精品解析：福建省宁德市博雅培文学校2023-2024学年高二5月月考数学试题

宁德市博雅培文学校5月月考数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 3. 根据历年气象统计资料，某市七月份吹南风的概率为，下雨的概率为，既吹南风又下雨的概率为，则在吹南风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量x和y的回归直线方程为，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（ ） A. x与y正相关，x与z正相关 B. x与y正相关，x与z负相关 C. x与y负相关，x与z负相关 D. x与y负相关，x与z正相关 5. 已知集合，，从集合中任取3个不同元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得，参照下表：得到的正确结论是（ ）参考数据：临界值表 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 7. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 回归直线 必经过样本点、 B. 这组数据的样本中心点未必在回归直线上 C. 回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元 D. 据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②已知随机变量，若.则；③以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3；④.在线性回归模型中，计算其相关指数，则可以理解为：解释变量对预报变量的贡献率约为；⑤.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点各不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，则. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选得部分分，有选错的得0分．） 9. 在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （ ） 参考数据：若，． A. 年级平均成绩为82.5分 B. 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等 C. 成绩不超过77分的人数少于150 D. 超过98分的人数为1 10. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大 11. 有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：参考公式： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 0050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 列联表中c的值为30，b的值为35 B. 列联表中c值为20， b的值为45 C. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．） 12. 在一组样本数据，，…，（，，，…，互不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为________. 13. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望等于__________（结果用最简分数表示）. 14. 假设有两个分类变量X与Y，它们的值域分别为和，其2×2列联表为：对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为______． 合计 a b c d 合计 ①、、、；②、、、 ③、、、；④、、、 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为，，，假设各盘比赛结果相互独立． （I）求红队至少两名队员获胜的概率； （II）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望． 16. 为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查．得到如下列联表． 喜爱某种食品 不喜爱某种食品 合计 男生 20 女生 10 合计 60 （1）请将上述列联表补充完整﹔ （2）判断是否有的把握认为喜爱某种食品与性别有关？ （3）用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率． 附：，其中． 17. 某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： （1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） （2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 112 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， （2022全国乙理） 18. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 样本号i 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得，，． （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数，． 19. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为． （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁德市博雅培文学校5月月考数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式可求得的值. 【详解】，因此. 故选：C. 【点睛】本题考查二项分布的方差的计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布图象的对称性整理计算即可得解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的图象关于直线对称， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了正态分布的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3. 根据历年气象统计资料，某市七月份吹南风的概率为，下雨的概率为，既吹南风又下雨的概率为，则在吹南风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件概率的求解公式即可求出吹南风的条件下下雨的概率. 【详解】解：即事件“七月份吹南风”， “七月份下雨”，则，， ，所以, 故选:A. 【点睛】本题考查了条件概率求解，属于基础题. 4. 已知变量x和y的回归直线方程为，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（ ） A. x与y正相关，x与z正相关 B. x与y正相关，x与z负相关 C. x与y负相关，x与z负相关 D. x与y负相关，x与z正相关 【答案】B 【解析】 【分析】根据变量x和y的回归直线方程判断. 【详解】解：因为变量x和y的回归直线方程为，且， 所以变量x与y正相关， 又变量y与z负相关， 所以x与z负相关， 故选：B 5. 已知集合，，从集合中任取3个不同元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得随机变量的取值为，分别求得相应的概率，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，从集合中任取3个不同的元素，则有，其中最小的元素取值分别为， 从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素的取值分别为， 因为，可得随机变量的取值为， 则， ， 所以随机变量的期望为：. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，求得随机变量的取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 6. 利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得，参照下表：得到的正确结论是（ ）参考数据：临界值表 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B 【解析】 【分析】根据与临界值比较即可求解. 【详解】因为，， 所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 故选:B． 7. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 回归直线 必经过样本点、 B. 这组数据的样本中心点未必在回归直线上 C. 回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元 D. 据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程的含义与性质判断ABC，根据最小二乘法求出回归方程可判断D. 【详解】回归直线 ，不一定经过任何一个样本点，故 A错； 由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点一定在回归直线上，故B错； 回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C错； ，， 将代入可得，则回归方程为， 时，，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查回归方程的含义与性质，考查根据最小二乘法求出回归方程以及利用回归方程估计总体，属于基础题. 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②已知随机变量，若.则；③以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3；④.在线性回归模型中，计算其相关指数，则可以理解为：解释变量对预报变量的贡献率约为；⑤.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点各不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，则. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 分别用线性相关系数，线性回归方程，线性回归模型，正态分布，条件概率等概念逐一判断. 【详解】根据线性相关系数r绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误； 根据正态分布性质可知，，所以②正确； ，，所以，，所以③正确； 相关指数表示一元多项式回归方程估测的可靠程度的高低，这里解释变量对预报变量的贡献率是，所以④正确； ，，所以⑤正确. 故选:C 【点睛】本题考查线性回归、正态分布、条件概率等概念，属于基础题. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选得部分分，有选错的得0分．） 9. 在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （ ） 参考数据：若，． A. 年级平均成绩为82.5分 B. 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等 C. 成绩不超过77分的人数少于150 D. 超过98分的人数为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的概念可知A对，根据对称性可知B对，根据原则和曲线的对称性即可求解C,D. 【详解】由，可知，所以平均分为，故A对. 由于，可知关于对称，根据正态分布的对称性可知， 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对. ,因为，所以C错误. ,因为， 所以超过98分的人数为1，故D正确. 故选:ABD 10. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项分布的均值与方差公式计算判断选项A，由方差的性质判断选项B，由正态分布的对称性判断选项C，由二项分布的概率公式列不等式组求解后判断选项D． 【详解】对于A，，解得，A错误； 对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确； 对于C，服从正态分布，，C正确； 对于D，，则， 由，解得，所以．D正确． 故选：BCD． 11. 有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：参考公式： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 列联表中c的值为30，b的值为35 B. 列联表中c的值为20， b的值为45 C. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 【答案】BC 【解析】 【分析】由成绩优秀的概率，可求的成绩优秀的人数，进而求出非优秀人数，得到的值，计算的观测值，对照题目中的表格，即可得到统计的结论. 【详解】由题意，在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为， 所以成绩又由的人数为人，非优秀的人数为人， 所以， 则的观测值， 若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”. 故选：BC. 【点睛】本题主要考查了独立性检验应用问题，同时考查了运算与求解能力，属于基础题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．） 12. 在一组样本数据，，…，（，，，…，互不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为________. 【答案】； 【解析】 【分析】由所有样本点都在一条直线上，可知这组样本数据完全负相关，结合相关系数的意义，可得出答案. 【详解】由题意，所有样本点都在直线上， 所以这组样本数据完全负相关，即相关系数为-1. 故答案位：-1. 【点睛】本题考查相关系数，考查正相关及负相关，属于基础题. 13. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望等于__________（结果用最简分数表示）. 【答案】 【解析】 【详解】X的可能取值为0,1,2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴E(X)＝×0＋×1＋×2＝. 14. 假设有两个分类变量X与Y，它们的值域分别为和，其2×2列联表为：对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为______． 合计 a b c d 合计 ①、、、；②、、、 ③、、、；④、、、 【答案】③ 【解析】 【分析】根据计算公式计算卡方，即可比较大小求解. 【详解】①选项中； ②选项中 ③选项中 ④选项中， 因为，所以③选项数据能说明X与Y有关的可能性最大. 故答案为：③ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为，，，假设各盘比赛结果相互独立． （I）求红队至少两名队员获胜的概率； （II）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析 【解析】 【详解】解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F， 则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件． 因为，． 红队至少两人获胜的事件有：， 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率 （II）由题意知可能的取值为0，1，2，3． 又由（I）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此， ， 由对立事件的概率公式得 所以的分布列为： 因此 16. 为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查．得到如下列联表． 喜爱某种食品 不喜爱某种食品 合计 男生 20 女生 10 合计 60 （1）请将上述列联表补充完整﹔ （2）判断是否有的把握认为喜爱某种食品与性别有关？ （3）用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率． 附：，其中． 【答案】（1）列联表见解析 （2）有的把握认为喜爱某种食品与性别有关 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意即可求解， （2）根据卡方的计算即可求解， （3）由抽样比计算所抽男女的个数，即可列举求解基本事件，由古典概型的概率公式即可求解. 【小问1详解】 由表可知，100名学生中喜爱某种食品的学生有60人， 其中喜爱某种食品的男生有20人，不喜爱某种食品的女生有10人， 则喜爱某种食品的女生有40人，不喜爱某种食品的男生有30人， 则完成列联表如下： 喜爱某种食品 不喜爱某种食品 合计 男生 20 30 50 女生 40 10 50 合计 60 40 100 【小问2详解】 由（1）得， 有的把握认为喜爱某种食品与性别有关． 【小问3详解】 用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人， 则其中男生有（人），分别设为A，B； 女生有（人），分别设为1，2，3，4， 则从这6名学生中随机抽取2人有如下15种结果：AB，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，12，13，14，23，24，34， 其中恰好有1名男生喜爱某种食品有8种结果：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4， 所求的概率． 17. 某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： （1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） （2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】（1） （2）（i）需停止生产并检查设备；（ii）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得； （2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得． ． 【小问2详解】 （i）由（1）可知，， 所以，， 显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备． （ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为， 所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为， 故，所以， X的数学期望． （2022全国乙理） 18. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 样本号i 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得，，． （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数，． 【答案】（1） （2）0.97 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算个数即可求解， （2）根据相关系数的计算公式即可求解， （3）根据比例即可求解. 【小问1详解】 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为． 【小问2详解】 样本相关系数 ． 【小问3详解】 设这种树木的根部横截总面积为X ，总材积量为Y ，则，则， 所以该林区这种树木的总材积量的估计值为． 19. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为． （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，． 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，“第天不选择米饭套餐”．由全概率公式有，计算可得； （2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，依照（1）可得与的关系，然后根据等比数列定义证明； （ii）求出通项公式，然后分类讨论证明结论． 【详解】解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”， 则“第天不选择米饭套餐”． 根据题意，，，． 由全概率公式，得． （2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，． 由全概率公式，得． 因此． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （ii）由（i）可得． 当为大于奇数时，． 当为正偶数时，． 因此当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$