专题05 一元二次方程3种常考题型归类-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（吉林专用）

专题05 一元二次方程 （原卷版） 一元二次方程根的判别式 1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ） A．33 B．23 C．17 D． 2．（2021·吉林长春·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 4．（2022·吉林长春·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 5．（2021·吉林·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 6．（2020·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值为 ． 解一元二次方程 7．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 实际问题与一元二次方程 8．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 一元二次方程根的判别式 9．（2024·吉林长春·二模）关于的一元二次方程，其根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．无实根 C．无法判断 D．有两个不相等的实数根 10．（2024·吉林松原·三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ． 11．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 12．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 13．（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ． 14．（2024·吉林长春·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ． 15．（2024·吉林长春·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 16．（2024·吉林长春·二模）若抛物线与直线有两个公共点，则的取值范围为 ． 17．（2024·吉林长春·一模）若函数和（a为常数）的图象恰好有一个公共点、则a的值为 ． 18．（2024·吉林长春·二模）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 ． 19．（2024·吉林松原·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 解一元二次方程 20．（2024·吉林长春·二模）如图，边长为2的正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（    ） A．左平移2个单位 B．右平移1个单位，上平移个单位 C．右平移2个单位 D．右平移个单位，上平移1个单位 21．（2024·吉林·一模）若是关于方程的两个根，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 22．（2024·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 23．（2024·吉林松原·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为 （写出一个即可）． 24．（2024·吉林长春·一模）老师让同学们解方程，小红同学给出了如下的解答过程： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 (1)小红同学是用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第______步开始出现错误． (2)请你用适当的方法解该方程． 实际问题与一元二次方程 25．（2024·吉林·一模）如图，利用一面墙（墙的长度不限），要用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地．应怎样设计篱笆的边长？设垂直于墙的边长为，则可列方程为 ． 26．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点P、Q分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设． (1)当的面积为8时，求的值． (2)当时，求线段的长． (3)当点落在四边形的边上时，求的值． (4)直线与四边形的一条边交于点，若的面积是四边形面积的时，直接写出的值． 27．（2024·吉林松原·模拟预测）某商城在2024年三八节期间促销海尔冰箱，每台标价为3000元．商城举行了促销摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，且每次降价的百分率相同，若该冰箱最终以2430元售出．求每次降价的百分率． 28．（2024·吉林长春·三模）某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，求该城市绿化面积的增长率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程 （解析版） 一元二次方程根的判别式 1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ） A．33 B．23 C．17 D． 【答案】C 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 2．（2021·吉林长春·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 3．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 4．（2022·吉林长春·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可． 【详解】关于x的方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（2021·吉林·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 6．（2020·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值为 ． 【答案】13 【分析】根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac即可求出值． 【详解】解：∵a=1，b=3，c=-1， ∴△=b2-4ac=9+4=13． 所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是熟记根的判别式． 解一元二次方程 7．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 实际问题与一元二次方程 8．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①或3；②或或 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的另一个交点坐标为，再画出函数图象，由此即可得； （3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得； ②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则此抛物线的解析式为． （2）解：对于二次函数， 当时，，解得或， 则此抛物线与轴的另一个交点坐标为， 画出函数图象如下： 则当点在轴上方时，的取值范围为或． （3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 即， （Ⅰ）如图，当时， 当时，随的增大而减小， 则此时点即为最低点， 所以， 解得或（不符题设，舍去）； （Ⅱ）如图，当时， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则此时抛物线的顶点即为最低点， 所以， 解得，符合题设， 综上，的值为或3； ②设点的坐标为， 由题意，分以下两种情况： （Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点， 则在等腰中，只能是， 垂直平分，且， （等腰三角形的三线合一）， ， 解得， 则此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时， 由（3）①可知，此时， 则点， ， ， ， 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 一元二次方程根的判别式 9．（2024·吉林长春·二模）关于的一元二次方程，其根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．无实根 C．无法判断 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：根据题意：，，， ∴ ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 10．（2024·吉林松原·三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 11．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据因式分解解方程，即可化为为，解得或，再根据方程有两个不相等的实数根，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即或， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 12．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程没有实数根的条件是是解题的关键． 根据一元二次方程没有实数根的条件是，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 13．（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键在于理解抛物线与轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式小于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出的值． 【详解】解：抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点， ， 解得， 故答案为：． 14．（2024·吉林长春·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根据一元二次方程根的情况求参数值，熟练掌握判别式是关键．根据一元二次方程有两个实数根得到，即可求出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得． 故答案为：． 15．（2024·吉林长春·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 16．（2024·吉林长春·二模）若抛物线与直线有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题、一元二次方程根的判别式，由题意得出方程有两个不相等的实数根，再由根的判别式得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与直线有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 17．（2024·吉林长春·一模）若函数和（a为常数）的图象恰好有一个公共点、则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和根的判别式，根据函数和 (a为常数)的图象恰好有一个公共点得出方程的求出a即可，能根据题意得出 是解此题的关键． 【详解】解：∵函数 和(a为常数)的图象恰好有一个公共点， ∴令 即 解得： 故答案为：． 18．（2024·吉林长春·二模）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，解两个不等式得到的范围为且，然后根据为小于2的整数确定的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， ∵为小于2的整数， ∴的值为1． 故答案为：1． 19．（2024·吉林松原·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴符合题意的k的值可以为， 故答案为：（答案不唯一） 解一元二次方程 20．（2024·吉林长春·二模）如图，边长为2的正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（    ） A．左平移2个单位 B．右平移1个单位，上平移个单位 C．右平移2个单位 D．右平移个单位，上平移1个单位 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质可得，因为点P在函数的图象上，因此可求出函数解析式，利用正六边形平移设，，根据平移后点B、C恰好都落在该函数的图象上，将这两个点代入函数解析式即可求出m、n的值，即可得出答案． 【详解】过点P作轴于点G，连接， 由题意可知，G是的中点， ， ， 点P在函数的图象上， ， ， 正六边形中， ， 在中，， ，， ，， 设正六边形向右平移m个单位，向上平移n各单位，则， 使点B、C恰好都落在该函数的图象上， ， 解得或， 又， ， 即正六边形右平移1个单位，上平移个单位， 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正六边形的性质，反比例函数的图像和性质，将正六边形的边角关系和反比例函数上点的坐标结合起来是解题的关键． 21．（2024·吉林·一模）若是关于方程的两个根，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次的根与系数关系，，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是关于方程的两个根， ∴， 分析A、B、C、D四个选项，只有D选项是正确的； 故选：D． 22．（2024·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键． 【详解】方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 23．（2024·吉林松原·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为 （写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一，只要即可） 【分析】根据非负数的性质，即可得出，从而求解． 【详解】关于的一元二次方程有实数根， 故答案为：5（答案不唯一，只要即可）． 【点睛】本题主要考查了用直接开平方解一元二次方程，以及非负数的性质，熟练掌握一个数的平方为非负数是解题的关键． 24．（2024·吉林长春·一模）老师让同学们解方程，小红同学给出了如下的解答过程： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 (1)小红同学是用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第______步开始出现错误． (2)请你用适当的方法解该方程． 【答案】(1)配方法；二 (2)， 【分析】本题考查求解一元二次方程． （1）利用配方法求解方程时，注意变形时要保证等式左右两边的值不变； （2）可使用配方法求解． 【详解】（1）解：由解方程步骤可知：小红同学是用的配方法求解， 第二步等式右边没有加，出现错误 故答案为：配方法，二； （2）解：， 移项得， 配方得，即， 开平方，得， ∴，． 实际问题与一元二次方程 25．（2024·吉林·一模）如图，利用一面墙（墙的长度不限），要用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地．应怎样设计篱笆的边长？设垂直于墙的边长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据矩形场地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． 26．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点P、Q分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设． (1)当的面积为8时，求的值． (2)当时，求线段的长． (3)当点落在四边形的边上时，求的值． (4)直线与四边形的一条边交于点，若的面积是四边形面积的时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据题意得到，，，再根据“的面积为8”建立等式求解，即可解题； （2）记延长线交于点，由对称的性质可知，，，，推出，得到，进而可得，根据建立分式方程求解，即可求出，利用勾股定理得到，再利用，得到，即可求得，进而求得； （3）根据点落在四边形的边上，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合平行四边形性质，对称的性质，勾股定理以及三角函数求解，即可解题； （4）根据直线与四边形的一条边交于点，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合的面积是四边形面积的，理由平行四边形性质，得到的面积是面积的，得到为的中点或为的中点，结合（3）中①的情况，勾股定理，以及相似三角形的性质和判定，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， ， 的面积为8， ， 整理得， 解得或； （2）解：记延长线交于点， 由对称性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得，经检验是该方程的解， ，， ， ， ， 解得， ； （3）解：①当在上时， 四边形为平行四边形， ，， ， 由对称性质可知，，， ， ， ， ， 解得， ，， ； ②当在上时， 四边形为平行四边形， ， ∴， 由对称性质可知，，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，解得：， ，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，或； （4）解：或，理由如下： 的面积是四边形面积的， 四边形为平行四边形， 的面积是面积的， 直线与四边形的一条边交于点， ①当在上时，为的中点，为的中线， 四边形为平行四边形， ， ， 与（3）中①的情况一致， 故； ②当在上时，为的中点，为的中线， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 整理得，即或（舍去）， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对称的性质，锐角三角函数，解分式方程，勾股定理，平行四边形性质，三角形中位线性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 27．（2024·吉林松原·模拟预测）某商城在2024年三八节期间促销海尔冰箱，每台标价为3000元．商城举行了促销摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，且每次降价的百分率相同，若该冰箱最终以2430元售出．求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率是． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率是． 28．（2024·吉林长春·三模）某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，求该城市绿化面积的增长率． 【答案】该城市绿化面积的增长率． 【分析】先根据题意列出一元二次方程，即可求出增长率． 【详解】解：设绿化面积的年平均增长率是x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该城市绿化面积的增长率． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$