第五章：四边形-【卓文中考·加速度】2024年吉林中考数学精练册

精 练 册 √ 答案P３５ 第２２节　平行四边形与多边形 １．[２０２１襄阳]正多边形的一个外角等于６０°,这个多边形的边数是 (B ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．３ B．６ C．９ D．１２ ２．[２０２１遵义]如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,则下列结论一定正确的是 (A ) A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD 第２题图 　　　 第３题图 　　　 第４题图 　　　 第５题图 ３．[２０２１株洲]如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在线段BC 的延长线上,若∠DCE＝１３２°,则 ∠A＝ (B ) A．３８° B．４８° C．５８° D．６６° ４．[２０２１济宁]如图,正五边形ABCDE 中,∠CAD 的度数为 (C ) A．７２° B．４５° C．３６° D．３５° ５．[２０２１恩施州]如图,在▱ABCD 中,AB＝１３,AD＝５,AC⊥BC,则▱ABCD 的面积为 (B ) A．３０ B．６０ C．６５ D． ６５ ２ ６．[２０２１滨州]如图,在▱ABCD 中,BE 平分∠ABC 交DC 于点E．若∠A＝６０°,则∠DEB 的大小为 (C ) A．１３０° B．１２５° C．１２０° D．１１５° 第６题图 　　　　 第７题图 　　　　 第８题图 ７．[２０２１天津]如图,▱ABCD 的顶点A,B,C 的坐标分别是(０,１),(－２,－２),(２,－２),则顶点D 的坐标是 (C ) A．(－４,１) B．(４,－２) C．(４,１) D．(２,１) ８．[２０２１南充]如图,点O 是▱ABCD 对角线的交点,EF 过点O 分别交AD,BC 于点E,F,下列结论成立 的是 (A ) A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF ９．[２０２１牡丹江]如图,在四边形ABCD 中,AB＝DC,请添加一个条件,使四边形ABCD 成为平行四边形,你 所添加的条件为　AB∥DC　． 第９题图 　　　　 第１１题图 　　　　 第１２题图 １０．正多边形的一个内角为１３５°,则这个多边形的内角和是　１０８０°　． １１．[２０２１湘潭]如图,在 ▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,点 E 是边AB 的中点．已知 BC＝１０, 则OE＝　５　． １２．如图,在平行四边形ABCD 中,EC 平分∠BCD,交AB 于点E,EA＝３,EB＝５,ED＝４,则EC 的长为　４５　． １３．[２０２１郴州]如图,四边形ABCD 中,AB＝DC,将对角线AC 向两端分别延长至点E,F,使AE＝CF．连接 BE,DF,若BE＝DF．证明:四边形ABCD 是平行四边形． 第１３题图 证明:在△BEA 和△DFC 中, AB＝CD, AE＝CF, BE＝DF, ì î í ï ï ïï ∴△BEA≌△DFC(SSS),∴∠EAB＝∠FCD,∴∠BAC＝∠DCA,∴AB∥DC, ∵AB＝DC,∴四边形ABCD 是平行四边形． １４．[２０２０广安]如图,在▱ABCD 中,点E,F 是对角线AC 上的两点,且AF＝CE,连接DE,BF．求证:DE∥BF． 第１４题图 证明:∵在▱ABCD 中,AB＝CD,AB∥CD,∴∠BAF＝∠DCE． 在△ABF 和△CDE 中, AB＝CD, ∠BAF＝∠DCE, AF＝CE, ì î í ï ï ïï ∴△ABF≌△CDE(SAS),∴∠DEC＝∠BFA,∴DE∥BF． １５．[２０２１北京]如图,在四边形 ABCD 中,∠ACB＝∠CAD＝９０°,点E 在BC 上,AE∥DC,EF⊥AB,垂足 为F． (１)求证:四边形AECD 是平行四边形; (２)若AE 平分∠BAC,BE＝５,cosB＝ ４ ５ ,求BF 和AD 的长． 第１５题图 (１)证明:∵∠ACB＝∠CAD＝９０°,∴AD∥CE． ∵AE∥DC,∴四边形AECD 是平行四边形． (２)解:∵EF⊥AB,∴∠BFE＝９０°, ∵cosB＝ BF BE＝ ４ ５ ,BE＝５,∴BF＝ ４ ５BE＝ ４ ５×５＝４ , ∴EF＝ BE２－BF２ ＝ ５２－４２ ＝３． ∵AE 平分∠BAC,EF⊥AB,∠ACE＝９０°,∴EC＝EF＝３, 由(１)得四边形AECD 是平行四边形,∴AD＝EC＝３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３３ 加 速 度 √ 答案P３５ 第２３节　矩形、菱形、正方形 １．如图,在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,若∠COD＝５０°,那么∠CAD 的度数是 (B ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．２０° B．２５° C．３０° D．４０° 第１题图 　　　 第２题图 　　　 第３题图 　　　 第５题图 ２．如图,在正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,连接AE,CE,∠BCE＝７０°,则∠EAD 为 (C ) A．１０° B．１５° C．２０° D．３０° ３．[２０２１西藏]如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O．点E,F 分别是AB,AO 的中点,且AC＝ ８．则EF 的长度为 (A ) A．２ B．４ C．６ D．８ ４．在菱形ABCD 中,AC,BD 为对角线,若AC＝４,BD＝８,则菱形ABCD 的面积是 (B ) A．１２ B．１６ C．２４ D．３２ ５．[２０２０牡丹江]如图,在矩形ABCD 中,AB＝３,BC＝１０,点E 在BC 边上,DF⊥AE,垂足为F．若DF＝６,则 线段EF 的长为 (B ) A．２ B．３ C．４ D．５ ６．如图,AC 为矩形ABCD 的对角线,将边AB 沿AE 折叠,使点B 落在AC 上的点M 处,将边CD 沿CF 折叠, 使点D 落在AC 上的点N 处,易证四边形AECF 是平行四边形．要使四边形AECF 是菱形,则∠BAE 的度 数是 (A ) A．３０° B．４０° C．４５° D．５０° 第６题图 　　　　 第７题图 　　　　 第８题图 　　　 第９题图 ７．四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变．如图,改 变正方形ABCD 的内角,正方形ABCD 变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝３０°,则菱形ABC′D′的面积与正方 形ABCD 的面积之比是 (B ) A．１ B． １ ２ C． ２ ２ D． ３ ２ ８．[２０２１黔东南州]如图,BD 是菱形ABCD 的一条对角线,点E 在BC 的延长线上,若∠ADB＝３２°,则∠DCE 的度数为　６４　度． ９．[２０２１南充]如图,点E 是矩形ABCD 边AD 上一点,点F,G,H 分别是BE,BC,CE 的中点,AF＝３,则GH 的长为　３　． １０．[２０２１株洲]如图所示,线段BC 为等腰三角形ABC 的底边,矩形ADBE 的对角线AB 与DE 交于点O,若 OD＝２,则AC＝　４　． 第１０题图 　　　 第１１题图 　　　 第１２题图 　　　 第１３题图 １１．[２０２１鞍山]如图,矩形ABCD 中,AB＝３,对角线AC,BD 交于点O,DH⊥AC,垂足为 H,若∠ADH＝ ２∠CDH,则AD 的长为　３３　． １２．[２０２０常州]如图,点C 在线段AB 上,且AC＝２BC,分别以AC,BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE, BCFG,连接EC,EG,则tan∠CEG＝　　　　． １３．[２０２０包头]如图,在正方形ABCD 中,E 是对角线BD 上一点,AE 的延长线交CD 于点F,连接CE．若 ∠BAE＝５６°,则∠CEF＝　２２　°． １４．[２０２１十堰]如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点．若AB＝５,AD＝１２,则四边形 ABOM 的周长为　２０　． 第１４题图 　　　 第１５题图 　　　 第１６题图 １５．[２０２１山西]如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,BD＝８,AC＝６,OE∥AB,交BC 于点E, 则OE 的长为　　　　． １６．[２０２０枣庄]如图,E,F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点,AC＝８,AE＝CF＝２,则四边形BEDF 的 周长是　８５　． １７．[２０２０湘西州]如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,CE． (１)求证:△BAE≌△CDE; (２)求∠AEB 的度数． 第１７题图 (１)证明:∵△ADE 为等边三角形,∴AD＝AE＝DE,∠EAD＝∠EDA＝６０°, ∵四边形ABCD 为正方形,∴AB＝AD＝CD,∠BAD＝∠CDA＝９０°, ∴∠EAB＝∠EDC＝１５０°, 在△BAE 和△CDE 中, AB＝DC, ∠EAB＝∠EDC, AE＝DE, ì î í ïï ïï ∴△BAE≌△CDE(SAS)． (２)解:∵AB＝AD,AD＝AE,∴AB＝AE,∴∠ABE＝∠AEB． ∵∠EAB＝１５０°,∴∠AEB＝ １ ２ (１８０°－１５０°)＝１５°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４３ 精 练 册 √ 答案P３５ 阶段检测(五) 一、选择题 １．[２０２１常德]一个多边形的内角和为１８００°,则这个多边形的边数为 (C ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．１０ B．１１ C．１２ D．１３ ２．[２０２１南通]菱形的两条对角线的长分别是６和８,则这个菱形的周长是 (B ) A．２４ B．２０ C．１０ D．５ ３．如图,在▱ABCD 中,AE⊥CD,若∠B＝７０°,则∠DAE 的度数是 (A ) A．２０° B．１５° C．３０° D．７０° 第３题图 　　　 第４题图 　　　 第５题图 　　　 第６题图 ４．[２０２１株洲]如图所示,在正六边形ABCDEF 内,以AB 为边作正五边形ABGHI,则∠FAI＝ (B ) A．１０° B．１２° C．１４° D．１５° ５．如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点D 作DH⊥AB 于点H,连接OH,若OA＝６,OH＝４, 则菱形ABCD 的面积为 (B ) A．２４ ７ B．４８ C．７２ D．９６ ６．如图,在矩形ABCD 中,AB＝１,对角线AC 与BD 相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,若BE＝EO,则AD 的 长是 (B ) A．３ ２ B．３ C．３ ３ D．５ ７．如图,四边形ABCD 是菱形,点E,F 分别在边BC,CD 上,且BE＝DF,AB＝AE,若∠EAF＝７５°,则∠C 的 度数为 (C ) A．８５° B．９０° C．９５° D．１０５° 第７题图 　　　 第８题图 　　　 第９题图 ８．如图,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 为正方形,若点B(１,３),则点C 的坐标为 (A ) A．(－１,２) B．－１, ５ ２ æ è ç ö ø ÷ C．－ ３ ２ ,２æ è ç ö ø ÷ D．－１, ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ９．[２０２０临沂]如图,P 是面积为S的▱ABCD 内任意一点,△PAD 的面积为S１,△PBC 的面积为S２,则 (C ) A．S１＋S２＞ S ２ B．S１＋S２＜ S ２ C．S１＋S２＝ S ２ D．S１＋S２ 的大小与P 点位置有关 二、填空题 １０．如图,在▱ABCD 中,AD＝３,AB＝５,AD⊥AC．若AB 的垂直平分线分别交AB,AC 于点E,点F,则FC＋ FB＝　４　． 第１０题图 　　　 第１１题图 　　　 第１２题图 １１．如图,在矩形ABCD 中,点E 是CD 的中点,点F 是BC 上一点,且FC＝２BF,连接AE,EF．若AB＝２, AD＝３,则cos∠AEF 的值为　　　　． １２．如图,点E,F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD 上,∠EAF＝４５°,AD＝６．若DF＝２,则S△AEF＝　１５　． 三、解答题 １３．如图,在矩形ABCD 中,E,F 分别是边AB,CD 上的点,AE＝CF,连接EF,BF,EF 与对角线AC 交于点 O,且BE＝BF,∠BEF＝２∠BAC． (１)求证:OE＝OF; (２)若BC＝２ ３,求AB 的长． 第１３题图 (１)证明:在矩形ABCD 中,AB∥CD,∴∠EAO＝∠FCO, 在△AOE 和△COF 中, ∠EAO＝∠FCO, ∠AOE＝∠COF, AE＝CF, ì î í ïï ïï ∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE＝OF． (２)解:如答图,连接OB． ∵BE＝BF,OE＝OF,∴BO⊥EF, ∴在Rt△BEO 中,∠BEF＋∠ABO＝９０°, 由(１)可知在Rt△ABC 中,O 是AC 的中点, ∴OA＝OB＝OC, ∴∠BAC＝∠ABO, 又∵∠BEF＝２∠BAC,即２∠BAC＋∠BAC＝９０°, ∴∠BAC＝３０°． ∵BC＝２３, ∴AC＝２BC＝４３, ∴AB＝ AC２－BC２ ＝ (４３)２－(２３)２ ＝６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５３ 加 速 度 １４．[２０２０娄底]如图,▱ABCD 中,BC＝２AB,AB⊥AC,分别在边BC,AD 上的点E 与点F 关于AC 对称,连 接EF,AE,CF,DE． (１)试判定四边形AECF 的形状,并说明理由; (２)求证:AE⊥DE． 第１４题图 (１)解:四边形AECF 是菱形,理由如下: 如答图,设AC 与EF 的交点为O． ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠OAF＝∠OCE, ∵点E 与点F 关于AC 对称,∴AE＝AF,CE＝CF,OE＝OF． 在△AOF 和△COE 中, ∠OAF＝∠OCE, ∠AOF＝∠COE, OF＝OE, ì î í ï ï ïï ∴△AOF≌△COE(AAS),∴AF＝CE,∴AE＝AF＝CE＝CF, ∴四边形AECF 是菱形． (２)证明:∵BC＝２AB,AB⊥AC,∴∠ACB＝３０°, ∴∠B＝６０°． ∵AE＝CE,∴∠EAC＝∠ACB＝３０°,∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝６０°＝∠B, ∠AEC＝１２０°． ∴∠CED＝∠CDE＝３０°,∴∠AED＝∠AEC－∠CED＝９０°,∴AE⊥DE． １５．[２０２１梧州]如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别为边BC,CD 上的点,且AE⊥BF 于点P,G 为AD 的 中点,连接GP,过点P 作PH⊥GP 交AB 于点H,连接GH． (１)求证:BE＝CF; (２)若AB＝６,BE＝ １ ３BC ,求GH 的长． 第１５题图 (１)证明:∵AE⊥BF 于点P,∠ABE＝９０°, ∴∠EAB＋∠ABF＝９０°,∠ABF＋∠CBF＝９０°,∴∠EAB＝∠CBF． 在△ABE 和△BCF 中, ∠EAB＝∠FBC, AB＝BC, ∠ABE＝∠C, ì î í ï ï ïï ∴△ABE≌△BCF(ASA),∴BE＝CF． (２)解:∵∠EAB＝∠CBF,∴∠GAE＝∠PBH． ∵PH⊥GP,∴∠GPH＝９０°． ∵∠APB＝９０°,∴∠GPA＋∠APH＝∠APH＋∠HPB, ∴∠GPA＝∠HPB,∴△GPA∽△HPB,∴ GA HB＝ AP BP． ∵tan∠EAB＝ EB AB＝ BP AP ,BE＝ １ ３BC ,AB＝BC,∴ GA HB＝３． ∵G为AD 的中点,∴GA＝３,∴HB＝１,∴AH＝５,∴GH＝ AG２＋AH２ ＝ ３４． １６．如图,在菱形ABCD 中,∠A＝６０°,AB＝４cm,点P 从点A 出发,以２cm/s的速度沿折线AB－BC 向终点 C 运动;同时点Q 从点A 出发,以相同的速度沿折线AD－DC 向终点C 运动,连接PQ,过点Q 作AB 的平 行线QM,并截取QM＝ １ ２QP ,且点 M 在点Q 的右侧,以PQ,QM 为邻边作▱PQMN,设▱PQMN 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积为y(cm２),点P 的运动时间为x(s)(０＜x＜４)． 第１６题图 (１)当点N 与点B 重合时,求x 的值; (２)求PQ 的长(用含x 的代数式表示); (３)求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围． 解:(１)当点N 与点B 重合时,可知x≤２,AP＝AQ＝２x, ∵∠A＝６０°,∴△APQ 是等边三角形,∴PQ＝２x, ∵四边形PNMQ 是平行四边形, ∴QM＝PN＝ １ ２PQ＝x , ∴２x＋x＝４,∴x＝ ４ ３． (２)当０＜x≤２,由(１)知PQ＝AP＝２x, 当２＜x＜４时,如答图①,可知△CPQ 是等边三角形, ∴PQ＝CP＝８－２x, ∴PQ＝ ２x(０＜x≤２), ８－２x(２＜x＜４)．{ (３)当０＜x≤ ４ ３ 时,可知y等于▱PQMN 的面积, ∴y＝x􀅰 ３x＝ ３x２; 当 ４ ３＜x≤２ 时,如答图②,设MN 与BC 的交点为E, 由题意知BN＝３x－４,△BNE 为等边三角形, ∴y＝S▱PQMN－S△BNE＝ ３x２－ ３ ４ (３x－４)２＝－ ５３ ４x ２＋６３x－４３; 当２＜x＜４时,由答图①可知y＝S▱PQMN－S△EPN＝ ３(４－x)２－ ３ ４ (４－x)２＝ ３３ ４ (４－x)２． 综上所述,y＝ ３x２ ０＜x≤ ４ ３ æ è ç ö ø ÷, － ５３ ４x ２＋６３x－４３ ４３＜x≤２ æ è ç ö ø ÷, ３３ ４ (４－x)２(２＜x＜４)． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３ 第五章四边形 .△BAE≌△CDE(SAS). (2)解：：AB=AD,AD=AE.∴AB=AE. 第22节平行四边形与多边形 ∴.∠ABE=∠AEB. 1.B2.A3.B4.C5.B6.C7.C8.A9.AB ∥DC “∠EAB=150,∠AEB=7180-150)=15 10.1080°11.512.45 阶段检测（五） (AB-CD. L.C2.B3.A4.B5.B6.B7.C8.A9.C10. 13.证明：在△BEA和△DFC中，AE=CF, 4n.号 12.15 BE=DF, ∴.△BEA≌△DFC(SSS),∴.∠EAB=∠FCD, 13.(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD,∠EA)=∠FCO, .∠BAC=∠DCA.∴.AB∥DC, ∠EA(O=∠FCO, ,AB=DC.∴.四边形ABCD是平行四边形 在△AOE和△COF中，X∠AOE=∠COF, AE-CF. 14.证明：在□ABCD中，AB=CD,AB∥CD, ·∠BAF=∠DCE. .△AOE≌△COF(AAS),.OE=OF AB-CD. (2)解：如答图，连接OB. 在△ABF和△CDE中，∠BAF=∠DCE BE-BF,OE=OF,.BO⊥EF, AF-CE. .在R1△BFO中，∠BEF+∠ABO=90°， .△ABF≌△CDE(SAS),∴.∠DEC=∠BFA,∴.DE∥BF 由(1)可知在Rt△ABC中，O是AC的中点， 15.(1)证明：∠ACB=∠CAD=90,∴AD∥CE .OA=OB=OC. :AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形， ∴∠BAC=∠ABO, (2)解：：EF⊥AB.∠BFE=90, 又，∠BEF=2∠BAC,即2∠BAC+∠BAC=90°， ∠BAC=30 BC=2/3, ∴.EF=√BE-BFT=√S-4=3. .AC=2B=43 :'AE平分∠BAC,EF⊥AB,∠ACE=90.∴.EC-EF=3, ∴.AB=VAC-BC=V(43)-(2/3)°=6. 由(1)得四边形AECD是平行四边形，.AD=EC=3. 第23节矩形、菱形、正方形 1.B2.C3.A4.B5.B6.A7.B8.649.3 10.4 第13题答图 1.3512.713.214.2015.号1685 14.(1)解：四边形AECF是菱形，理由如下： 17.(1)证明：，△ADE为等边三角形， 如答图，设AC与EF的交点为O, .AD=AE=DE.∠EAD=∠EDA=60°， :四边形ABCD是平行四边形， ,四边形ABCD为正方形， ∴.AD∥BC,.∠OAF=∠OCE, .AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA=90°， :点E与点F关于AC对称， .∠EAB=∠EDC=150°， ..AE=AF.CE=CF.OE=OF AB-DC. ∠OAF=∠OCE, 在△BAE和△CDE中， ∠EAB=∠EDC, 在△AOF和△COE中， ∠AOF=∠COE, AE=DE. OF=OE. A18 .△AOF≌△COE(AAS).∴.AF=CE. :.PQ=CP=8-2x. :.AE=AF=CE=CF. 12x(0x≤2)， ..PQ= ,四边形AECF是菱形. 8-2x(2<x<4). (2)证明：BC=2AB,AB⊥ (3)当0<r<子时，可知y等于口PQMN的面积： AC,,∠ACB=30°， ∠B=60°， ∴.y=x·3x=5x: :AE=CE..∠EAC= 第14题答图 当亭<x≤2时，如答图②.设MN与BC的交点为E, ∠ACB=30°，∴.∠BAE= 由题意知BN=3.x一4，△BNE为等边三角形， ∠BAC-∠EAC=60=∠B,∠AEC=120 △ABE是等边三角形，.AE=AB=BE, y=5m-5m=2-4(ax-4=-92+ 4 ,四边形ABCD是平行四边形，，AB∥CD,AB=CD, 6/5x-45: .∠DCE=180°-∠B=120 当2<r<4时，由答图①可知y=Saw一S△m%=√5(4 又：CE=AE.∴CE=BE=号BC=AB=CD. 4-34- ∴∠CED=∠CDE=30', ∴∠AED=∠AEC-∠CED=90.∴AE⊥DE 8r(0<≤号)） 15.(1)证明：AE⊥BF于点P.∠ABE=90, 综上所述，y ,+63x-4(停<x≤2 .∠EAB+∠ABF=90°，∠ABF+∠CBF=90 .∠EAB=∠CBF 3(4x)(2<r<4) ∠EAB=∠FBC D O M 在△ABE和△BCF中，AB=BC, ∠ABE=∠C. .△ABE≌△BCF(ASA),∴.BE=CF 图2 (2)解：：∠EAB=∠CBF,∴∠GAE=∠PBH 第16题答图 PH⊥GP,∴.∠GPH=90 ∠APB=90,∴.∠GPA+∠APH=∠APH+∠HPB. ÷∠GPA=∠HPB,△GPAAHPB,.0品 m∠EAB-0器BE=吉CAB-C品-a G为AD的中点，.GA=3,∴.HB=1,∴.AH=5, ∴.GH=AG+AF=34. 16.解：(1)当点N与点B重合时，可知x≤2，AP=AQ=2x, :∠A=60°，.△APQ是等边三角形，.PQ=2x+ :四边形PNMQ是平行四边形， QM=PN=号PQ=, 4 ,2x十x=4=3 (2)当0<x≤2，由(1)知PQ=AP=2x, 当2<x<4时，如答图①，可知△CPQ是等边三角形， 19