精品解析：天津经济技术开发区第一中学2023-2024学年高一下学期（强基班）期中检测数学试卷

天津经济技术开发区第一中学2023--2024学年度第二学期高一年级数学学科（强基）阶段检测试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36.0分.每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设与是两个不共线向量，且向量与共线，则= A. 0 B. C. －2 D. 2. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形； ⑤通过圆台侧面一点，有无数条母线； ⑥四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 实部与虚部之和为1 D. 在平面内的对应点位于第一象限 4. 水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ） A 等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 5. 已知向量，，，且，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线、是异面直线，、是平面，若，，，则下列说法正确的是（　　） A. 至少与、中的一条相交 B. 至多与、中的一条相交 C. 与、都相交 D. 与、都不相交 8. 在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，交于F，设，，则（ ） A. B. C. D. 10. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为（ ） A. B. C. D. 11. 已知A，B，C，D在球O表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ） A B. C. D. 12. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 复数的值等于______. 14. 已知，是两个不重合的平面，给出下列条件： ①，是平面内的两条直线，且，； ②，都平行于平面； ③内不共线的三点到的距离相等； ④，是两条异面直线，，，且，． 其中可判断的是__________．（填序号） 15. 已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 16. 在中，若，，三角形的面积，则外接圆的直径为__________． 17. 如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为__________． 18. 如图在平行四边形中，为边上一点，且满足，为上一点，且满足，，则，满足的数量关系为__________，的最小值为__________． 三、解答题（本大题共5小题，共46.0分） 19. 已知复数z的虚部为，，且z在复平面内对应的点在第四象限 （1）求复数z； （2）若，求的值. 20. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，周长为，求的面积． 21. 如图，在直三棱柱中，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求证：. 22. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点． （1）证明：EF∥平面PAB； （2）若二面角P－AD－B为60°． ①证明：平面PBC⊥平面ABCD； ②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． 23. 在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，． （1）用向量，表示向量，； （2）求的取值范围； （3）是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津经济技术开发区第一中学2023--2024学年度第二学期高一年级数学学科（强基）阶段检测试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36.0分.每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设与是两个不共线向量，且向量与共线，则= A. 0 B. C. －2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为与两个不共线向量，所以向量不是零向量， 又因为向量与共线，所以存在唯一实数，使成立， 所以，， 所以，，故选B． 考点：共线向量． 2. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形； ⑤通过圆台侧面一点，有无数条母线； ⑥四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明，结合锥体、台体的结构特征判断①②③⑤⑥；利用斜二测画法规则判断④即可. 【详解】对于①，正八面体的8个面都是三角形，正八面体不是三棱锥，①错误； 对于②，当截面与棱锥底面不平行时，原棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，②错误； 对于③，经过底面直角三角形锐角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥，四个面都是直角三角形，③正确； 对于④，梯形的直观图不可以是平行四边形，④错误； 对于⑤，圆台所有母线交于一点，因此通过圆台侧面一点，有一条母线，⑤错误； 对于⑥，一条侧棱垂直于底面矩形的四棱锥，四个侧面都是直角三角形，⑥正确， 所以正确命题的个数为2. 故选：C 3. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 的实部与虚部之和为1 D. 在平面内的对应点位于第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简，结合复数的模、共轭复数、实部和虚部、复数对应点的坐标等知识确定正确选项. 详解】， 所以：，A选项错误. ，B选项错误. 的实部与虚部之和为2，C选项错误. 对应点，在第一象限,，D选项正确. 故选：D 4. 水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边中只有两边相等的等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】由图形知，在原中，，如图， 因为，所以， ，， 又，. 为等边三角形. 故选：A 5. 已知向量，，，且，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，用向量的数量积公式求解即可求出参数. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，即，解得. 故选：C 6. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则和模长的求法可直接求得结果. 【详解】，. 故选：C. 7. 直线、是异面直线，、是平面，若，，，则下列说法正确的是（　　） A. 至少与、中的一条相交 B. 至多与、中的一条相交 C. 与、都相交 D. 与、都不相交 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知，共面于，共面于.利用空间两条直线的位置关系，对选项举出反例进行排除，由此得出正确选项. 【详解】解：由直线、是异面直线，、是平面，若，，，知：对于选项，可以与、都相交，交点为不同点即可，故选项不正确；对于选项，，，满足题意，故选项不正确；对于选项，与、都不相交，则与、都平行，所以，平行，与异面矛盾，故选项不正确；对于选项，由，、是错误的，可知正确.由于共面，共面，若与都平行，根据平行公理可知平行，这与已知异面矛盾，故选项正确.故本小题选. 【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，包括平行、相交、异面和平行公理的考查，属于基础题. 8. 在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体边长为1，则， 则， 设异面直线AD，所成角为， 则. 故选：D 9. 如图，在中，，，交于F，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理的推论结合已知条件可得，，从而可得，求出可得答案 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：B 10. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果. 【详解】该组合体的直观图如图： 半球的半径为米，圆柱的底面半径为米，母线长为米，圆台的两底面半径分别为米和米，高为米， 所以半球体积为（立方米）， 圆柱的体积为（立方米）， 圆台的体积为（立方米）， 故该组合体的体积为（立方米）. 故选：C 11. 已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，计算，，根据勾股定理得到，计算表面积得到答案. 【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接， 是中点，连接，如图所示： ，，则，四边形为矩形， ，，故，. 故选：C 12. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 复数的值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算直接化简即可. 【详解】由， 故， 故答案为：. 14. 已知，是两个不重合的平面，给出下列条件： ①，是平面内的两条直线，且，； ②，都平行于平面； ③内不共线的三点到的距离相等； ④，是两条异面直线，，，且，． 其中可判断的是__________．（填序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】对于①，一个平面内的两条直线平行于两一个平面不一定得到两平面平行；对于②，由平面平行的传递性可知正确；对于③，内不共线的三点到的距离相等，有可能两平面相交，也不一定平行；对于④，两平面内的两条异面直线分别平行于另一个平面，则两平面平行. 【详解】，，，是平面内的两条直线， 此条件没有排除两条直线平行的情况，故不能得出面面平行，故①不行； 平行于同一个平面两个平面平行，故②正确； 内不共线的三点到的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出， 故不能保证两平面平行，故③不对； ，是两条异面直线，，，且，， 能得到，故④正确. 故答案为：②④. 15. 已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案. 【详解】画出轴截面如下图所示， 圆锥的轴截面为正三角形， 设球心为，圆锥底面圆心为，球的半径为， 则圆锥的高为，底面半径为， 所以圆锥与球的体积之比为. 故答案为： 16. 在中，若，，三角形的面积，则外接圆的直径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积以及余弦定理可求得，再由正弦定理即可得出结果. 【详解】根据题意可得，解得； 则，即； 所以外接圆的直径为. 故答案为： 17. 如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用面面垂直性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 易知，因此可得平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得即为二面角的平面角； 显然，且，三角形为正三角形，所以； 在中，. 即二面角的正切值为. 故答案为： 18. 如图在平行四边形中，为边上一点，且满足，为上一点，且满足，，则，满足的数量关系为__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 16 【解析】 【分析】（1）设，用把表示出来，结合，即可求得，满足的数量关系； （2）由，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】为上一点，可设， 因为，所以， 由，所以 所以，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， ，因为，所以， 当且仅当时等号成立. 三、解答题（本大题共5小题，共46.0分） 19. 已知复数z的虚部为，，且z在复平面内对应的点在第四象限 （1）求复数z； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设，根据复数的几何意义求出的值即可； (2)由(1)可，根据复数的乘、除法运算求得，结合复数的乘方即可得出结果. 【小问1详解】 设， ∵， ∴，，解得， ∵z在复平面内对应的点在第四象限， ∴ ∴. 【小问2详解】 由（1）知，. ∴. 20. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得： 即： ，由得： （2），的周长为 由余弦定理可得： 的面积： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型. 21. 如图，在直三棱柱中，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求证：. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连结.由直三棱柱性质知为的中点，则.结合线面平行的判定定理可得平面； （2）等腰三角形三线合一，则.由直三棱柱的性质结合线面垂直的性质定理可得，结合线面垂直的判断定理可得平面，故. 【小问1详解】 如图，连接，交于点，连结. 据直三棱柱性质知四边形为平行四边形，所以为的中点. 又因为是的中点，所以. 又因为平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 因为，为的中点，所以. 据直三棱柱性质知平面，又因为平面，所以. 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，即. 22. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点． （1）证明：EF∥平面PAB； （2）若二面角P－AD－B为60°． ①证明：平面PBC⊥平面ABCD； ②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②． 【解析】 【详解】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值． 试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM． 因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD． 又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形， 所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB． （2）①证明：如图，连接PE，BE． 因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD， 所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角． 在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2． 在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1． 在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝， 从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB． 又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC． 又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD． ②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角． 由PB＝及已知，得∠ABP为直角． 而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝． 又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝． 所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为． 考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解． 【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值． 23. 在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，． （1）用向量，表示向量，； （2）求的取值范围； （3）是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量模长公式，结合二次函数的性质即可求解， （3）根据线性运算以及平面向量基本定理即可列方程求解. 【小问1详解】 因为， 所以． 又． 【小问2详解】 ， 因为，，， 所以 ． 因为动点E，F分别在线段BC和DC上且不包含端点，所以， 所以，， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 设，，其中，则 ， 因为， 由平面向量基本定理，得 解得， 由，得，故， 所以，解得，或． 因为，所以． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量数量的运算律和基底法得到的表达式，再根据二次函数的性质即可求出其范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$