴， ∴ ． ∵， ∴ ． ∵，． ∴ ． ∴，． ∴ 四边形为正方形． ∴ ∴． ∴ ． ∵， ∴ y的最大值为． ∵ 直线l与抛物线有两个交点， ∴ ∴ m可取值为或或3或． 综上所述，m的值为或或3或． 【点睛】本题难度适中，考查的主要是二次函数，切线的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形及全等三角形性质，但是最后一问情形较多不易找全，非常锻炼学生的全面思考． 【变式2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 【变式3】（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入 得 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，设与交于点，过点作于点     ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴， 如图所示，设与交于点，过点作于点    ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 当点与点重合时，如图所示，     ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ 此时， 综上所述，或或； （3）设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（23-24九年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线过点， (1)求抛物线的解析式； (2)平移抛物线，平移后的顶点为． ①如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线不全是上升趋势，求的取值范围； ②若平移后的新抛物线交轴于点，且恰好为顶角是的等腰三角形，求点的坐标、 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点是原抛物线的顶点，进而得到原抛物线向右平移了个单位，再根据三角形面积计算公式得到，据此求出，再根据抛物线的增减性求出两个抛物线呈上升趋势时x的取值范围，再根据题意即可得到答案；②分当是的等腰三角形时，当是的等腰三角形时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：①∵抛物线解析式为， 原抛物线的顶点坐标为，即点是原抛物线的顶点， 平移后的抛物线顶点为， 原抛物线向右平移了个单位， ∵， ∴， ∴ ， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴平移前后的两个抛物线的开口都向上， ∴当时，原抛物线呈上升趋势，当时，原抛物线呈下降趋势， 当时，平移后抛物线呈上升趋势，当时，平移后的抛物线呈下降趋势， 在直线的右侧原抛物线和新抛物线不全是上升趋势， ∴； ②如图所示，当是的等腰三角形时，过点M作于C， ∴， ∴， 由题意得，平移后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴ 如图所示，当是的等腰三角形时，过点M作轴于C， ∴，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴ ， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标是 (3)，，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作直线，过点P作轴，交于点K，求出直线解析式，设P的坐标为，则点K的坐标是，，表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质即可求解； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）∵对称轴为直线，点A的坐标是，则B的坐标是， 则， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）如图，作直线，过点P作轴，交于点K， ∵对称轴为直线， ∴点D的坐标是， 当时，， ∴点，直线解析式为， 则， ∴， ∴， 设P的坐标为，则点K的坐标是， ∴， ∴， 则， 则， ∴当时，有最大值10，此时P点的坐标是； （3）设点， 由点O、P、M的坐标得，，，， 当时，即， 解得：； 即点或； 当时，则， 解得：或， 则点或． 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，面积的计算等知识，数形结合是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于两点（点在轴上），与二次函数图象的对称轴交于点． (1)求的值及点坐标； (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)连接、，求的面积； (4)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4)存在，的坐标为或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出点B的坐标，再由图象直接可求得一次函数值大于二次函数值的的取值范围； （2）先求出，然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解． 【详解】（1）∵直线过点， ∴， ∴， ∴， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）将代入得：， ，且， 由图象直接可得一次函数值大于二次函数值的的取值范围为：； （3）由（1）知，直线的解析式为，，二次函数对称轴为， ∵直线与二次函数图象的对称轴交于点D， ∴设点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 （4）∵顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴设点， 又∵，点， ∴， 当时，则， ∴（舍去）， ∴点坐标为， 当时，则， ∴点坐标为或； 当时，则， ∴， ∴点坐标为； 综上所述：点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 4．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使的值最小，此时P的坐标为 ； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由； (4)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)能，或； (4)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到面积的计算，直角三角形的性质、点的对称性等，分类求解是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，点为所求点，即可求解； （3）当直线能否把分成面积之比为的两部分时，即或，即可求解； （4）当是斜边时，由勾股定理列出等式，即可求解；当或为斜边时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，    点关于抛物线对称轴的对称点为点，则交抛物线对称轴于点，点为所求点，理由： 为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 即点， 故答案为：； （3）解：能，理由： 当直线能否把分成面积之比为的两部分时，即或， 设点，点， 则或， 解得：或， 则点或； （4）解：设点， 由点、、的坐标得，，，， 当是斜边时， 则， 解得：或， 即点或； 当或为斜边时，同理可得： 或， 解得：或， 即点或， 综上，点的坐标为：或或或． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，作的角平分线交抛物线于点D，求点D的坐标； (3)在（2）的情况下，若点E为抛物线的顶点，作直线，将抛物线沿直线平移，点E平移后的对应点为F，过点D作x轴的垂线与平移后的抛物线交于点G．在平移过程中，是否存在这样的点F，使得由三个点D、G、F构成的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，，根据根与系数的关系可得，再由求出，，再将点A或B代入函数解析式即可求解； （2）设射线与y轴的交点为G点，过点G作交于H点，在中，利用勾股定理求出，可知，直线的解析式为与抛物线的交点为D点，从而可得答案； （3）设抛物线向右平移h个单位长度，则向上平移 个单位长度，E点平移后，平移后函数的解析式为，，当时，轴，求F点坐标，当时和时，不成立． 【详解】（1）解：设，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，， 将B代入中，可得， 解得， ∴函数的解析式为； （2）如图， 设射线与y轴的交点为G点，过点G作交于H点， ∵是的平分线， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）或， ∴； （3）存在点F，使得由三个点D，G、F构成的三角形为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 设抛物线向右平移h个单位长度，则向上平移个单位长度， ∴E点平移后， 平移后抛物线的解析式为， ∵，轴， ∴， 当时，轴， 如图， ∴，解得， ∴； 当时和时，不成立；如图， 综上所述：． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的性质，勾股定理，平移的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$