精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

科尔沁左翼中旗实验高级中学2023--2024学年第二学期 高一月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. （2023·大庆市铁人中学高一月考） 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. D. （2023·江苏常熟中学高一月考） 3. 若λ为实数，已知向量，，若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（ ） A. B. C. D. 3 5. 在直角梯形中，，，，为的中点，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在平行四边形中，，若，则=（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知非零向量与满足且，则的形状是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 以上均有可能 8. 设两个向量和，其中λ，m，α为实数，若，则的取值范围是（ ） A. [－6,1] B. [4,8] C. (－∞，1] D. [－1,6] 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） （2023·山东济南高一月考） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为 10. 已知图中，，，为图中的阴影中（含边界）任意一点，并且，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 存在无数个点，使得 11. 对任意的两个向量，定义一种向量运算“*”：，（是任意的两个向量）．对于同一平面内的向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若是单位向量，则 12. 图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，．若，则的值为________； （2023·四川攀枝花高一段考） 14. 在平行四边形中，，，且，则的长是______． 15. 已知，，，点为延长线上一点，，连结，则的面积是______，_______． 16. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移． （2023·山东烟台高一诊断） 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与垂直． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 19. 已知，，，. （1）当时，求实数x的值； （2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 20. 设是不共线的两个非零向量. （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数的值； （3）若，且三点共线，求实数的值. 21. 在中，，，且△ABC的面积为． （1）求a的值； （2）若D为BC上一点，且________，求的值． 从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，点满足，点在线段上运动（包括端点）. （1）求的余弦值； （2）是否存在实数，使，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科尔沁左翼中旗实验高级中学2023--2024学年第二学期 高一月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把向量，作为基底，利用平面向量基本定理和向量的加减法法则求解. 【详解】解：因为是的中点，所以， 因为点是边的中点，所以， 所以, , , , , 故选：B 【点睛】此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，利用了数形结合的思想，属于基础题. （2023·大庆市铁人中学高一月考） 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量坐标运算得，再利用向量共线的坐标表示即可方程，解出即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，所以． 故选：D． （2023·江苏常熟中学高一月考） 3. 若λ为实数，已知向量，，若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，利用数量积求夹角. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得：， 所以. 设向量与的夹角为，则： 又，所以. 故选：D 【点睛】(1)， ①向量平行的条件：； ②向量垂直的条件：. 4. 在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合余弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）. 由余弦定理可得， 解得，故， 因为，则角为锐角，所以，， 因此，. 故选：A. 5. 在直角梯形中，，，，为的中点，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方形，结合向量的线性运算可知，展开运算即可得出答案. 【详解】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方形，， 根据题意得 . 故选:B. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题. 6. 在平行四边形中，，若，则=（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解. 【详解】，则平分，则四边形为菱形. 且，由，则, 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题. 7. 已知非零向量与满足且，则的形状是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 以上均有可能 【答案】C 【解析】 【分析】 和分别表示向量和向量方向上的单位向量，表示平分线所在的直线与垂直，可知为等腰三角形，再由可求出，即得三角形形状。 【详解】由题的，∵，∴平分线所在的直线与垂直，∴为等腰三角形.又，∴，∴，故为等边三角形. 故选：C 【点睛】本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。 8. 设两个向量和，其中λ，m，α为实数，若，则的取值范围是（ ） A. [－6,1] B. [4,8] C. (－∞，1] D. [－1,6] 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得 然后计算的范围，最后简单化简计算即可. 【详解】由，得所以 又cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sinα－1)2＋2， 所以－2≤cos2α＋2sinα≤2.所以－2≤λ2－m≤2. 将λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，解得≤m≤2， 所以＝2－∈[－6,1]． 故选：A 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） （2023·山东济南高一月考） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C，由投影向量的求解公式可判断D. 【详解】，所以，故A错误； ，故B正确； ， ，，，故C错误； 向量在上的投影向量为，故D正确． 故选：BD 10. 已知图中，，，为图中的阴影中（含边界）任意一点，并且，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 存在无数个点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】按点的位置分类，结合向量线性运算探讨的取值及关系，再逐项分析判断得解. 【详解】由，得，又，则， 于是，，连接，则四边形为平行四边形， 有，当点在线段上时，， 而，不共线，则，， 当点在线段上时，，当点在线段上时，， 当点在内时，过点作交于，则， 其中，， 则，，，，因此， 对于A，，A正确； 对于B，取，则，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，点为线段上任意一点时，均有，D正确． 故选：ACD 11. 对任意的两个向量，定义一种向量运算“*”：，（是任意的两个向量）．对于同一平面内的向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若是单位向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据定义，由共线和不共线的计算，结合数量积的性质以及运算律，即可结合选项逐一求解. 【详解】当共线时，，当不共线时，，故A正确； 当时，，，故B不正确； 当与共线时，则存在与不共线，，故C不正确； 当与不共线时，，当与共线时，设，，，故D正确． 故选:AD． 12. 图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，则，由余弦定理及三角形面积公式即可逐项求解. 【详解】设，则， 在中，， 由余弦定理可得，， 即， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以，，故A、B正确， 所以，故C错误， 所以， 所以的面积为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了用余弦定理解三角形及三角形的面积公式，解题的关键是由余弦定理求出的长度. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，．若，则的值为________； 【答案】 【解析】 【分析】利用向量坐标运算可构造方程求得，由此可计算得到结果. 【详解】，，解得：， . 故答案为：. （2023·四川攀枝花高一段考） 14. 在平行四边形中，，，且，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由数量积运算求出，再利用余弦定理即可求得长度. 【详解】，所以． 在中，由余弦定理得， 所以． 故答案为：. 15. 已知，，，点为延长线上一点，，连结，则的面积是______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在直角三角形中，利用三角函数的定义求出，结合同角关系式中的平方关系求出，利用三角形的面积公式得解. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 中，因为，，所以， 则， 则， 因为，所以， 解得或（舍去）． 综上可得，面积为，． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解． 16. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得. 【详解】因为，，所以，，所以， 又因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即，解得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得． 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移． 【答案】飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为 km. 【解析】 【分析】由题设有，应用向量数量积的运算律求即可. 【详解】如下图，， 则， 所以km. 又，即，结合图易知：在南偏西方位， 综上，飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为 km. （2023·山东烟台高一诊断） 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与垂直． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合正弦定理和同角的商数关系，可得所求角； （2）运用余弦定理求得c，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值． 【小问1详解】 因为，所以，　 即． 由正弦定理得． 因为，所以， 所以，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，得， 　 所以， 解得，或（舍）． 所以的面积． 19. 已知，，，. （1）当时，求实数x的值； （2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化为，利用向量数量积的运算律求解即可； （2）转化，利用向量数量积的运算律展开求解最大值，可得，即，用数量积表示向量夹角的余弦，求解即可 【小问1详解】 ， ， 解得. 【小问2详解】 . 当时，有最小值1，即有最小值1. 此时， ， 设向量与的夹角为， 则. 20. 设是不共线的两个非零向量. （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数的值； （3）若，且三点共线，求实数的值. 【答案】（1），所以. 又因为为公共点，所以三点共线. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的加法运算得，再利用共线向量定理得三点共线； （2）假设存在实数使得，从而得到关于的方程组； （3）由三点共线得与共线，设，即，从而得到关于的方程组. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则 解得或 所以实数的值为. 【小问3详解】 ， 因为三点共线，所以与共线. 从而存在实数使，即， 得解得所以. 【点睛】本题考查共线向量基本定理的运用，考查方程思想和基本运算求解能力。 21. 在中，，，且△ABC的面积为． （1）求a的值； （2）若D为BC上一点，且________，求的值． 从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 【答案】（1） （2） 选①，； 选②，． 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式计算得到a的值； （2）若选①，由正弦定理得，从而计算；若选②，由余弦定理得，结合三角内角和得． 【小问1详解】 由于，， ，解得； 由余弦定理得，解得； 【小问2详解】 若选①，则当时，在中，由正弦定理， 即，所以，∵，∴； 若选②，则当时，在中，由余弦定理知， ，解得或（舍）， ， ∵，∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，点满足，点在线段上运动（包括端点）. （1）求的余弦值； （2）是否存在实数，使，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意求得 ，再根据 ，运算即求得结果； （2）设，其中，由 ，得 ，可得．再根据，求得实数λ的取值范围：． 【详解】（1）由题意可得，， 故； （2）设，其中， ， 若 ，则 ， 即，可得， 若，则不存在， 若，则， 故. 考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $