第13讲 函数模型及其应用（7类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第13讲 函数模型及其应用 （7类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第7题，4分 函数模型 2022年北京卷，第7题，4分 函数模型 2020年北京卷，第15题，5分 函数模型 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京高考中的出题情况相对稳定． 【备考策略】 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征； 2.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型）的广泛应用． 【命题预测】2025年高考可能结合函数与生活进行考查，考生需灵活运用函数模型解决各类实际问题． 知识讲解 知识点1 函数模型与性质 1、几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f (x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f (x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2、三种函数模型的性质比较 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 知识点2 函数建模 1、函数模型应用的两个方面 （1）利用已知函数模型解决问题； （2）建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测； 2、应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 考点一、二次函数模型应用 【典例1】（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【典例2】（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（    ） A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速 C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速 1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 2．（23-24高三上·上海·期中）某矿物质有A、B两种冶炼方法，若使用A方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）的平方成正比，若使用B方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知用A方法冶炼2吨、用B方法冶炼1吨所需的总费用为14千元，用A方法冶炼1吨、用B方法冶炼2吨所需的总费用也是14千元，现有该矿物质共m吨（），计划用A方法冶炼x吨（），剩余部分用B方法冶炼，所需总费用为y千元. (1)建立y与x的函数关系： (2)求总费用y的最小值，并说明其实际意义． 考点二、对勾函数模型应用 【典例1】（23-24高三上·福建德化·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【典例2】（22-23高三上·北京西城·开学考试）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元. (1)把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数； (2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 1．（22-23高三上·山东青岛·阶段练习）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应 天购买一次大米． 2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且资金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的． (1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？ (2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定最小正整数的值． 考点三、分段函数模型应用 【典例1】（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【典例2】（23-24高三上·北京西城·期中）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 1．（22-23高三上·北京·大单元练习）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润总收入成本） (1)求年利润（万元）关于年产量（百件的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 2．（22-23高三上·北京西城·阶段练习）某公司生产一种贵重机床，年固定成本为10万元，每生产1件该产品需另投入2.7万元，设该公司一年内生产该产品x件该种机床并全部销售完，每件收入为万元，且 (1)写出年利润W（万元）关于年产量x（件）的函数解析式； (2)年产量为多少件时，该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大． 考点四、指数函数模型应用 【典例1】（23-24高三下·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（    ） ①浮萍每个月增长的面积都相等； ②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米； ③浮萍面积每个月的增长率均为50%； ④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（23-24高三下·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C．6min D． 1．（23-24高三下·北京怀柔·零模）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是（参考数据：，）（    ） A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年 2．（23-24高三上·北京房山·期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 考点五、对数函数模型应用 【典例1】（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅.某地发生了地震，速报震级为里氏级，修订后的震级为里氏级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·四川成都·阶段练习）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ） 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 1．（23-24高三上·北京通州·阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 2．（22-23高三上·北京朝阳·阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．已知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息： （1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为 ； （2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 ． （所有结果保留整数，参考数据：） 考点六、幂函数模型应用 【典例1】（23-24高三上·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【典例2】（22-23高三下·安徽滁州·阶段练习）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 1．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（    ） A．若不变，则比原来提高不超过 B．若不变，则比原来提高超过 C．为使不变，则比原来降低不超过 D．为使不变，则比原来降低超过 考点七、构造函数模型解决实际问题 【典例1】（23-24高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【典例2】（23-24高三上·北京·期中）“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（    ）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：，） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24高三下·北京·阶段练习）如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）． (1)要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围； (2)当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积． 2．（22-23高三上·北京·期中）某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均为常数.当时，，其中m为常数.研究过程中部分数据如下表： x（单位：克） 0 2 6 10 …… y 8 8 …… (1)指出模型①②③中最能反映y和x（）关系的一个，并说明理由； (2)求出y与x的函数关系式； (3)求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳. 1．（23-24高三下·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%．刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（23-24高三上·北京朝阳·阶段练习）某食品加工厂2022年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2023年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 3．（23-24高三上·北京·阶段练习）渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度，鱼被打捞上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间（分）满足的函数关系式为若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去的新鲜度（    ）（参考数据：） A．33分钟 B．43分钟 C．50分钟 D．56分钟 4．（23-24高三上·北京丰台·期中）分贝（）、奈培（）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么（    ）（参考数据：） A．8.686 B．4.343 C．0.8686 D．0.115 5．（23-24高三下·北京丰台·一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为系列和系列，其中系列以，，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为： ①规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为； ②将（）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）．    某班级进行社会实践活动汇报，要用规格纸张裁剪其他规格纸张．共需规格纸张40张，规格纸张10张，规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供规格纸张的张数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（23-24高三上·北京·阶段练习）将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84m/s，则至少需要“打水漂” 次.(参考数据：取)    7．（23-24高一三上·云南昆明·阶段练习）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 1．（23-24高三下·陕西·阶段练习）某种生物群的数量Q与时间t的关系近似的符合：（其中e为自然对…），给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（    ） A．该生物群的数量不超过10 B．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小 C．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比 D．该生物群的数量的增长速度最大的时间 2．（23-24高三下·福建福州·模拟预测）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·北京东城·开学考试）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（    ） （参考数据） A．5 B．7 C．9 D．10 4．（23-24高三上·北京怀柔·阶段练习）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（    ） A．17天 B．19天 C．23天 D．25天 5．（22-23高三上·北京朝阳·期末）2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．（22-23高三上·北京·阶段练习）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（22-23高三上·北京·阶段练习）生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中，r，K是常数，表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内秉增长率，K是环境容纳量.可以近似刻画t时刻的种群数量.下面给出四条关于函数的判断： ①如果，那么存在； ②如果，那么对任意； ③如果，那么存在在t点处的导数； ④如果，那么的导函数在上存在最大值. 全部正确判断组成的序号是 . 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 3．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 4．（2020·全国·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ） A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 5．（2019·全国·高考真题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 7．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数模型及其应用 （7类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第7题，4分 函数模型 2022年北京卷，第7题，4分 函数模型 2020年北京卷，第15题，5分 函数模型 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京高考中的出题情况相对稳定． 【备考策略】 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征； 2.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型）的广泛应用． 【命题预测】2025年高考可能结合函数与生活进行考查，考生需灵活运用函数模型解决各类实际问题． 知识讲解 知识点1 函数模型与性质 1、几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f (x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f (x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2、三种函数模型的性质比较 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 知识点2 函数建模 1、函数模型应用的两个方面 （1）利用已知函数模型解决问题； （2）建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测； 2、应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 考点一、二次函数模型应用 【典例1】（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【解析】由题意可知：， 设投资这两座城市收益为， 则有， 令，则有， 该二次函数的对称轴为，且开口向下， 所以，故选：B 【典例2】（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（    ） A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速 C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速 【答案】C 【解析】对于甲车，令，即 解得（舍）或，所以甲未超速； 对于甲车，令，即 解得（舍）或，所以乙超速；故选:C. 1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【答案】(1)；(2)第三年 【解析】（1）由已知可得，. （2）当时，开始盈利， 即，整理可得，解得. 又，所以，即从第三年开始盈利. 2．（23-24高三上·上海·期中）某矿物质有A、B两种冶炼方法，若使用A方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）的平方成正比，若使用B方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知用A方法冶炼2吨、用B方法冶炼1吨所需的总费用为14千元，用A方法冶炼1吨、用B方法冶炼2吨所需的总费用也是14千元，现有该矿物质共m吨（），计划用A方法冶炼x吨（），剩余部分用B方法冶炼，所需总费用为y千元. (1)建立y与x的函数关系： (2)求总费用y的最小值，并说明其实际意义． 【答案】(1)，；(2)答案见解析. 【解析】（1）若分别表示用A、B方法的费用，表示A、B方法使用矿物重量， 所以，可设，， 由题意，， 所以，所需总费用，且. （2）由（1）知：，， 当时，时总费用y的最小值，即全部用方法A冶炼费用最小； 当时，时总费用y的最小值，即1.5吨用方法A，剩余的用方法B，费用最小. 考点二、对勾函数模型应用 【典例1】（23-24高三上·福建德化·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【解析】由题意得，， 当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B 【典例2】（22-23高三上·北京西城·开学考试）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元. (1)把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数； (2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得：， 即： （2）由于，所以函数， 当且仅当，即时取等号(最小值)． 1．（22-23高三上·山东青岛·阶段练习）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应 天购买一次大米． 【答案】10 【解析】设平均每天所支付的总费用为y元， 则， 当且仅当，即时取等号， 故该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少． 2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且资金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的． (1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？ (2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定最小正整数的值． 【答案】(1)万元；(2) 【解析】（1）当时，， 由，，符合要求， 故该企业可获得万元奖金； （2）， 由为正整数，故在上单调递增， 则有，解得，又， 即在上恒成立， 即，即. 故最小正整数的值为. 考点三、分段函数模型应用 【典例1】（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【答案】C 【解析】由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动， 即当小于等于200时,适宜开展户外活动，即, 因为，所以当时, 只需，解得:, 当时，只需，解得:, 综上：适宜开展户外活动的时间段为，共计7个小时.故选:C 【典例2】（23-24高三上·北京西城·期中）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元 【解析】（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得： 当时，， 当时，， ∴． （2）当时，， 当时，取得最大值9； 当时，， 此时，当即时，取得最大值. 综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元. 1．（22-23高三上·北京·大单元练习）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润总收入成本） (1)求年利润（万元）关于年产量（百件的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 【答案】(1)；(2)当年产量为百件时，获利最大. 【解析】（1）依题意， . （2）当时，当时， 取得最大值为万元. 当时，万元， 当且仅当百件时等号成立. 综上所述，当年产量为百件时，获利最大. 2．（22-23高三上·北京西城·阶段练习）某公司生产一种贵重机床，年固定成本为10万元，每生产1件该产品需另投入2.7万元，设该公司一年内生产该产品x件该种机床并全部销售完，每件收入为万元，且 (1)写出年利润W（万元）关于年产量x（件）的函数解析式； (2)年产量为多少件时，该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大． 【答案】(1)；(2)11件. 【解析】（1）依题意，，， 当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 而，，当时，， 当时，，， 因此当时，利润W取最大值. 所以年产量为11件时，该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大． 考点四、指数函数模型应用 【典例1】（23-24高三下·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（    ） ①浮萍每个月增长的面积都相等； ②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米； ③浮萍面积每个月的增长率均为50%； ④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由已知可得，则. 对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为（平方米）， 浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为（平方米），①错； 对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为（平方米），②对； 对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为， 所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错； 对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，， 则，，，所以，④错.故选：B. 【典例2】（23-24高三下·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C．6min D． 【答案】B 【解析】由题可知，函数， 令，则， 两边同时取对可得：，即， 即.故选：B. 1．（23-24高三下·北京怀柔·零模）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是（参考数据：，）（    ） A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年 【答案】B 【解析】由题意可知，，故， 则，即， 所以，则要使河水的污染水平下降到初始时的， 需要的时间大约是90天，即三个月．故选：B． 2．（23-24高三上·北京房山·期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉， 所以，即所以． 再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为 ．故选：A. 考点五、对数函数模型应用 【典例1】（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅.某地发生了地震，速报震级为里氏级，修订后的震级为里氏级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，即，， 当时，地震的最大振幅为， 当时，地震的最大振幅为， 所以修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是.故选：C . 【典例2】（23-24高三上·四川成都·阶段练习）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ） 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，所以， ，所以，，故C错误； 则有， 因为，可得，故A错误； 因为，，则， 所以，故B错误; ，所以，故D正确.故选：D. 1．（23-24高三上·北京通州·阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】根据题意，将，代入可得 ； 将，代入可得 ； 所以可知.故选：D 2．（22-23高三上·北京朝阳·阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．已知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息： （1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为 ； （2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 ． （所有结果保留整数，参考数据：） 【答案】 3129 68 【解析】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为： ； （2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比为， 要使火箭的最大速度至少增加， 则，即 ， 即 ，即 ， 所以， 所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68. 故答案为:3129；68. 考点六、幂函数模型应用 【典例1】（23-24高三上·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解析】令，， ∵， ∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30.故选：A. 【典例2】（22-23高三下·安徽滁州·阶段练习）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【解析】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%.故选：B 1．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，．故选：D． 2．（23-24高三下·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（    ） A．若不变，则比原来提高不超过 B．若不变，则比原来提高超过 C．为使不变，则比原来降低不超过 D．为使不变，则比原来降低超过 【答案】C 【解析】由题意，，所以，， A：当，不变，比原来提高时， 则，所以比原来提高超过，故A错误； B：由选项A的分析知，，所以比原来提高不超过，故B错误； C：当，不变，比原来提高时，， 所以比原来降低不超过，故C正确； D：由选项C的分析知，比原来降低不超过，故D错误.故选：C 考点七、构造函数模型解决实际问题 【典例1】（23-24高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】A 【解析】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时．故选：A． 【典例2】（23-24高三上·北京·期中）“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（    ）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：，） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】设小时后，该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL， 则有，即， 取常用对数，可得，即， 所以， 即至少经过5小时，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，才能开车.故选：C 1．（23-24高三下·北京·阶段练习）如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）． (1)要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围； (2)当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积． 【答案】(1)；(2)当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米 【解析】（1）因为，，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 解得或，即x的取值范围是； （2）由（1）知 当且仅当时等号成立． 故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米． 2．（22-23高三上·北京·期中）某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均为常数.当时，，其中m为常数.研究过程中部分数据如下表： x（单位：克） 0 2 6 10 …… y 8 8 …… (1)指出模型①②③中最能反映y和x（）关系的一个，并说明理由； (2)求出y与x的函数关系式； (3)求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳. 【答案】(1)模型①；(2)；(3)当克时产品的性能达到最佳． 【解析】（1）模型①最能反映y和x（）的关系， 由题可知时，，显然模型③不合题意， 若为模型②，则，不合题意， 故模型①最能反映y和x（）的关系； （2）当时，， 由可得， 由得， 由得，解得， 所以； 当时，y＝， 由，可得，解得，即有y＝. 综上，可得 ； （3）当时，， 即有时，性能指标值取得最大值12； 当时， 单调递减， 所以当x＝7时，性能指标值取得最大值3； 综上可得，当x＝4克时产品的性能达到最佳． 1．（23-24高三下·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%．刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解析】依题意，，解得，则， 又，则.故选：C. 2．（23-24高三上·北京朝阳·阶段练习）某食品加工厂2022年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2023年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 【答案】D 【解析】设第年获利元，则,是正整数，年是第一年， 故，解得 故，即从年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选：D. 3．（23-24高三上·北京·阶段练习）渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度，鱼被打捞上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间（分）满足的函数关系式为若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去的新鲜度（    ）（参考数据：） A．33分钟 B．43分钟 C．50分钟 D．56分钟 【答案】A 【解析】由题意得，则，则， 故设这种鱼大约在t分后刚好失去的新鲜度， 即，则， 即，故， 即打上船的这种鱼大约在33分钟刚好失去的新鲜度，故选：A 4．（23-24高三上·北京丰台·期中）分贝（）、奈培（）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么（    ）（参考数据：） A．8.686 B．4.343 C．0.8686 D．0.115 【答案】A 【解析】因为，，， 所以，令，则， 所以.故选：A. 5．（23-24高三下·北京丰台·一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为系列和系列，其中系列以，，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为： ①规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为； ②将（）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）．    某班级进行社会实践活动汇报，要用规格纸张裁剪其他规格纸张．共需规格纸张40张，规格纸张10张，规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供规格纸张的张数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】依题意张规格纸张可以裁剪出张，或张或张， 设一张规格纸张的面积为， 则一张规格纸张的面积为， 一张规格纸张的面积为， 一张规格纸张的面积为， 依题意总共需要的纸张的面积为， 所以至少需要提供张规格纸张， 其中将张裁出张和张；将张裁出张； 将剩下的张裁出张， 即共可以裁出张、张、张.故选：C 6．（23-24高三上·北京·阶段练习）将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84m/s，则至少需要“打水漂” 次.(参考数据：取)    【答案】6 【解析】设石片第次“打水漂”时的速率为, 则，由，得， 则，即， 则，故至少需要“打水漂”的次数为6. 7．（23-24高一三上·云南昆明·阶段练习）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】(1)(2)产量为5千辆时，该企业利润最大，最大利润是380万元 【解析】（1）由已知，， 又 整理得 （2）当时，，则当时，； 当时，， 即时，， ，的最大值为380， 故当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元． 1．（23-24高三下·陕西·阶段练习）某种生物群的数量Q与时间t的关系近似的符合：（其中e为自然对…），给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（    ） A．该生物群的数量不超过10 B．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小 C．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比 D．该生物群的数量的增长速度最大的时间 【答案】C 【解析】因为，，故该生物种群的数量不会超过10，故A正确； 由，求导得， 显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，故C错误； 因为为对勾函数模型，故， 当且仅当，即时取到等号， 当时生物群的数量的增长速度随时间的增加而增加， 当时生物群的数量的增长速度随时间的增加减小， 即该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； 且当时，最大，故BD正确.故选：C. 2．（23-24高三下·福建福州·模拟预测）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等， 由题意得：，整理得：， 两边取常用对数得：，即， 即， 所以，即， 所以大约经过时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．故选：C． 3．（22-23高三上·北京东城·开学考试）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（    ） （参考数据） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【解析】当时，， 所以，由得， ， 所以的最小整数值为.故选：B 4．（23-24高三上·北京怀柔·阶段练习）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（    ） A．17天 B．19天 C．23天 D．25天 【答案】C 【解析】经过x天后，“进步”与“落后”的比，所以， 两边取以为底的对数得，又，， 所以，解得， 所以大约经过天后，“进步”是“落后”的倍.故选：C. 5．（22-23高三上·北京朝阳·期末）2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】由题及图象关系可知，在中，当一定时，越大，则越大， 当一定时，越小，则越大， 对于A，当时，，故A错误. 对于B，当时，，故B错误. 对于C，当时，，故C正确. 对于D，因为，令,， ，故D错误.故选：C. 6．（22-23高三上·北京·阶段练习）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】① ， 该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意； ② 为增函数，且 且，则，符合题意； ③ ，当时，不合题意 ④ ，当时，，故该函数在上单调递增， 又 设， 即， 易知在上为减函数 由在上连续，且，， 则存在，有 当，；当，； 故在递增，在递减. ，，故上，即上， 故④符合题意，所以②④满足题意，故选：B. 7．（22-23高三上·北京·阶段练习）生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中，r，K是常数，表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内秉增长率，K是环境容纳量.可以近似刻画t时刻的种群数量.下面给出四条关于函数的判断： ①如果，那么存在； ②如果，那么对任意； ③如果，那么存在在t点处的导数； ④如果，那么的导函数在上存在最大值. 全部正确判断组成的序号是 . 【答案】①②④ 【解析】当时，，令，解得：， 因为r为种群的内秉增长率，，所以，①正确； ， 因为，，所以，故对任意的，②正确； ， 因为，那么任意的在t点处的导数恒成立，故③错误； 令， 则 因为， 令得：，解得：， 令得：，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 那么的导函数在上存在极大值，也是最大值，④正确. 故答案为：①②④ 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 则，即，所以.故选：D. 2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近， 故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D 3．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【解析】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天.故选：B. 4．（2020·全国·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ） A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 【答案】B 【解析】由题意，第二天新增订单数为， ，故至少需要志愿者名.故选：B 5．（2019·全国·高考真题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得 因为， 所以， 即，解得， 所以 6．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 【答案】 130. 15. 【解析】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 7．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【解析】表示区间端点连线斜率的负数， 在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大， 因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在这三段时间中， 甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大， 即在的污水治理能力最强．④错误； 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大， 甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$