精品解析：浙江省金华婺城区2023-2024学年下学年九年级调研抽测 数学试题

2023学年第二学期调研抽测试题卷 九年级数学 考生须知： 1． 全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2． 全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3． 本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 2024年春运期间，金华轻轨交通日均客运量约108200人次．将数108200用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下面的四个几何体中，三视图相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形中，点M，N是的三等分点，分别以，为边作正方形．正方形被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形内进行撒豆子试验，以下说法正确的是（ ） A. 豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B. 豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C. 豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D. 豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 6. 已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，点A表示另一处观测台，若，那么起火点M在观测台A的（　　） A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 北偏西 8. 如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. D. 5 9. 根据各图中保留的作图痕迹，能判断射线平分的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 因式分解：_________． 13. 为了解游客在A，B，C三个城市旅游的满意度，拟定了三种收集数据的方案：①在多家旅游公司调查1000名导游；②在A城市调查1000名游客；③在三个城市各调查1000名游客．其中最合理的方案是________． 14. 把直尺、圆片和两个同样大小的含角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点，．若，则的长为________． 15. 我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为________（结果保留根号）． 16. 如图，在中，，，点、分别是、上的动点，，连结，作关于的对称线段，当与 的某边平行时，________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 下面是小明同学解不等式的过程： 去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请写出你认为正确的解答过程． 18. 设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 19. 对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． （1）求的值． （2）请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 20. 网约车给人们的出行带来了便利．小明同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查． 【收集数据】小明收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元），数据如下： A公司为4，5，9，10，4，5，5，5，4，9；B公司为4，5，7，8，6，7，6，5，6，6． 【整理数据】绘制统计表和统计图 A公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数（个） 3 4 2 1 【分析数据】 平均月收入（千元） 中位数 众数 方差 A公司 a 5 5 5 B公司 6 b 6 1.2 根据上述信息，回答下列问题： （1）______，______，______． （2）请求出扇形统计图中圆心角n的度数． （3）小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你会建议叔叔选择哪家公司？请说明理由． 21. 如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F． （1）求证：． （2）已知，．求的长． 22. 随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．已知某型号汽车刹车时速度为米秒，设刹车后行驶的时间为秒，刹车后速度为米秒，刹车后行驶的距离为米．已测得刹车后的运动速度与运动时间之间满足关系式：．刹车后行驶的距离与的函数图像如下图所示，该图像是抛物线，为常数，的一部分． （1）当该汽车刹车后速度为米秒时，求刹车后行驶的时间． （2）求、的值，以及该汽车刹车后行驶的最大距离． （3）一司机驾驶该型号汽车，在以米秒的速度行驶中，突然发现导航提示前面米处路面变窄，于是立即刹车．为确保安全通过窄路，需要将车速降低到米秒以下．请通过计算说明该司机能否在到达窄路时将车速降低到米秒以下？ 23. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架，及与的端点，，，固定在外墙上，，，与平行，米．图是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为，安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 数学活动：数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点，的距离以及支架与夹角（＝），对雨棚进行了重新设计．图是第一小组的设计示意图，其中，，米．如图是第二小组的设想，其中米，， 问题解决： 【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． 【任务二】第一小组所设计的雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）． 【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究，并直接写出答案． 问题1：探索的最大值； 问题2：探索最大时的度数． 24. 如图1，已知为的直径，弦于点，连结，．在上取点，使，交、分别于点、，连结． （1）求证： （2）当时，求的值． （3）如图2，，的延长线于点，连结．若，， ①求的长； ②求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期调研抽测试题卷 九年级数学 考生须知： 1． 全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2． 全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3． 本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解． 【详解】解：∵负数小于正数， ∴最小的数在和中， ∵，，， ∴ ∴四个数中最小的数是， 故选：C． 2. 2024年春运期间，金华轻轨交通日均客运量约108200人次．将数108200用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中的范围是，是正整数”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 在下面的四个几何体中，三视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见的几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：A、球的主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意； B、圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，不符合题意； C、三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，不符合题意； D、圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在正方形中，点M，N是的三等分点，分别以，为边作正方形．正方形被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形内进行撒豆子试验，以下说法正确的是（ ） A. 豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B. 豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C. 豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D. 豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是掌握概率公式．计算出三个区域的面积，面积最小的概率最小，进而即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为3，则，， 正方形的面积为：， 区域Ⅰ的面积为：， 区域Ⅱ的面积为：， 区域Ⅲ的面积为：， ∵Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积比为：， ∴豆子落在区域Ⅰ的概率最小， 故选：A． 6. 已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．由于，反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解： 由于，当时，反比例函数的图象在第一象限，，且y随x到增大而减小． 若，则． 故选：A． 7. 为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，点A表示另一处观测台，若，那么起火点M在观测台A的（　　） A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 北偏西 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，先由，得出，结合两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵南北方向的直线平行， ∴ ∴， ∴， ∴起火点M在观测台A的南偏西， 故选：B． 8. 如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：C． 9. 根据各图中保留的作图痕迹，能判断射线平分的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的作法以及全等三角形的判定和性质逐一进行判断即可． 【详解】图①中，利用基本作图可判断平分； 在图②中，根据基本作图可得是的中点，不能判断平分； 在图③中， 根据作图可得，是半圆的直径， ∴ ∴平分； 图④根据作法可知： ，， 在和中，， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， 所以点到和的距离相等， 平分； 综上，只有图②不能判定平分， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,直径所对的圆周角是直角，解决本题的关键是掌握角平分线的作法． 10. 已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键． 根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案． 【详解】解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 故选： A． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）． 故答案是a（a+2）． 13. 为了解游客在A，B，C三个城市旅游的满意度，拟定了三种收集数据的方案：①在多家旅游公司调查1000名导游；②在A城市调查1000名游客；③在三个城市各调查1000名游客．其中最合理的方案是________． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据抽样调查的代表性、普遍性结合具体的问题情境进行判断即可．本题考查调查收集数据的过程和方法，理解抽样调查的合理性、代表性和普遍性是正确判断的关键． 【详解】解：根据抽样调查的代表性、普遍性可知，为了解游客在，，三个城市旅游的满意度，在三个城市各调查1000名游客比较合理． 故答案为：③． 14. 把直尺、圆片和两个同样大小的含角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点，．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，连接，，根据切线的性质得到，，推出四边形是正方形，求得，，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴ 故答案为：． 15. 我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用多边形圆心角公式得到，作于点，利用解直角三角形得到，进而得到，再根据进行计算，即可解题． 【详解】解：由题知，图中，， 作于点， 有， ， 的估计值为； 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点、分别是、上的动点，，连结，作关于的对称线段，当与 的某边平行时，________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，折叠问题；分三种情况讨论，①当时，如图所示，作的角平分线交于点，②当时，如图所示，作的外角平分线，同理可得，四边形是平行四边形，③当时，为的中点，分别画出图形，即可求解． 【详解】①当时，如图所示，作的角平分线交于点， ∵作关于的对称线段， ∴ ∴四边形是平行四边形， 如图所示，设，则 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵，即 解得： ∴ ②当时，如图所示，作的外角平分线， 同理可得，四边形是平行四边形 设，则， ∵，即 解得： ∴， ③当时，为的中点， ∴， 综上所述，或1或6 故答案为：或或． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 下面是小明同学解不等式的过程： 去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】 解：小明的解答过程从第一步开始出现错误； 正确的解答过程为： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 所以原不等式的解集为：． 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法，即可求解， 本题考查了，解一元一次不等式，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式的解法． 【详解】略 18. 设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】若选①，则方程的解为；若选②，则方程的解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：①当，， ∴， ∴ 解得：； ②，； ∴ ∴ 解得：； ③，． ，原方程无解． 19. 对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． （1）求的值． （2）请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】（1） （2） 解：交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 略 20. 网约车给人们的出行带来了便利．小明同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查． 【收集数据】小明收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元），数据如下： A公司为4，5，9，10，4，5，5，5，4，9；B公司为4，5，7，8，6，7，6，5，6，6． 【整理数据】绘制统计表和统计图 A公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数（个） 3 4 2 1 【分析数据】 平均月收入（千元） 中位数 众数 方差 A公司 a 5 5 5 B公司 6 b 6 1.2 根据上述信息，回答下列问题： （1）______，______，______． （2）请求出扇形统计图中圆心角n的度数． （3）小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你会建议叔叔选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1）6，6，40 （2） （3）选“B公司”，因为平均数一样，“B公司”的中位数、众数大于“A公司”的，且“B公司”的方差小，更稳定 【解析】 【分析】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是掌握相关定义与有关的计算公式． （1）根据平均数的计算公式可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“B公司”，平均月收入6千元的人数除以被调查的总人数即可得m； （2）用乘“B公司”平均月收入7千元所占比例可得圆心角n的度数； （3）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：“A公司”的平均月收入； “B公司”网约车司机收入由大到小排序为：4，5，5，6，6，6，6，7，7，8，故中位数， “B公司”网约车公司司机月收入中，“6千元”对应的百分比为，则； 【小问2详解】 解：“B公司”网约车公司司机收入7000元人数为2人，故圆心角n的度数为：； 【小问3详解】 解：选“B公司”，理由如下： 因为平均数一样，“B公司”的中位数、众数大于“A公司”的中位数、众数，且“B公司”的方差小，更稳定． 21. 如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F． （1）求证：． （2）已知，．求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形性质和判定、勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． （1）矩形的性质得到，，得到，，根据“”定理证明，再根据全等三角形性质即可解题； （2）根据矩形的性质和全等三角形性质得到，，由勾股定理易求的长，根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，． 由题意知，，， ， ． 22. 随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．已知某型号汽车刹车时速度为米秒，设刹车后行驶的时间为秒，刹车后速度为米秒，刹车后行驶的距离为米．已测得刹车后的运动速度与运动时间之间满足关系式：．刹车后行驶的距离与的函数图像如下图所示，该图像是抛物线，为常数，的一部分． （1）当该汽车刹车后速度为米秒时，求刹车后行驶的时间． （2）求、的值，以及该汽车刹车后行驶的最大距离． （3）一司机驾驶该型号汽车，在以米秒的速度行驶中，突然发现导航提示前面米处路面变窄，于是立即刹车．为确保安全通过窄路，需要将车速降低到米秒以下．请通过计算说明该司机能否在到达窄路时将车速降低到米秒以下？ 【答案】（1）秒 （2），，米 （3）能 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用； （1）把代入，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）把代入得，，当时，求得，即可求解． 【小问1详解】 把代入， 得，解得 【小问2详解】 把，代入得 解得 因为 当时，最大，最大值为 即，，刹车后行驶的最大距离为米． 【小问3详解】 由题意：把代入得， 一，解得 当时， 所以，该司机到达窄路时可将车速降低到米秒以下． 23. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架，及与的端点，，，固定在外墙上，，，与平行，米．图是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为，安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 数学活动：数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点，的距离以及支架与夹角（＝），对雨棚进行了重新设计．图是第一小组的设计示意图，其中，，米．如图是第二小组的设想，其中米，， 问题解决： 【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． 【任务二】第一小组所设计的雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）． 【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究，并直接写出答案． 问题1：探索的最大值； 问题2：探索最大时的度数． 【答案】任务一：平方米；任务二：点应安装在与点的距离不高于米处；任务三：的最大值为米，＝ 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质； 任务一：过点作于点 根据题意可得，进而得出，即可求解； 任务二：当时 此时最大 如图在中，得出在中,得出，即可求解． 任务三：由任务二可得时，最大，以为斜边作等腰，则点的运动轨迹为，当与相切时，最大，根据四边形内角和定理以及圆周角定理，可得，进而过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，分别求得，根据，即可求解． 【详解】任务一: 过点作于点 由得， ， 在中 ， ∴， ； 所以所需挡雨板面积为 平方米； 任务二 当时，此时最大，如图在中， ∵在中, 此时： 点A应安装在与点的距离不高于 米处； 任务三：问题1：的最大值为 米 问题2： 由任务二可得时，最大， 以为斜边作等腰，则点的运动轨迹为， 当与相切时，最大，此时如图所示，， ∵等腰， ∴，则 四边形中， ∴ 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 24. 如图1，已知为的直径，弦于点，连结，．在上取点，使，交、分别于点、，连结． （1）求证： （2）当时，求的值． （3）如图2，，的延长线于点，连结．若，， ①求的长； ②求的周长． 【答案】（1） 证明： ∵是直径， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，，根据可得，则，即可得出，进而得出，即可得证； （2）由（1）可得则，设得出，连接，设，则，分求得，即可求解； （3）①设，证明，根据相似三角形性质则，，在中，，勾股定理即可求解； ②分别求得，进而根据三角函数的定义求得，证明根据相似三角形的性质可得，进而根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得 ∴ 设 又∵ ∴ ∵ ∴，即 解得： 如图所示，连接， 则 ∴ 设，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， 设，则， 在中， ∴ 解得：，即，则 ②∵， 在中， 在中，，， ∴， ∴， ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ 即 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $