压轴题07 直线的方程和圆的方程的5大题型-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第一册）

专题07 直线方程和圆的方程专题训练 目录 压轴题型讲练 1 类型一、直线的方程 3 类型二、隐圆问题 4 类型三、圆的切线方程 5 类型四、圆的弦长 7 类型五、圆与圆的位置关系 8 类型一、直线的方程 1.（23-24高二下·上海·期末）已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（   ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3） 2.（23-24高二下·浙江宁波·期末）点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定 3.（23-24高二上·广东湛江·期中）已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 4．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 5.（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1． (1)求直线l的方程； (2)O为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标． 6．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 7.（23-24高二下·上海·期末）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 类型二、隐圆问题 1.（23-24高二上·广东江门·期末）已知复数，则复平面内点满足的图形的面积是（     ） A．2 B．4 C． D． 2.（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（    ） A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆 C．E是两条平行直线 D．E 是椭圆 5.（2024·湖北襄阳·二模）（多选）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 6.（23-24高二上·四川德阳·期末）（多选）已知平面上两点M、N之间的距离为6，动点P满足，则（    ） A．动点P的轨迹长度为 B．不存在满足的点 C．的取值范围为 D．当P、M、N不共线时，的最大面积为50 7.（23-24高二上·湖北恩施·期末）（多选）已知平面内一点在圆上，分别过定点的两条直线相交于点，则下列结论正确的是（    ） A．动点的轨迹是除去点的一个圆 B．的最大值是 C．点到直线的距离的最小值为 D．动点的轨迹与圆一定没有交点 8.（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 类型三、圆的切线方程 1.（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 3.（23-24高二上·江苏宿迁·期末）（多选）已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在直线上，则直线过定点 B．当取得最小值时，点在圆上 C．直线，关于直线对称 D．与的乘积为定值4 4.（23-24高二上·安徽·期末）（多选）点，为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当，且为圆的直径时，面积的最大值为3 B．从点向圆引两条切线，切点分别为，，的最小值为 C．，为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得 D．当，时，的最大值为 5.（23-24高二上·广东·期末）（多选）已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的方程为 B．面积的最小值为2 C．圆的面积的最小值为 D．切点的连线过定点 6.（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知点P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，与圆切于点，则的最小值是 ． 类型四、圆的弦长 1.（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 3.（23-24高二下·广西南宁·期末）（多选）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 4．（23-24高二下·广东深圳·期末）（多选）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 5.（23-24高二下·安徽·期末）（多选）若直线与圆交于两点，则（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．圆的圆心坐标为 C．圆的半径为3 D．的取值范围是 6.（23-24高二上·福建龙岩·期末）（多选）已知经过点且斜率为k的直线l与圆交于不同的两点M，N，线段的中点为P，则（　　） A． B．当时，直线l平分圆C C．当时， D．点P的轨迹方程为 7.（23-24高二下·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 8.（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点P的横坐标为，则；      ②的最大值是 ③的最小值是2；                      ④的最小值是 其中，所有正确结论的序号是 ． 类型五、圆与圆的位置关系 1.（23-24高二上·安徽合肥·高二期中）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·浙江宁波·期末）（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 3．（2024·福建泉州·模拟预测）（多选）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 4.（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 5.（23-24高二上·上海黄浦·高二格致中学校期中）已知圆和圆 (1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示） (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 直线方程和圆的方程专题训练 目录 压轴题型讲练 1 类型一、直线的方程 6 类型二、隐圆问题 13 类型三、圆的切线方程 19 类型四、圆的弦长 27 类型五、圆与圆的位置关系 31 类型一、直线的方程 1.（23-24高二下·上海·期末）已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（   ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3） 【答案】D 【详解】对于（1），因为， 所以 ，即，所以（1）正确； 对于（2），当时，满足， 此时有，， 即，均在直线上，所以（2）错误； 对于（3），由，得到， 由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，知选项D正确； 故选：D 2.（23-24高二下·浙江宁波·期末）点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定 【答案】A 【详解】由点为直线上不同的两点， 则直线与直线的斜率存在时一定为， 可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数， 由已知可得，则，即两直线不可能平行与重合，则只能相交; 若直线与直线的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交； 故选：A. 3.（23-24高二上·广东湛江·期中）已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【详解】（1）直线l方程，可化为， 令，解得， 则直线l经过定点， 故直线l一定经过第三象限． （2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，且， 此时，所以直线l的斜率为， 即，则l：， 则，，， 故的面积为． 4．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 5.（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1． (1)求直线l的方程； (2)O为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)或 (2)10， 【详解】（1）由题意知直线l经过点，当直线斜率不存在时，方程为， 此时点到直线l的距离为1，符合题意； 当直线l斜率存在时，设方程为，即， 则由点到直线l的距离为1。得， 解得，即得，即， 故直线l的方程为或； （2）由点，可得直线的方程为， 故点关于的对称点为， 连接，则， 则， 当且仅当共线时，等号成立， 即的最小值为10， 此时的方程为，联立， 解得，即. 6．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不过定点，证明见解析 【详解】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 7.（23-24高二下·上海·期末）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【详解】（1）， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （3）易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 类型二、隐圆问题 1.（23-24高二上·广东江门·期末）已知复数，则复平面内点满足的图形的面积是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以 因为， 所以，即， 所以复平面内点满足的图形是以为圆心，以2为半径的圆， 所以它的面积为， 故选：D. 2.（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    由得,由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 3.（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由两直线垂直的判断条件，可知， 所以直线与始终垂直， 又由条件可得直线恒过定点，直线恒过定点， 所以两直线的交点是在以线段为直径的圆上， 所以该圆的圆心坐标为，半径为， 圆上点是过定点且斜率不存在的直线与过定点且斜率为0的直线的交点，故挖去点. 圆心到直线的距离， 所以，与的交点到直线的距离的最大值和最小值分别为和， 又到直线的距离为，应舍去， 所以取值集合是. 故选：D. 4.（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（    ） A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆 C．E是两条平行直线 D．E 是椭圆 【答案】B 【详解】设，由题有，， 所以，， 所以，即， 所以点的轨迹是一个半径为1的圆， 故选：B． 5.（2024·湖北襄阳·二模）（多选）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 【答案】AD 【详解】设在复平面内的对应点分别为， 由得，所以在直线上. 由得，所以在圆上. 如图所示： 对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故B错误； 对于CD：因为是方程在复数范围内的两根， 所以. 若，即或，此时， 由得或， ∴当或时，； 当时，，故C错误； 若，即，此时，为一对共轭虚根， ，故D正确. 故选：AD. 6.（23-24高二上·四川德阳·期末）（多选）已知平面上两点M、N之间的距离为6，动点P满足，则（    ） A．动点P的轨迹长度为 B．不存在满足的点 C．的取值范围为 D．当P、M、N不共线时，的最大面积为50 【答案】AC 【详解】以点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 设，显然， 由，得，整理得， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点的轨迹长度为，A正确； 当时，，由得，显然， 于是直线与圆的交点满足，B错误； 显然，而点到定点的距离， 则，即的取值范围为，C正确； 显然点到直线，即轴距离的最大值为，，D错误. 故选：AC 7.（23-24高二上·湖北恩施·期末）（多选）已知平面内一点在圆上，分别过定点的两条直线相交于点，则下列结论正确的是（    ） A．动点的轨迹是除去点的一个圆 B．的最大值是 C．点到直线的距离的最小值为 D．动点的轨迹与圆一定没有交点 【答案】ABD 【详解】由配方得: ,易得直线过定点, 直线过定点，且直线的斜率必存在，由可得：,如图. 对于A项，由，且可知点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：， 又因直线的斜率必存在，故需要去掉圆上的点，即动点的轨迹是除去点的一个圆，选项A正确； 对于B项，设，因,则其中， 因当时，，故的最大值是，选项B正确； 对于C项，由，易得：，因圆心到直线的距离为：， 故圆上的点到直线的距离的最小值为，选项C错误； 对于D项，因动点的轨迹方程为，(去掉点)， 设圆心为由可得两圆没有交点，故选项D正确． 故选：ABD． 8.（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 【答案】 【详解】 由题意即，即， 所以， 注意到点不满足和， 所以化简得， 又， 两式相减得公共弦方程为， 所以直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以 ， 当且仅当点与与直线的交点重合时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 类型三、圆的切线方程 1.（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 2.（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【详解】对于A项，由可得：，知圆心为,半径为， 故A项正确；    如图，点为圆的两条切线, 切点分别为. 对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误； 对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：， 由圆心到直线的距离，解得：， 取，则切线方程为代入整理得：， 解得：，代入可得：，即得：， 因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确； 对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则， 于是，.故D项错误. 故选：AC. 3.（23-24高二上·江苏宿迁·期末）（多选）已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在直线上，则直线过定点 B．当取得最小值时，点在圆上 C．直线，关于直线对称 D．与的乘积为定值4 【答案】ACD 【详解】设，由四点，，，共圆，且以为直径， 可得圆的方程为，化简得， 联立圆， 可得直线的方程为，即，令，且， 解得，即直线恒过定点，故A正确， , 由于，当且仅当时，即时等号成立， 故此时点在圆上，故B错误， 由于直线，关于直线对称，而方程为， 由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C正确， 设,则，，所以，故D正确， 故选：ACD 4.（23-24高二上·安徽·期末）（多选）点，为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当，且为圆的直径时，面积的最大值为3 B．从点向圆引两条切线，切点分别为，，的最小值为 C．，为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得 D．当，时，的最大值为 【答案】ABD 【详解】对A：当，为直径时，（其中为点的纵坐标）， 所以当点为或时，三角形的面积最大， ，所以A正确；    对B：设，交与点， 由圆的切线性质， 则， 所以，越大，越小， 当点在处时，最大， 此时，，，即，B正确；    对C：当点在处，且，为切线时，最大， 此时，即，， 所以不存在符合的点，C错误； 对D：设的中点，则，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，， 设小圆半径为，则， 则的最大值为，D正确．    5.（23-24高二上·广东·期末）（多选）已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆的方程为 B．面积的最小值为2 C．圆的面积的最小值为 D．切点的连线过定点 【答案】ABD 【详解】依题意，圆的圆心在直线上，设，则， 解得，圆，其圆心，半径，A正确； 设，显然四点共圆，该圆的直径是线段， 方程为，整理得， 由消去二次项得直线的方程：， 直线：，由得，即直线过定点，D正确； 显然，当时，弦长最短，此时， 因此以为直径的圆的面积最小值为，C错误； 直线的斜率，当时，直线：与线段平行， 因此点到直线的距离最小值为两条平行直线与间距离， 而此时弦长最短，从而的面积的最小值为，B正确. 故选：ABD 6.（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知点P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，与圆切于点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可得、，， 设，则，则， 由可得圆心为，半径为， 则，又， 则， 则. 故答案为：. 类型四、圆的弦长 1.（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 2.（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】如图，设关于对称的点为，则在圆上，连接，， 则有， 故.    故选：D 3.（23-24高二下·广西南宁·期末）（多选）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，若圆关于直线对称，则圆心在直线上， 将代入方程解得，故正确. 对于，直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短， 此时，圆心到直线的距离为 弦长为，故错误. 对于，设，，，， 由圆的方程可知，的最大值为5，所以的最大值为，故正确. 对于，因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 为点到直线的距离，为，由勾股定理得，故D正确.    故选：ACD 4．（23-24高二下·广东深圳·期末）（多选）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 【答案】ACD 【详解】对于A，设的中点为，连接，则， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以点到直线的距离的最小值为， 因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确， 对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形， 此时， 则， 所以，所以，所以B错误， 对于C，因为, 所以 , 因为， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为8，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为112，所以D正确， 故选：ACD 5.（23-24高二下·安徽·期末）（多选）若直线与圆交于两点，则（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．圆的圆心坐标为 C．圆的半径为3 D．的取值范围是 【答案】ACD 【详解】当时，直线的方程为，则直线的斜率为，所以倾斜角为，故A正确； 圆的方程化为标准方程为，圆心，半径，故B错误，C正确； 圆心到直线的距离，因为，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 6.（23-24高二上·福建龙岩·期末）（多选）已知经过点且斜率为k的直线l与圆交于不同的两点M，N，线段的中点为P，则（　　） A． B．当时，直线l平分圆C C．当时， D．点P的轨迹方程为 【答案】AB 【详解】A选项，变形为，即圆心为，半径为2， 设直线，则圆心到直线的距离，即，解得，A正确； B选项，当时，，由于，故在直线上，故当时，直线l平分圆C，B正确； C选项，当时，，故圆心到直线的距离，故，C错误； D选项，由A选项知，，联立与得，， 由得，且，故， 令，则， 由于，故在上单调递增，故，则, 由几何关系知，设，故，变形得到， 故点P的轨迹方程为，且，D错误. 故选：AB 7.（23-24高二下·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 【答案】 【详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，， 则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 8.（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点P的横坐标为，则；      ②的最大值是 ③的最小值是2；                      ④的最小值是 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】对于①，若点P的横坐标为，点P在圆上， 则点P的纵坐标为，则，①正确； 对于②，设点，则， ，因为， 故，当且仅当时等号成立， 即的最大值是，②正确； 对于③，设直线上的一点为，则； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，d取得最小值，即的最小值为，故③错误； 对于④，设，，    则， 当时，， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 当时， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 当时， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 综上可知的最小值是，④正确， 故答案为：①②④ 类型五、圆与圆的位置关系 1.（23-24高二上·安徽合肥·高二期中）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则， 即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 2.（23-24高二下·浙江宁波·期末）（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【详解】对于A，由圆，圆， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆外切时，，解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD 3．（2024·福建泉州·模拟预测）（多选）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BCD 【详解】A.若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心，即，得，故A错误； B. ，整理为，不管为何值，直线始终过点，当是线段的中点时，此时弦长最短， 圆，圆心是，半径， 圆心和点的距离是，所以最短弦长，故B正确； C. 当时，直线， 曲线，即， 所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故C正确； D.若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心， 的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以， 圆的方程为，整理为， 直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得 所以直线的方程是， 将直线所过的定点坐标代入上式得，得， 所以直线，即直线的斜率为，即，则，故D正确. 故选：BCD 4.（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】    如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 所以答案为：. 5.（23-24高二上·上海黄浦·高二格致中学校期中）已知圆和圆 (1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示） (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相交于两点，则， 解得， 与相减得， 直线的方程为； （2）设，则联立， 得， 则， 则， ， ， 解得，或， 其中不满足，舍去，满足要去， 则实数的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$