专题03 分式与二次根式4种常考题型归类-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（吉林专用）

专题03 分式与二次根式 （解析版） 分式的概念及性质 1．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 分式的运算 2．（2021·吉林·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据同分母分式的加减法则运算． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键 3．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式 4．（2023·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整． 例  先化简，再求值：，其中． 解：原式 …… 【答案】，，，过程见解析 【分析】先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，第一步进行的是通分， ∴， ∴， 原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键． 二次根式 5．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解． 6．（2020·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将代入即可． 【详解】解：原式= = 将代入 原式=． 【点睛】本题考查整式的混合运算，二次根式的化简求值．熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则是解决此题的关键． 算术平方根、平方根、立方根、实数的运算 7．（2023·吉林长春·中考真题）实数、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数. 【详解】解：由图可知，，，，， 比较四个数的绝对值排除和， 根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于离原点的距离， ， 这四个数中绝对值最小的是. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小. 8．（2022·吉林长春·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴得：，再逐项判断即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意； ∴，故C错误，不符合题意； ∴，故D错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键． 9．（2020·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根；先利用算术平方根的定义化简，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2． 10．（2023·吉林·中考真题） 【答案】 【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的性质，绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键． 11．（2021·广西梧州·中考真题）的相反数是 ． 【答案】 【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得的相反数． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 12．（2024·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 13．（2023·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： 当时，原式 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 14．（2022·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将代入求值即可求解． 【详解】解：原式＝ 当时，原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键． 分式的概念及性质 15．（2024·吉林白城·三模）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．根据分母不为零即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故答案为： 16．（2024·吉林长春·三模）先化简：，然后从，，1中选一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用通分化为同分母分式加法，再计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ∵当或时，分式无意义， ∴， 原式 分式的运算 17．（2024·吉林·一模）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的基本性质、约分是解题关键． 直接将分式的分子和分母分解因式，然后再约分即可解答． 【详解】解： 故答案为：． 18．（2024·吉林长春·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是负整数指数幂和零指数幂的混合运算，掌握负整数指数幂，即，和除零以外任何数的零次方都为1等知识点是解题的关键． 先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算减法． 【详解】解：原式． 故答案为：． 19．（2024·吉林长春·模拟预测）计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值等知识点，掌握常见的特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 20．（2024·吉林长春·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，先根据立方根和零指数幂将原式化简，再进行减法运算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 21．（2024·吉林长春·一模）计算： ． 【答案】2023 【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，然后计算加减． 【详解】解： ， 故答案为：2023． 22．（2024·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键在于分式混合运算法则的运用，其次注意计算仔细即可．首先计算括号，继而化简分式，最后将代入化简后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ． 将代入上式， 则上式． 23．（2024·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，再化简得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 把代入，得原式． 24．（2024·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再计算乘方，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 25．（2024·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化．根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可．解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 26．（2024·吉林长春·三模）计算：． 【答案】 【分析】由二次根式乘法运算、二次根式性质化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、去绝对值先计算，再由二次根式加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式乘法运算、二次根式性质化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、去绝对值及二次根式加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 二次根式 27．（2024·吉林长春·一模）已知正整数a、b满足等式，下列各组数值中符合要求的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 分别把各选项的值代入等式的左、右两边进行计算即可得到答案． 【详解】解：A、当，时，，故A不符合题意； B、当，时，，故B不符合题意； C、当，时，，故C符合题意； D、当，时，，故D不符合题意； 故选：C． 28．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上一点，点与点关于对称．下列结论①当直线将矩形的面积分为时，；②当点、、三共线时，；③设线段的长度为，则；④设的面积为，则，其中正确的是 ．（只需填写序号） 【答案】②④ 【分析】如图，当，则，再分两种情况讨论，可判定①；如图，当点、、三共线时，设，而，，求解，可得，可判断②；如图， 在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，最短，如图，当，重合（，重合）时，最大，可判断③；当重合时，重合，则此时面积为0，如图，当，重合时，面积最大，再进一步求解可判断故④； 【详解】解：如图，记与的交点为， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴矩形的面积为， 当，则， ∴，则， ∴， 由轴对称可得，， ∴， 解得：， 如图，当与交于点时， 同理可得：，四边形的面积为， ∴，，， ∴， 解得：；故①不符合题意； 如图，当点、、三共线时， 设，而，， ∴， ∴， ∴， ∴；故②符合题意； 如图，∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线时，最短， ∵， ∴的最小值为； 如图，当，重合（，重合）时，最大， 此时， ∴，故③不符合题意； 当重合时，重合，则此时面积为0， 如图，当，重合时，面积最大， 记与的交点为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：②④ 【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，圆的基本性质，二次根式的混合运算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 29．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式定义可知，求出解即可． 【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：3． 30．（2024·吉林长春·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，先把原式展开出合并同类项得，再把代入，进行计算得出4． 【详解】解：原式 当时，原式． 31．（2024·吉林白城·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，14． 【分析】本题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式．先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则化简，然后合并同类项，最后把，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 32．（2024·吉林·二模）先化简， 再求值： ，其中 ． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把数值代入进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 33．（2024·吉林长春·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了全平方公式及多项式除以单项式的除法以及二次根式的计算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．先把根据完全平方公式及多项式除以单项式的除法法则计算，合并后，再把的值代入求出值即可． 【详解】解：原式． 当时， 原式． 算术平方根、平方根、立方根、实数的运算 34．（2024·吉林长春·二模）下列各数中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：， 根据无理数的定义可知，四个数中只有是无理数， 故选：A． 35．（2024·吉林·三模）若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键． 【详解】解：实数a与2024互为相反数， a的值为， 故选：D 36．（2024·吉林长春·模拟预测）若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的含义和无理数的估算．判断出的取值范围，推出表示实数a的点会落在数轴的哪个段上即可． 【详解】∵， ∵ ∴， ∴表示实数a的点会落在数轴的段④上． 故选：D． 37．（2024·吉林长春·模拟预测）表示数的点在线段上，则表示的点所在的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意，可知表示数的点在线段上，则，可得，即可得解．熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键．也考查了不等式的性质． 【详解】解：∵由数轴可知，表示数的点在线段上， ∴， ∴， ∴表示的点所在的线段是． 故选：D． 38．（2024·吉林长春·三模）下列实数中，最小的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键；由题意可直接进行求解． 【详解】解：在，，0，这几个数中，最小的是； 故选B． 39．（2024·吉林长春·二模）如图，数轴上表示数的点可能是（   ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴、无理数的估算．熟练掌握实数在数轴上的位置，无理数近似值大小，是解决问题的关键．由，点C表示的数在2和3之间且接近2，即得． 【详解】∵， ∴， ∵数轴上点C所表示的数大于2而小于3，且接近2， ∴表示数的点可能是点C． 故选：C． 40．（2024·吉林长春·三模）估计 的值在（　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算的取值范围成为解题的关键． 由，即，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 41．（2024·吉林四平·二模）如图，在数轴上对应的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查的是实数与数轴，先根据题意判断出的取值范围是解答此题的关键．判断出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴C点符合题意． 故选：C． 42．（2024·吉林白山·一模）计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查实数的运算，先计算乘方和算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：3 43．（2024·安徽合肥·一模） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，直接利用算术平方根的性质化简得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 44．（2024·吉林·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据可得． 【详解】解：， 故答案为：． 45．（2024·吉林长春·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 46．（2024·吉林白城·一模）比较大小： ．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】此题考查了实数的比较大小．根据比较实数大小的法则即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 47．（2024·吉林长春·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先计算乘方和算术平方根，然后再进行计算即可． 【详解】 故答案为： 48．（2024·吉林·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，先估算出的范围，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴即， ∴ 故答案为：． 49．（2024·吉林四平·二模）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】题目主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式与二次根式 （原卷版） 分式的概念及性质 1．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 分式的运算 2．（2021·吉林·中考真题）计算： ． 3．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 4．（2023·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整． 例  先化简，再求值：，其中． 解：原式 …… 二次根式 5．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6．（2020·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 算术平方根、平方根、立方根、实数的运算 7．（2023·吉林长春·中考真题）实数、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2022·吉林长春·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2020·安徽·中考真题）计算： ． 10．（2023·吉林·中考真题） 11．（2021·广西梧州·中考真题）的相反数是 ． 12．（2024·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 13．（2023·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中． 14．（2022·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 分式的概念及性质 15．（2024·吉林白城·三模）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 16．（2024·吉林长春·三模）先化简：，然后从，，1中选一个合适的数作为的值，代入求值． 分式的运算 17．（2024·吉林·一模）化简： ． 18．（2024·吉林长春·模拟预测）计算： ． 19．（2024·吉林长春·模拟预测）计算： ． 20．（2024·吉林长春·模拟预测）计算： ． 21．（2024·吉林长春·一模）计算： ． 22．（2024·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 23．（2024·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 24．（2024·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中 25．（2024·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中 26．（2024·吉林长春·三模）计算：． 二次根式 27．（2024·吉林长春·一模）已知正整数a、b满足等式，下列各组数值中符合要求的是（    ） A．， B．， C．， D．， 28．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上一点，点与点关于对称．下列结论①当直线将矩形的面积分为时，；②当点、、三共线时，；③设线段的长度为，则；④设的面积为，则，其中正确的是 ．（只需填写序号） 29．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 30．（2024·吉林长春·三模）先化简，再求值：，其中． 31．（2024·吉林白城·一模）先化简，再求值：，其中，． 32．（2024·吉林·二模）先化简， 再求值： ，其中 ． 33．（2024·吉林长春·二模）先化简，再求值：，其中． 算术平方根、平方根、立方根、实数的运算 34．（2024·吉林长春·二模）下列各数中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 35．（2024·吉林·三模）若实数a与2024互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C．2024 D． 36．（2024·吉林长春·模拟预测）若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 37．（2024·吉林长春·模拟预测）表示数的点在线段上，则表示的点所在的线段是（    ） A． B． C． D． 38．（2024·吉林长春·三模）下列实数中，最小的是（    ） A． B． C．0 D． 39．（2024·吉林长春·二模）如图，数轴上表示数的点可能是（   ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 40．（2024·吉林长春·三模）估计 的值在（　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 41．（2024·吉林四平·二模）如图，在数轴上对应的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 42．（2024·吉林白山·一模）计算： ． 43．（2024·安徽合肥·一模） ． 44．（2024·吉林·二模）计算： ． 45．（2024·吉林长春·一模）计算： ． 46．（2024·吉林白城·一模）比较大小： ．（填“>”或“<”） 47．（2024·吉林长春·二模）计算： ． 48．（2024·吉林·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则 ． 49．（2024·吉林四平·二模）比较大小： （填“”或“”）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$