精品解析： 内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春自治旗2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

鄂伦春自治旗2023—2024学年度（下）八年级期末检测 数学 温馨提示： 1.本试卷共6页（含答题卡），满分100分．考试时间90分钟． 2.答卷前务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题，请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上．在试卷上作答无效． 3.请将姓名与准考证号填写在本试卷相应位置上． 一、选择题（下列各题选项中只有一个正确．共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式：是最简二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（　　） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 3或5 3. 如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ） A. 15米 B. 20米 C. 25米 D. 30米 4. 已知二次根式的值为3，那么的值是（ ） A. 3 B. 9 C. －3 D. 3或－3 5. 如图，正方形ABCD的边长为4，现有一动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点P运动的时间为t，△APB的面积为S，则下列图象能大致反映S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 6. 的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，已知函数和图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是（　　） A. 甲、乙射中的总环数相同 B. 甲的成绩稳定 C. 乙的成绩波动较大 D. 甲、乙的众数相同 9. 若一组数据，，的平均数是4，方差是3，那么数据，，的平均数和方差分别是（ ） A. 4，3 B. 7，3 C. 11，12 D. 6，9 10. 如图，矩形面积40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（ ）． A. 4 B. 2.5 C. 5 D. 10 二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围为___________． 12. 若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝___． 13. 某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上面表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是___________（填序号）． 14. 如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为_____． 15. 在直角坐标系中，有，两点，在x轴上有一动点，当周长最小时，的值是______． 16. 如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…依此类推，若正方形①的边长为64m，则正方形⑨的边长为________cm． 三、解答题（本题7个小题，52分） 17. （1）计算： （2）化简求值：的值，其中 18. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF （1）求证：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD面积． 19. 在平面直角坐标系xOy中，直线过点B(0，1)，且与直线相交于点A（-3，m）． （1）求直线解析式； （2）若直线与x轴交于点C，点P在x轴上，且S△APC=3，求点P的坐标． 20. 为了推动体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______； （2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？ 21. 如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3m． （1）求两面墙之间距离CE的大小； （2）求点B到地面的垂直距离BC的大小． 22. 如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 23. 某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机.这两种手机的进价和售价如下表所示: 甲 乙 进价(元/部) 4400 2000 售价(元/部) 5000 2500 该商场计划购进两种手机若干部,共需14.8万元,预计全部销售后可获毛利润共2.7万元.(毛利润=(售价一进价)×销售量) (Ⅰ)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部? (II)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过156万元,该商场应该怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鄂伦春自治旗2023—2024学年度（下）八年级期末检测 数学 温馨提示： 1.本试卷共6页（含答题卡），满分100分．考试时间90分钟． 2.答卷前务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题，请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上．在试卷上作答无效． 3.请将姓名与准考证号填写在本试卷相应位置上． 一、选择题（下列各题选项中只有一个正确．共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式：是最简二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式的定义:(1)被开方数不含开方开的尽的数或因式，(2)被开方数中不含分母，分别判断即可． 【详解】是最简二次根式的有，． 故选：A 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为最简二次根式的方法是解决本题的关键． 2. 如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（　　） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 3或5 【答案】C 【解析】 【详解】当一个直角三角形两直角边分别是6，8时， 由勾股定理得，斜边==10，则斜边上的中线=×10=5， 当8是斜边时，斜边上的中线是4， 故选C． 3. 如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ） A. 15米 B. 20米 C. 25米 D. 30米 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，周长也就不难得到． 【详解】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=5米， ∴BC=2EF=10米， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴BE=CF=BC=5米， ∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米． 故选C． 【点睛】本题利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质和等边三角形三边相等的性质求解． 4. 已知二次根式的值为3，那么的值是（ ） A. 3 B. 9 C. －3 D. 3或－3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵，∴．故选D． 考点：二次根式的性质． 5. 如图，正方形ABCD边长为4，现有一动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点P运动的时间为t，△APB的面积为S，则下列图象能大致反映S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分点P在AB、BC、CD、DA上运动这四种情况，根据三角形面积公式列出函数解析式，由函数解析式即可得出函数图象． 【详解】解：当点P在AB上运动时，即0≤t≤4，S＝•t•0＝0； 当点P在BC上运动时，即4＜t≤8，S＝×4×（t－4）＝2t－8； 当点P在CD上运动时，即8＜t≤12，S＝×4×4＝8； 当点PDA上运动时，即12＜t≤16，S＝×4×（16－t）＝－2t＋32； 符合以上四种情况的函数图象为D选项， 故选D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想能得到各段三角形面积的变化规律． 6. 的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理即可判断③④；根据三角形内角和定理即可判断①②，从而得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ③∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵， ∴设，，， ∴， ∴∴是直角三角形，故④符合题意； 综上所述，其中能判断是直角三角形个数有个， 故选：C． 7. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点问题，根据函数图象写出一次函数的图象在一次函数图象的下方的自变量的取值范围即可求解． 【详解】由函数图象可知，当时一次函数的图象在一次函数图象的下方， 关于的不等式的解是． 故选：A． 8. 甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是（　　） A. 甲、乙射中的总环数相同 B. 甲的成绩稳定 C. 乙的成绩波动较大 D. 甲、乙的众数相同 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、根据平均数的定义，正确； B、根据方差的定义，正确； C、根据方差的定义，正确， D、一组数据中出现次数最多的数值叫众数．题目没有具体数据，无法确定众数，错误． 故选D 9. 若一组数据，，的平均数是4，方差是3，那么数据，，的平均数和方差分别是（ ） A. 4，3 B. 7，3 C. 11，12 D. 6，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵一组数据，，的平均数是4， ∴， ∴， ∴么数据，，的平均数为； ∵一组数据，，的方差是3， ∴， ∴， ∴数据，，的方差是， 故选：C． 10. 如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（ ）． A. 4 B. 2.5 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积公式，令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，令与相交于点，连接， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围为___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算． 【详解】解：由题意得，， 解得，且， 故答案为：且． 12. 若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝___． 【答案】9 【解析】 【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类根式， ∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b， 解得：a＝3，b＝﹣3． ∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 13. 某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上面表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据中位数，平均数和方差的意义，逐一判断即可． 【详解】解：由于乙班学生每分钟输入汉字的中位数为151，说明有一半以上的学生都达到每分钟150个及以上，而甲班学生的中位数为149，说明不到一半的学生达到150个及以上，说明乙班优秀人数比甲班优秀人数多，故②正确；由平均数和方差的意义可知①③也正确． 故答案是：①②③． 【点睛】本题主要考查中位数，平均数和方差，掌握中位数和方差的意义，是解题的关键． 14. 如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为_____． 【答案】2或2或． 【解析】 【分析】分两种情况：（1）①当∠BPC＝90°时，作AM⊥BC于M，求出BM＝AB＝1，AM＝BM＝，由勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，得出点P与A重合即可；②当∠BPC＝90°，点P在边AD上，CP＝CD＝AB＝2时，由勾股定理求出BP即可； （2）当∠BCP＝90°时，CP＝AM＝，由勾股定理求出BP即可． 【详解】解：分两种情况： （1）①当∠BPC＝90°时， 作AM⊥BC于M，如图1所示， ∵∠B＝60°， ∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB＝1， ∴AM＝BM＝，CM＝BC﹣BM＝4﹣1＝3， ∴AC＝＝2， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴当点P与A重合时，∠BPC＝∠BAC＝90°， ∴BP＝BA＝2； ②当∠BPC＝90°， 点P在边AD上，CP＝CD＝AB＝2时， BP＝＝＝2； （2）当∠BCP＝90°时，如图3所示： 则CP＝AM＝， ∴BP＝＝； 综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2或． 故答案为：2或2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的动点问题，掌握平行四边形的性质、勾股定理是解题的关键． 15. 在直角坐标系中，有，两点，在x轴上有一动点，当周长最小时，的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，一次函数的应用，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，求出直线的解析式，再把代入即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴， 故答案：． 16. 如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…依此类推，若正方形①的边长为64m，则正方形⑨的边长为________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】第一个正方形的边长为64cm，则第二个正方形的边长为64×cm，第三个正方形的边长为64×（）2cm，依此类推，通过找规律求解． 【详解】根据题意：第一个正方形的边长为64cm； 第二个正方形的边长为：64×=32cm； 第三个正方形的边长为：64×（）2cm， … 此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的 ， 所以第9个正方形的边长为64×（）9-1=4cm， 故答案为4 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 三、解答题（本题7个小题，52分） 17. （1）计算： （2）化简求值：的值，其中 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法、二次根式的除法，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式、单项式乘以多项式去括号，再合并即可化简，代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 18. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF （1）求证：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）矩形ABCD的面积为 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°， ∵BE=DF， ∴OE=OF， 在△AOE和△COF中， ∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE=CF； （2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=∠COD=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6， ∴AC=2OA=12， 在Rt△ABC中，BC==6， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的运用． 19. 在平面直角坐标系xOy中，直线过点B(0，1)，且与直线相交于点A（-3，m）． （1）求直线的解析式； （2）若直线与x轴交于点C，点P在x轴上，且S△APC=3，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）先根据直线过点求出点A坐标，再根据直线过点和点，利用待定系数法即可得到直线的解析式； （2）依据，即可得到，依据，即可得到或． 【详解】解：（1）直线过点， ， ， 直线过点和点， ， 解得：， ； （2）把y=0代入，得x=-1； ∴点C坐标为， ， ， ， 又， 或． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，以及三角形面积的计算．求一次函数解析式，需要知道两个条件；本题注意，解题的关键是由C点坐标求P坐标注意分类讨论． 20. 为了推动体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______； （2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？ 【答案】（1）40人，15 （2）35；36 （3）60双 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，中位数和众数： （1）根据条形统计图可得调查的学生人数；利用34号鞋的学生人数除以总人数可得的值； （2）根据众数和中位数的定义即可得； （3）利用200乘以35号鞋的学生所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次接受随机抽样调查的学生人数为（人）， ， 则， 故答案为：40人，15； 【小问2详解】 解：∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数为35； ∵将这组样本数据按从小到大进行排列后，第20个数和第21个数都是36， ∴这组样本数据的中位数为； 【小问3详解】 （双）， 答：建议购买35号运动鞋60双． 21. 如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3m． （1）求两面墙之间距离CE的大小； （2）求点B到地面的垂直距离BC的大小． 【答案】（1）（3+3 ）m；（2）点B到地面的垂直距离BC的大小3m 【解析】 【分析】（1）在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，然后利用勾股定理求得AC的长，从而求得线段CE的长； （2）在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长． 【详解】解：（1）在Rt△DAE中， ∵∠DAE＝45°， ∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3m， ∴AD2＝AE2+DE2＝36， ∴AD＝6，即梯子的总长为6m． ∴AB＝AD＝6m． 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴AC＝AB＝3m， ∴CE＝AC+AE＝（3+3）m； （2）BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27， ∴BC＝3m， ∴点B到地面的垂直距离BC的大小3m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用以及直角三角形中30°角所对直角边的长度是斜边的一半. 22. 如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 （3）当时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，在中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 23. 某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机.这两种手机的进价和售价如下表所示: 甲 乙 进价(元/部) 4400 2000 售价(元/部) 5000 2500 该商场计划购进两种手机若干部,共需14.8万元,预计全部销售后可获毛利润共2.7万元.(毛利润=(售价一进价)×销售量) (Ⅰ)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部? (II)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过156万元,该商场应该怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润． 【答案】(Ⅰ) 购进国外品牌手机20部，国内品牌手机30部；(II) 购进国外品牌手机15部，国内品牌手机45部时，全部销售后获利最大，最大毛利润为3.15万元． 【解析】 【分析】（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为14.8万元和两种手机的销售利润为2.7万元建立方程组求出其解即可； （2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，表示出购买的总资金，由总资金部超过15.6万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润． 【详解】解：（1）设商场计划购进国外品牌手机x部，国内品牌手机y部， 由题意，得：， 解得， 答：商场计划购进国外品牌手机20部，国内品牌手机30部； （2）设国外品牌手机减少a部，则国内手机品牌增加3a部， 由题意，得：0.44（20-a）+0.2（30+3a）≤15.6， 解得：a≤5， 设全部销售后获得的毛利润为w万元，由题意，得： w=0.06（20-a）+0.05（30+3a）=0.09a+2.7， ∵k=0.09＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a=5时，w最大=3.15， 答：当该商场购进国外品牌手机15部，国内品牌手机45部时，全部销售后获利最大，最大毛利润为3.15万元． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$