专题05 一元二次方程中常见易错易混问题归类-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

专题05 一元二次方程中常见易错易混问题归类 易错一：忽视二次项系数不为零的条件 易错二：应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件 易错三：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 易错四：利用根与系数的关系时未考虑“” 易错五：忽视几何图形对方程根的要求 易错六：忽视实际问题对方程根的要求 易错一：忽视二次项系数不为零的条件 已知方程. （1）当为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）当为何值时，此方程为一元一次方程？ 【答案】（1）（2）或2 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不等于0且二次项的次数等于2，从而可以解答本题； （2）根据一次方程的定义可解答本题，注意考虑问题一定要全面． 【详解】(1)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程， ∴ 解得：m=4， 所以当m为4时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程； (2)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程， ∴ 或 或 解得，m=5或m=2（无意义，舍去）， 故当m为5时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程. 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题关键在于掌握各性质定义. 一．选择题（共3小题） 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 2．关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 3．若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2：二次项系数不为0，可得答案． 【详解】解：由题意得：，解得， 故选：B． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 二、解答题（共3小题） 4．阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【答案】都不对，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，由是关于的方程的一个根可得，接着对进行因式分解为，可求出的值；根据方程是一元二次方程可知：二次项系数，据此可得到的取值． 【详解】解：两人的做法都不对． 不能直接约去，因为有可能有0． 正确的解答：把代入，化简，得 ， ， 或，， 解得或，． 是一元二次方程， ， 或． 5．已知方程是关于x的一元二次方程，求a的值． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【详解】解：由关于x的方程是一元二次方程，得 ． 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 6．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少． 【答案】0 【分析】常数项为零即m2﹣m＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意得：m2﹣m＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝0， 即m的值为0． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 易错二：应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 一．解答题（共3小题） 1．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式列关于m的不等式，然后解不等式即可； （2）求得最小整数，进而得方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：由得最小整数， ∴方程为， 解得，． 2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】（）利用根的判别式求出即可； （）把原方程因式分解，求出方程的两个根，，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题； 本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：原方程可变为， 则方程的两根为，， ∴直角三角形三边为，，； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 综上所述，的值为或． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 易错三：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 解方程： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式和因式分解法是解题的关键．先移项提取公因式，再化简为即可求解． 【详解】 解： 或， 解得：，． 一、解答题（共2小题） 1．解一元二次方程 【答案】【分析】题目主要考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 ， ∴， ∴． 2．解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键．用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 或． 易错四：利用根与系数的关系时未考虑“” 已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及其判别式的相关知识，将待求式根据完全平方公式适当的变形是解答本题的关键． （1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，有，，再将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 一元二次方程有两个实数根， 且， 即且， 解得：； （2）根据根与系数的关系得：，， ， ， 解得，（舍去）， 经检验是方程的解， 的值为． 一、解答题（共5小题） 1．已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系： （1）把代入方程求出的值即可； （2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可； （3）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）由题意，得：， 解得：； （3）由题意，得：， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴． 2．已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为． (1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； (2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)2 (2)或1或 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是： （1）利用根与系数的关系得出，，利用勾股定理列出关于k的方程，即可求解； （2）利用平方差公式得出，然后分两种情况讨论，由根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴无论k取何值，方程总有实数根， ∴，， ∵是斜边长为的直角三角形的两直角边， ∴， ∴， ∴， 解得(经检验，此时两根之积为负数，故舍去)，， ∴k的值为2 （2）解：假设存在， 当时，则，解得， 当时，， ∴， ∴， ∴ 解得，， 综上，当k的值为或1或时，． 3．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合题意求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴的值为． 4．阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为． 已知关于x的方程： (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围． (2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值． (3)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2)，或， (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据判别式大于等于零列不等式求解； （2）将代入方程得，，求出m，再根据两根和列方程求出n； （3）由根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形即可求出m的值． 【详解】（1）解：因为方程有两个实数根， 所以， 解得， 所以m的取值范围是； （2）将代入方程得，， 解得． 当时，方程为 因为， 所以． 当时，方程为 因为， 所以． 综上所述，或． （3）因为方程的两个实数根为， 所以． 因为， 所以， 即， 解得． 因为， 所以， 即m的值为． 5．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握相关的知识． （1）由关于的一元二次方程有两个实数根，可得，继而求得实数的取值范围； （2）由方程的两个实数根为、，且，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：； （2）由根与系数的关系可知：，， ， ， 解得：，， ∵， 的值为． 易错五：忽视几何图形对方程根的要求 附加题 (1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程的两根互为相反数的条件是　　． (2)已知、为实数，，则　　． (3)在直角梯形中，，度，，，，动点从点出发，沿线段方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段以每秒1个单位长度的速度向点运动．点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． ①设的面积为，求和之间的函数关系式； ②当为何值时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论） 【答案】(1)，且，异号 (2) (3)①；②或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了根与系数的关系；根式和完全平方式的意义；三角形面积公式及勾股定理的应用． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，可求出； （2）先将原式变形为，再根据二次根式与平方都是非负数，即可求得，，即可求得． （3）①作，则，根据三角形的面积公式即可求解． ②若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种：；第二种：；第三种：若．根据勾股定理可求得或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形． 【详解】（1）解：依题意可知：， ． 并且判别式△，则，异号． 故方程的两根互为相反数的条件是：，且，异号． 故答案为：，且异号； （2）解：， 即， ，， ，， ． 故答案为：； （3）解：①作，垂足为．则四边形为矩形． ， ． ②由①可知，， 若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 第一种：，在中， 则，解． 第二种：，在中，， 则， 整理得， ∵， ∴方程无实根， ． 第三种：若，由得，解得，（舍去） 综上可知：或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形． 一、解答题（共4小题） 1．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为12或3 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）由题意得： ∴方程有两个不相等的实数根 （2）∵，即 解得： 当为直角边时，，解得： 当为斜边时，，解得：（不合题意，舍） 综上：k的值为12或3 2．发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 【答案】(1)⑤；2，2，5不能构成三角形 (2)①当时，的周长为；②当为等边三角形时，的值为1． 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形； （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， △， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程恒有实数根； (2)若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)三角形的周长为9 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）利用判别式求解即可； （2）把代入原方程求出m的值，进而解方程求出方程的两个角，再根据等腰三角形的定义和构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ∴无论m取何值，方程总有实数根． （2）解：将代入，得， 解得 ∴原方程为， 解得， ∴此三角形的三边为：①4，4，1，此时三角形的周长为； ②1，1，4，此时三边不符合三角形三边关系，舍去． 综上所述，此三角形的周长为9． 4.已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：    ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 【答案】(1) (2)10 (3)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知一元二次方程根的判别式大于或等于0列出不等式求解即可； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，然后运用三角形的周长公式即可解答； （3）①由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积；②根据角平分线的性质以及的面积看求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． （2）解：由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：． （3）解：①由(2)知：的三边长为， ∴， ∴． ②过I分别作，    ∵和的角平分线交于点I， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 易错六：忽视实际问题对方程根的要求 【综合与实践】 任务主题：某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”． 数据信息：A超市和B水果店售卖同品种西瓜． 信息1：A超市西瓜的售价为4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为5元/千克，若一次购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表（精确到1千克）： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 … 付款金额/元 5 10 15 18.5 22 25.5 … 问题解决： 任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数关系式： 任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算： 任务3：已知西瓜的进货成本为3元/千克，市场调研发现：如果A超市以4元/千克销售，平均每天可以售出200千克．为了减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低元，销售量就会增加20千克，在尽可能减少库存的情况下，该超市将售价定为多少元时，每天的销售利润为168元？ 【答案】任务1：A超市：，B水果店： 任务2：当时，选择A超市更合算；当时，选择选择A超市和B水果一样；当时选择B水果店更合算． 任务3：该超市将售价定为元时，每天的销售利润为168元． 【分析】任务1∶根据题意可直接列出A超市的函数关系式，对B水果店分类讨论，当时，可直接列出函数关系式，当时，用待定系数法求解即可． 任务2：分情况讨论，分别列出一元一次不等式以及一元一次方程求解即可． 任务3：设每个售价为x元，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：任务1：依题意，A超市：， B水果店：当时，， 当时，设付款金额与购买量之间的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴． ∴B水果店：． 任务2：∵， ∴当时，选择A超市更合算； 由，得． ∴时，选择A超市更合算∶ 由，得． ∴当时，选择A超市和B水果店付款金额相同； 由，得． ∴当时，选择乙商店更合算． 综上，当时，选择A超市更合算；当时，选择选择A超市和B水果一样；当时选择B水果店更合算． 任务3：设每个售价为x元， 则销售量为：， 则， 整理得：， 解得：，（舍去） ∴该超市将售价定为元时，每天的销售利润为168元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式以及一元一次方程，一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 一、解答题（共3小题） 1．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 2．每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】这天售出了64辆轮椅． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解题关键． 设每辆轮椅降价元，利用利润=日销售量×单车利润列方程可求出x的值，根据每辆轮椅利润不低于180元即可得答案． 【详解】解：设每辆轮椅降价元，由题意， 得． 解得，． ， ． （不合题意，舍去）． （辆）． 所以，这天售出了64辆轮椅． 3．“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 依题意有． 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元， 依题意得：， 解得，， 每碗售价不得超过15元， 当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程中常见易错易混问题归类 易错一：忽视二次项系数不为零的条件 易错二：应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件 易错三：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 易错四：利用根与系数的关系时未考虑“” 易错五：忽视几何图形对方程根的要求 易错六：忽视实际问题对方程根的要求 易错一：忽视二次项系数不为零的条件 已知方程. （1）当为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）当为何值时，此方程为一元一次方程？ 【答案】（1）（2）或2 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不等于0且二次项的次数等于2，从而可以解答本题； （2）根据一次方程的定义可解答本题，注意考虑问题一定要全面． 【详解】(1)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程， ∴ 解得：m=4， 所以当m为4时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程； (2)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程， ∴ 或 或 解得，m=5或m=2（无意义，舍去）， 故当m为5时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程. 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题关键在于掌握各性质定义. 一．选择题（共3小题） 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 3．若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 二、解答题（共3小题） 4．阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 5．已知方程是关于x的一元二次方程，求a的值． 6．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少． 易错二：应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 一．解答题（共3小题） 1．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 易错三：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 解方程： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式和因式分解法是解题的关键．先移项提取公因式，再化简为即可求解． 【详解】 解： 或， 解得：，． 一、解答题（共2小题） 1．解一元二次方程 2．解方程：． 易错四：利用根与系数的关系时未考虑“” 已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及其判别式的相关知识，将待求式根据完全平方公式适当的变形是解答本题的关键． （1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，有，，再将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 一元二次方程有两个实数根， 且， 即且， 解得：； （2）根据根与系数的关系得：，， ， ， 解得，（舍去）， 经检验是方程的解， 的值为． 一、解答题（共5小题） 1．已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 2．已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为． (1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； (2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 3．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 4．阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为． 已知关于x的方程： (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围． (2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值． (3)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 5．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 易错五：忽视几何图形对方程根的要求 附加题 (1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程的两根互为相反数的条件是　　． (2)已知、为实数，，则　　． (3)在直角梯形中，，度，，，，动点从点出发，沿线段方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段以每秒1个单位长度的速度向点运动．点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． ①设的面积为，求和之间的函数关系式； ②当为何值时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论） 【答案】(1)，且，异号 (2) (3)①；②或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了根与系数的关系；根式和完全平方式的意义；三角形面积公式及勾股定理的应用． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，可求出； （2）先将原式变形为，再根据二次根式与平方都是非负数，即可求得，，即可求得． （3）①作，则，根据三角形的面积公式即可求解． ②若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种：；第二种：；第三种：若．根据勾股定理可求得或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形． 【详解】（1）解：依题意可知：， ． 并且判别式△，则，异号． 故方程的两根互为相反数的条件是：，且，异号． 故答案为：，且异号； （2）解：， 即， ，， ，， ． 故答案为：； （3）解：①作，垂足为．则四边形为矩形． ， ． ②由①可知，， 若以、、三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 第一种：，在中， 则，解． 第二种：，在中，， 则， 整理得， ∵， ∴方程无实根， ． 第三种：若，由得，解得，（舍去） 综上可知：或，、、三点为顶点三角形是等腰三角形． 一、解答题（共4小题） 1．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 2．发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程恒有实数根； (2)若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长． 4.已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：    ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 易错六：忽视实际问题对方程根的要求 【综合与实践】 任务主题：某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”． 数据信息：A超市和B水果店售卖同品种西瓜． 信息1：A超市西瓜的售价为4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为5元/千克，若一次购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表（精确到1千克）： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 … 付款金额/元 5 10 15 18.5 22 25.5 … 问题解决： 任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数关系式： 任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算： 任务3：已知西瓜的进货成本为3元/千克，市场调研发现：如果A超市以4元/千克销售，平均每天可以售出200千克．为了减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低元，销售量就会增加20千克，在尽可能减少库存的情况下，该超市将售价定为多少元时，每天的销售利润为168元？ 【答案】任务1：A超市：，B水果店： 任务2：当时，选择A超市更合算；当时，选择选择A超市和B水果一样；当时选择B水果店更合算． 任务3：该超市将售价定为元时，每天的销售利润为168元． 【分析】任务1∶根据题意可直接列出A超市的函数关系式，对B水果店分类讨论，当时，可直接列出函数关系式，当时，用待定系数法求解即可． 任务2：分情况讨论，分别列出一元一次不等式以及一元一次方程求解即可． 任务3：设每个售价为x元，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：任务1：依题意，A超市：， B水果店：当时，， 当时，设付款金额与购买量之间的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴． ∴B水果店：． 任务2：∵， ∴当时，选择A超市更合算； 由，得． ∴时，选择A超市更合算∶ 由，得． ∴当时，选择A超市和B水果店付款金额相同； 由，得． ∴当时，选择乙商店更合算． 综上，当时，选择A超市更合算；当时，选择选择A超市和B水果一样；当时选择B水果店更合算． 任务3：设每个售价为x元， 则销售量为：， 则， 整理得：， 解得：，（舍去） ∴该超市将售价定为元时，每天的销售利润为168元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式以及一元一次方程，一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 一、解答题（共3小题） 1．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 2．每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 3．“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 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