第三章 空间向量与立体几何（B单元重点综合卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第三章 空间向量与立体几何单元测试（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．设，向量，，，若，，则的值为（    ）. A． B．1 C．2 D．3 2．若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（    ）． A．关于xOz平面对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于坐标原点对称 3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 5．如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 7．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，则下列向量中与成夹角的是（    ） A． B． C． D． 10．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 11．如图，在棱长为1的正方体中（    ） A．与的夹角为 B．平面与平面夹角的正切值为 C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 ． 13．已知，，则异面直线AB和CD所成角的大小为 . 14．在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 16．（15分） 在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，底面ABC，且，，．点Q为棱BP上一点，且． (1)求CQ的长； (2)求二面角的余弦值． 18．（17分） 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 空间向量与立体几何单元测试（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．设，向量，，，若，，则的值为（    ）. A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出可得答案. 【详解】若，则，解得， 若，则，解得， 则. 故选：A. 2．若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（    ）． A．关于xOz平面对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于坐标原点对称 【答案】D 【分析】运用空间向量坐标表示以及对称中的坐标特点可解. 【详解】点关于xOy的对称点为A，则A坐标； 点关于z轴的对称点为B，则B坐标； 则根据坐标特点知道A、B两点关于原点对称. 故选：D． 3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量的夹角公式求两个向量夹角的余弦值，再利用二面角的余弦值与两法向量夹角余弦值的关系即可得. 【详解】设两平面的夹角为，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 4．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 5．如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加、减、数乘运算，将所求向量用表示即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 6．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 7．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 8．在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，再利用点到平面距离的向量法，即可求出结果. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 所以点到平面的距离为， 故选：C. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，则下列向量中与成夹角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可. 【详解】A： 与夹角的余弦值为，夹角为，故A错误； B： 与夹角的余弦值为，夹角为，故B正确； C： 与夹角的余弦值为，夹角为，故C错误； D： 与夹角的余弦值为，夹角为，故D正确； 故选：BD 10．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 【答案】ACD 【分析】分别写出点的坐标，根据正方体中平面可判断A；利用两个非零向量垂直则数量积为0可判断B；根据点在x轴上的投影点为可判断C；根据点关于平面对称点坐标为可判断D. 【详解】由题知，，，，，，， 对于A，因为正方体， 所以平面， 是平面的一个法向量，故A正确； 对于B，∵，且， ∴不是平面的法向量，故B错误； 对于C，点在x轴上的投影点为，故C正确； 对于D，点关于平面对称点坐标为， ∴点关于平面对称点坐标为，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，在棱长为1的正方体中（    ） A．与的夹角为 B．平面与平面夹角的正切值为 C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个求解判断即可. 【详解】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 对于A，设与的夹角为，因为，， 所以， 因为，所以，所以A错误， 对于B，设平面的法向量为， 因为，, 所以，令，则， 因为平面， 平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面夹角为（为锐角），则， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的正切值为，所以B正确， 对于C，，平面的法向量为， 设与平面所成角为，则 因为为锐角，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值，所以C正确， 对于D，因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为 ，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算法则求解即可. 【详解】， ，得， ， 即点的坐标为. 故答案为：. 13．已知，，则异面直线AB和CD所成角的大小为 . 【答案】 【分析】根据向量数量积求出和夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围为，即可求出异面直线AB和CD所成角的大小． 【详解】， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线AB和CD所成角的大小为. 故答案为：. 14．在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 . 【答案】 【分析】取中点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线与所成角余弦的取值范围. 【详解】因为， 则， 所以 ，是以为斜边的等腰直角三角形， 取中点，连接，则，， 所以即为二面角的平面角， 如图： 以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为， 则， 又，所以，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 则，， 所以，， ， 设向量与夹角为，所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 16．在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 【详解】（1），E为AC的中点， 又，且平面 ，故平面． 又平面ABC，所以平面平面ABC （2）在三角形ABC中：，    由（1）知平面．因平面． 又E为AC的中点，则垂直平分AC，， ，又 ，即，又平面，故得，平面. 故可以E为坐标原点，分别以、、所在方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.    则，，，， ，，， 设平面PAB的一个法向量为，则 令，得． 设点C到平面PAB的距离，则． 17．如图，在三棱锥中，底面ABC，且，，．点Q为棱BP上一点，且． (1)求CQ的长； (2)求二面角的余弦值． 【详解】（1）因为，，所以，则． 因为底面ABC，且底面ABC，所以． 又，，平面ABP，所以平面ABP． 因为平面ABP，所以． 又，，平面PBC，所以平面PBC． 由平面PBC，得． 又底面ABC，底面ABC，所以，所以， 由等面积法得，故． （2）以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 所以则，，，，， 由（1）得，，所以 则，． 设平面ACQ的法向量为，则，即， 令，得． 由底面ABC，得为平面ABC的一个法向量， 则， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 18．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，因为，，平面，所以平面， 因为平面， 所以，又，是的中点， 所以，又因为，平面； 所以平面； （2）因为， 所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 因为平面， 所以直线与平面所成的角即为，即， 因为菱形的边长为2，，则在等边三角形中，，， 在中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 由平面的一个法向量为， ， 设平面与平面所成角为，， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为． 19．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以 又因为平面，平面， 所以, 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则 为的中点， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 所以，令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. （2）， 所以点到平面的距离为. （3）存在，，理由如下 设上存在一点，设，， ， 又因为直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以：，解得， 又因为，所以：，故存在，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$