第11讲 直线和圆的方程（10类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（上海专版）

第11讲 直线和圆的方程（10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年春考2、11题 直线的倾斜角、圆的标准方程 2023年秋考7题 2023年春考4题 圆的一般方程 圆的一般方程 2022春考16题 2022春考7题 直线与圆的位置关系 方程组解的个数与两直线的位置关系 2021年秋考3题 2021年春考5题 圆的一般方程 两直线的夹角与到角问题 2020年秋考20题 2020年春考7题 双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义 两条平行直线间的距离 2. 备考策略 1.求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 2.直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决． (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 3.判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 4.利用距离公式应注意的点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等． 5.对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． 6.求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 7.求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 8.与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 9.判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 10.弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 10.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 11. (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 知识讲解 一．直线的倾斜角 1.倾斜角的定义 （1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． （2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 二．直线的斜率 1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即. 2.斜率的计算公式： 定义 斜率的定义式 两点式 过两点，的直线的斜率公式为 【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在. 3.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 斜率 不存在 三．直线的平行于垂直 定义 平行 当存在时，两直线平行，则 当不存在时，则两直线的倾斜角都为 垂直 当存在时，两直线垂直，则 当不存在时，则一条直线倾斜角为，另一条直线倾斜角为 【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况. 四．直线的方程 直线方程 适用范围 点斜式 不能表示与轴垂直的直线 斜截式 不能表示与轴垂直的直线 两点式 不能表示与轴、轴垂直的直线 截距式 不能表示与轴垂直、轴垂直以及过原点的直线 一般式 无局限性 五．特殊的直线方程 已知点，则 类型 直线方程 与轴垂直的直线 与轴垂直的直线 六．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即，所以. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 七．直线的平行与垂直 斜截式 一般式 直线方程 平行 （注意可能重合） 垂直 八．利用平行与垂直解决问题 斜截式 一般式 直线方程 平行 若直线，则可设的方程为： 若直线，则可设的方程为： 垂直 若直线，则可设的方程为： 若直线，则可设的方程为： 九．两条直线的交点 对于直线，，求交点即解方程组，该方程组的解与两直线的位置关系如下： 方程组解的个数 位置关系 一个解 相交 无解 平行 无数解 重合 十．三个距离公式 条件 距离公式 两点之间的距离公式 已知两点， 点到直线的距离公式 已知一点，以及直线 两平行线的距离公式 已知直线， 以及 十一．对称 条件 方法 两点关于另外一点对称 ，两点关于对称 两点关于一直线对称 ，两点关于直线对称（斜率存在） 1.两点的中点在直线上； 2.两点所在直线与直线垂直 两直线关于另一直线对称（三直线不平行） 1.三条直线交于同一点； 2.到角公式 十二．两点关于一直线特殊的对称 点的坐标 直线方程 对称点坐标 十三．到角公式 设的斜率分别是，到的角为，则. 十四．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 十五．圆的标准方程 圆的标准方程 圆心 半径 十六．圆的一般方程 圆的一般方程 圆心 半径 十七．二元二次方程与圆的方程 1.二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程， ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2.二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 十八．点与圆的位置关系 圆的标准方程为一般方程为.平 面内一点到圆心的距离为. 位置关系 判断方法 几何法 代数法（标准方程） 代数法（一般方程） 点在圆上 点在圆外 点在圆内 十九．与圆有关的最值问题 1.与圆的几何性质有关的最值问题 类型 方法 圆外一定点到圆上一动点距离的最值 最大值：；最小值：（为该定点到圆心的距离） 圆上一动点到圆外一定直线距离的最值 最大值：；最小值：（为圆心到直线的距离） 过园内一定点的弦的最值 最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦 2.与圆的代数结构有关的最值问题 类型 代数表达 方法 截距式 求形如的最值 转化为动直线斜率的最值问题 斜率式 求形如的最值 转化为动直线截距的最值问题 距离式 求形如的最值 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在. 二十．直线与圆的位置关系 位置关系 图示 几何法 代数法 相切 （为圆心到直线的距离） 相交 （为圆心到直线的距离） 相离 （为圆心到直线的距离） 二十一．相切→求切线方程 过定点作圆的切线，则切线方程为： 与圆的位置关系 切线条数 切线方程（方法） 在圆上 1条 在圆外 2条 【分两种情况讨论】： 1.斜率存在，设为点斜式，再通过或求出斜率即可； 2.斜率不存在. 【说明】：若情况1有一解，则情况2必有一解；若情况1有两解，则情况2必无解. 二十二．相交→求弦长 弦长公式：直线与圆相交于两点，则（为圆心到直线的距离）. 二十三．圆与圆的位置关系 两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系及其判断方法为： 位置关系 图示 几何法 公切线条数 外离 四条 外切 三条 相交 两条 内切 一条 内含 无 二十四．两圆的公共弦 1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程. 2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出. 二十五、直线与圆的综合应用的一般步骤： 步骤 具体内容 第一步 设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在 第二步 联立直线与圆方程消元化简 第三步 根据韦达定理写出两根之和与两根之积 第四步 根据题中所给的条件，带入韦达定理 考点一．直线的倾斜角 1．（2024•青浦区二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 　　． 2．（2024•嘉定区校级模拟）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 　　． 3．（2023•黄浦区校级三模）若直线的倾斜角为，则的值为 　　． 4．（2024•黄浦区校级三模）直线的倾斜角的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．，， 考点二．直线的一般式方程与直线的平行关系 5．（2024•浦东新区二模）“”是“直线与直线平行”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024•黄浦区校级三模）直线与直线互相平行，则实数　　 7．（2023•上海模拟）已知直线，，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2023•徐汇区校级三模）已知直线与直线相互平行，则实数的值是 　　． 考点三．直线的一般式方程与直线的垂直关系 9．（2024•黄浦区校级三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线垂直，则　　． 10．（2023•长宁区校级三模）已知直线和，若，则　　． 11．（2023•黄浦区二模）若直线与直线垂直，则实数的值为　　 A． B． C． D． 12．（2023•徐汇区校级三模）已知直线，，若，则　　． 考点四．两点间的距离公式 13．（2024•闵行区校级三模）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线上的动点到原点的距离的取值范围是 　 　． 14．（2024•嘉定区校级模拟）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，，，则曼哈顿距离，余弦距离，，，其中为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 　 　． 15．（2023•浦东新区校级模拟）已知，当时，是线段的中点，点在所有的线段上，则　　． 16．（2023•徐汇区校级三模）已知两个函数的图像相交于，两点，若动点满足，则为坐标原点）的最小值为 　　． 考点五．两条平行直线间的距离 17．（2024•嘉定区校级模拟）已知直线与两直线和平行且距离相等，则的方程为 　 　． 18．（2023•上海模拟）平行直线与之间的距离为 　 　． 19．（2021•黄浦区校级三模）已知直线与平行，则与的距离为　 　． 20．（2024春•黄浦区校级期末）两条平行直线和的距离为 　　． 考点六．两直线的夹角与到角问题 21．（2024春•长宁区期末）直线与直线的夹角大小为 　　． 22．（2024•长宁区二模）直线与直线的夹角大小为 　　． 23．（2024春•静安区校级期中）已知直线经过点，与直线的夹角为．则直线的方程 　 　． 24．（2024春•宝山区校级期末）直线与的夹角为 　　． 考点七．圆的一般方程 25．（2024春•闵行区校级月考）已知圆的一般方程为，则圆的面积为 　　． 26．（2024春•虹口区校级期中）已知圆的面积为，则实数的值为 　　． 27．（2024•青浦区校级模拟）已知圆恒过定点，，则直线的方程为 　 　． 28．（2024春•徐汇区校级月考）若，满足，则所有可能的值组成的集合是 　 　． 考点八．二元二次方程表示圆的条件 29．（2023春•松江区校级期中）关于、的方程表示圆，则实数的取值范围是 　 　． 30．（2024春•黄浦区校级期中）若方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 　 　． 31．（2023秋•长宁区校级期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 　 　． 32．（2023秋•宝山区校级期中）方程表示一个圆，则的取值范围是 　 　． 考点九．直线与圆的位置关系 33．（2024•普陀区校级三模）已知圆，直线，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是　　 A． B． C． D． 34．（2024•浦东新区校级四模）直线与圆相交所得的弦长为，则实数　　 ． 35．（2024•浦东新区校级四模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是 　 　． 36．（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点，若，，，则的最小值为 　　． 考点十．圆与圆的位置关系及其判定 37．（2024•浦东新区二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 　 　． 38．（2024春•浦东新区校级期中）圆与圆的位置关系是　　 A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 39．（2024•闵行区校级三模）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知圆及圆，设点为圆上的动点，则的最大值为 　　． 40．（2024•徐汇区模拟）若两圆与相内切，则　 　． 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•虹口区校级期中）设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023春•浦东新区校级期中）图与的位置关系是　　 A．外切 B．外离 C．相交 D．内切 3．（2023春•黄浦区校级期中）圆上到直线距离为的点有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 4．（2023春•普陀区校级期中）若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为　　 A．2 B．2或 C． D．或 二．填空题（共8小题） 5．（2023•闵行区校级一模）若直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为　　． 6．（2023秋•青浦区校级期中）直线与的夹角大小为 　　． 7．（2023春•闵行区期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 　　． 8．（2023春•闵行区期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 　　． 9．（2023春•普陀区校级期末）若圆与圆交于，两点，则直线的方程为 　　． 10．（2023春•黄浦区期末）设直线与圆相交所得弦长为，则　　． 11．（2023秋•浦东新区校级月考）已知直线与圆交于、两点，若面积为，则的值为 　　． 12．（2023春•嘉定区校级月考）已知圆和点，，为坐标原点，若圆上存在点满足，则的最大值为 　　． 一．选择题（共5小题） 1．（2023春•宝山区校级期中）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2023春•普陀区校级期末）过坐标原点的直线与圆相交，且将该圆分成的两段弧长之比为，则的斜率为　　 A． B． C．或 D．或 3．（2023春•闵行区校级月考）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任点形成的轨迹即为星形线．如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线．有如下结论： ①曲线上任意两点间距离的最大值为8； ②曲线的周长大于曲线的周长； ③曲线与圆有且仅有4个公共点． 其中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023春•虹口区期末）已知圆，直线．若圆心在直线上，则圆的半径等于　　 A． B．1 C． D．3 5．（2023秋•浦东新区校级期末）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为　　 A． B． C．1 D． 二．填空题（共4小题） 6．（2023春•杨浦区校级期末）直线绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 　　． 7．（2023•普陀区校级开学）已知直线（其中为实数）过定点，点在函数的图象上，则连线的斜率的取值范围是 　　． 8．（2023秋•黄浦区校级期中）若曲线上恰有两个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 　　． 9．（2023秋•嘉定区校级期中）设圆，直线过，斜率为，且与圆交于，两点．若线段上任意一点，均存在过的两条相互垂直的弦与，使得．则的最小值为 　　． 三．解答题（共5小题） 10．（2023春•杨浦区校级期末）已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知，且、是一组“共轭线对”，求、的夹角； （2）已知点、点和点分别是三条直线、、上的点、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知直线过定点，直线、是“共轭线对”，当实数变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围． 11．（2023春•浦东新区校级期末）已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知、是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； （2）已知点、点和点分别是三条直线，，上的点，，与，，均不重合），且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围． 12．（2023秋•宝山区校级期中）在平面直角坐标系中，两点，、，的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． （1）动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围； （2）动点在直线上，动点在函数图像上，求的最小值； （3）动点在函数的图像上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 13．（2024春•浦东新区校级期末）已知直线， （1）直线过定点，求点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线方程． 14．（2023秋•浦东新区校级月考）已知圆，圆的圆心在轴上且与圆外切，圆与轴交于、两点，定点的坐标为． （1）若点，求的正切值； （2）当点在轴上运动时，求的最大值； （3）在轴上是否存在定点，当圆在轴上运动时，是定值？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由． 一．填空题（共8小题） 1．（2022•上海）若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为 　　． 2．（2024•上海）直线的倾斜角大小为 　　． 3．（2021•上海）直线与直线的夹角为 　　． 4．（2020•上海）已知直线，，若，则与的距离为 　　． 5．（2021•上海）若，求圆心坐标为 　　． 6．（2023•上海）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 　　． 7．（2023•上海）已知圆的面积为，则　　． 8．（2024•上海）正方形草地边长1.2，到，距离为0.2，到，距离为0.4，有个圆形通道经过，，且与只有一个交点，求圆形通道的周长 　　．（精确到 二．选择题（共1小题） 9．（2022•上海）设集合，， ①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧； ②存在直线，使得集合中存在无数点在上；　　 A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 三．解答题（共1小题） 10．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分． （1）若，求的值； （2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求； （3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线和圆的方程（10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年春考2、11题 直线的倾斜角、圆的标准方程 2023年秋考7题 2023年春考4题 圆的一般方程 圆的一般方程 2022春考16题 2022春考7题 直线与圆的位置关系 方程组解的个数与两直线的位置关系 2021年秋考3题 2021年春考5题 圆的一般方程 两直线的夹角与到角问题 2020年秋考20题 2020年春考7题 双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义 两条平行直线间的距离 2. 备考策略 1.求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 2.直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决． (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 3.判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 4.利用距离公式应注意的点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等． 5.对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． 6.求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 7.求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 8.与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 9.判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 10.弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 10.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 11. (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 知识讲解 一．直线的倾斜角 1.倾斜角的定义 （1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． （2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 二．直线的斜率 1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即. 2.斜率的计算公式： 定义 斜率的定义式 两点式 过两点，的直线的斜率公式为 【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在. 3.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 斜率 不存在 三．直线的平行于垂直 定义 平行 当存在时，两直线平行，则 当不存在时，则两直线的倾斜角都为 垂直 当存在时，两直线垂直，则 当不存在时，则一条直线倾斜角为，另一条直线倾斜角为 【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况. 四．直线的方程 直线方程 适用范围 点斜式 不能表示与轴垂直的直线 斜截式 不能表示与轴垂直的直线 两点式 不能表示与轴、轴垂直的直线 截距式 不能表示与轴垂直、轴垂直以及过原点的直线 一般式 无局限性 五．特殊的直线方程 已知点，则 类型 直线方程 与轴垂直的直线 与轴垂直的直线 六．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即，所以. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 七．直线的平行与垂直 斜截式 一般式 直线方程 平行 （注意可能重合） 垂直 八．利用平行与垂直解决问题 斜截式 一般式 直线方程 平行 若直线，则可设的方程为： 若直线，则可设的方程为： 垂直 若直线，则可设的方程为： 若直线，则可设的方程为： 九．两条直线的交点 对于直线，，求交点即解方程组，该方程组的解与两直线的位置关系如下： 方程组解的个数 位置关系 一个解 相交 无解 平行 无数解 重合 十．三个距离公式 条件 距离公式 两点之间的距离公式 已知两点， 点到直线的距离公式 已知一点，以及直线 两平行线的距离公式 已知直线， 以及 十一．对称 条件 方法 两点关于另外一点对称 ，两点关于对称 两点关于一直线对称 ，两点关于直线对称（斜率存在） 1.两点的中点在直线上； 2.两点所在直线与直线垂直 两直线关于另一直线对称（三直线不平行） 1.三条直线交于同一点； 2.到角公式 十二．两点关于一直线特殊的对称 点的坐标 直线方程 对称点坐标 十三．到角公式 设的斜率分别是，到的角为，则. 十四．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 十五．圆的标准方程 圆的标准方程 圆心 半径 十六．圆的一般方程 圆的一般方程 圆心 半径 十七．二元二次方程与圆的方程 1.二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程， ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2.二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 十八．点与圆的位置关系 圆的标准方程为一般方程为.平 面内一点到圆心的距离为. 位置关系 判断方法 几何法 代数法（标准方程） 代数法（一般方程） 点在圆上 点在圆外 点在圆内 十九．与圆有关的最值问题 1.与圆的几何性质有关的最值问题 类型 方法 圆外一定点到圆上一动点距离的最值 最大值：；最小值：（为该定点到圆心的距离） 圆上一动点到圆外一定直线距离的最值 最大值：；最小值：（为圆心到直线的距离） 过园内一定点的弦的最值 最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦 2.与圆的代数结构有关的最值问题 类型 代数表达 方法 截距式 求形如的最值 转化为动直线斜率的最值问题 斜率式 求形如的最值 转化为动直线截距的最值问题 距离式 求形如的最值 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在. 二十．直线与圆的位置关系 位置关系 图示 几何法 代数法 相切 （为圆心到直线的距离） 相交 （为圆心到直线的距离） 相离 （为圆心到直线的距离） 二十一．相切→求切线方程 过定点作圆的切线，则切线方程为： 与圆的位置关系 切线条数 切线方程（方法） 在圆上 1条 在圆外 2条 【分两种情况讨论】： 1.斜率存在，设为点斜式，再通过或求出斜率即可； 2.斜率不存在. 【说明】：若情况1有一解，则情况2必有一解；若情况1有两解，则情况2必无解. 二十二．相交→求弦长 弦长公式：直线与圆相交于两点，则（为圆心到直线的距离）. 二十三．圆与圆的位置关系 两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系及其判断方法为： 位置关系 图示 几何法 公切线条数 外离 四条 外切 三条 相交 两条 内切 一条 内含 无 二十四．两圆的公共弦 1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程. 2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出. 二十五、直线与圆的综合应用的一般步骤： 步骤 具体内容 第一步 设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在 第二步 联立直线与圆方程消元化简 第三步 根据韦达定理写出两根之和与两根之积 第四步 根据题中所给的条件，带入韦达定理 考点一．直线的倾斜角 1．（2024•青浦区二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 　　． 【分析】由直线的方程，可得它的倾斜角，由题意可得直线的倾斜角的大小，进而求出直线的斜率． 【解答】解：直线的倾斜角为， 由题意可得直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，属于基础题． 2．（2024•嘉定区校级模拟）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 　　． 【分析】先求出直线的斜率，由此能求出直线的倾斜角大小． 【解答】解：是直线的一个方向向量， 直线的斜率， 直线的倾斜角大小为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的方向向量、斜率、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（2023•黄浦区校级三模）若直线的倾斜角为，则的值为 　　． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，以及三角函数的恒等变换，即可求解． 【解答】解：直线的倾斜角为， 则， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，以及三角函数的恒等变换，属于基础题． 4．（2024•黄浦区校级三模）直线的倾斜角的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．，， 【分析】根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：①当时，斜率不存在，即倾斜角为； ②当时，直线的斜率， ， 即直线的倾斜角的取值范围为． ③当时，直线的斜率， ， 即直线的倾斜角的取值范围为． 综上，直线的倾斜角的取值范围为， 故选：． 【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的关键． 考点二．直线的一般式方程与直线的平行关系 5．（2024•浦东新区二模）“”是“直线与直线平行”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由充分条件与必要条件的概念集合两直线平行的判断即可求解． 【解答】解：若，则两条直线分别为，， 显然两条直线相互平行，充分性成立； 若直线与直线平行， 则，且， 所以，必要性成立． 故选：． 【点评】本题考查直线平行的应用，属于基础题． 6．（2024•黄浦区校级三模）直线与直线互相平行，则实数　2　 【分析】根据两直线平行的条件列出方程求得的值． 【解答】解：直线与直线互相平行， 则， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查了直线方程平行条件的应用问题，是基础题． 7．（2023•上海模拟）已知直线，，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解． 【解答】解：直线，，， 则，解得或， 经检验，当或时，均符合题意， 故是的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 8．（2023•徐汇区校级三模）已知直线与直线相互平行，则实数的值是 　　． 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可． 【解答】解：因为直线与直线相互平行， 则，即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两直线平行的斜率关系，属于基础题． 考点三．直线的一般式方程与直线的垂直关系 9．（2024•黄浦区校级三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线垂直，则　　． 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线、互相垂直算出的斜率，进而求出倾斜角的大小． 【解答】解：直线即，斜率， 因为直线、互相垂直，所以直线的斜率， 直线的倾斜角为，则，结合，，可知． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、两条直线垂直与方程的关系等知识，属于基础题． 10．（2023•长宁区校级三模）已知直线和，若，则　2　． 【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于的方程，解可得答案． 【解答】解：根据题意，直线和， 若，则有，解可得． 故答案为：2． 【点评】本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题． 11．（2023•黄浦区二模）若直线与直线垂直，则实数的值为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出结果． 【解答】解：直线与直线垂直， 则，解得． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 12．（2023•徐汇区校级三模）已知直线，，若，则　　． 【分析】直接利用直线垂直的充要条件建立方程，进一步求出的值． 【解答】解：由于直线，，若， 故，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 考点四．两点间的距离公式 13．（2024•闵行区校级三模）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线上的动点到原点的距离的取值范围是 　　． 【分析】先设曲线上的动点为，则，再令，，计算可得的范围． 【解答】解：由题意知，， 设曲线上的动点为，到原点的距离为， 则， 令，则，，则， 可得，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题． 14．（2024•嘉定区校级模拟）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，，，则曼哈顿距离，余弦距离，，，其中为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 　　． 【分析】根据题意作出示意图形，可得点在正方形的边上运动，结合题意分析，的最大值，即可求出本题的答案． 【解答】解：设，由题意得：，即， 而表示的图形是正方形，其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当，取到最小值时，，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得，； ②点在线段上运动时，此时与同向，取，则，． 因为，所以的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、平面向量的夹角与数量积等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题． 15．（2023•浦东新区校级模拟）已知，当时，是线段的中点，点在所有的线段上，则　　． 【分析】不妨设点、，设点，可得出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，利用累加法求出数列的通项公式，由此可得出，即可得解． 【解答】解：不妨设点、，设点， 则数列满足，，， 所以，， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，， 当时， ， 也满足，故对任意的，． 所以，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题． 16．（2023•徐汇区校级三模）已知两个函数的图像相交于，两点，若动点满足，则为坐标原点）的最小值为 　　． 【分析】直接利用中点坐标公式和向量的运算的应用求出结果． 【解答】解：函数和函数相交于和， 由于关于点对称， 设，，，设， 由于， 所以， 整理得， 故， 所以原点到的距离， 所以点到原点的距离的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：中点坐标公式，向量的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 考点五．两条平行直线间的距离 17．（2024•嘉定区校级模拟）已知直线与两直线和平行且距离相等，则的方程为 　　． 【分析】设直线，，利用两平行线间的距离公式，求得的值． 【解答】解：根据直线与两直线和平行且距离相等，可设直线，， ，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中，的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式． 18．（2023•上海模拟）平行直线与之间的距离为 　　． 【分析】根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解． 【解答】解：直线，即， 直线与之间的距离为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题． 19．（2021•黄浦区校级三模）已知直线与平行，则与的距离为　　． 【分析】利用两平行线间距离公式直接求解． 【解答】解：直线与平行， 直线 与的距离． 故答案为：． 【点评】本题考查两平行线间的距离，考查两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20．（2024春•黄浦区校级期末）两条平行直线和的距离为 　2　． 【分析】根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解． 【解答】解：两条平行直线和的距离为． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题． 考点六．两直线的夹角与到角问题 21．（2024春•长宁区期末）直线与直线的夹角大小为 　　． 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，再结合直线夹角的概念即可求解． 【解答】解：因为直线的斜率为，则其倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两直线的夹角公式的应用，属于基础题． 22．（2024•长宁区二模）直线与直线的夹角大小为 　　． 【分析】根据题意，先求出两条直线的斜率，然后利用两角差的正切公式算出夹角的正切值，进而可得答案． 【解答】解：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，，满足，，，， 因为，所以，即两条直线的夹角大小为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、两角差的正切公式等知识，考查了计算能力，属于基础题． 23．（2024春•静安区校级期中）已知直线经过点，与直线的夹角为．则直线的方程 　或　． 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，利用反三角函数的性质算出，然后分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式求出直线的方程． 【解答】解：根据题意，直线斜率， 设直线的倾斜角为，根据直线的斜率为负数，可知， 由，解得，或（舍去）， 设两直线夹角为，则，且， 可得，． ①当的斜率不存在，则，此时，可得，符合题意； ②当的斜率存在，设的斜率为，则，解得， 所以直线，即． 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式、两条直线的夹角公式、同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题． 24．（2024春•宝山区校级期末）直线与的夹角为 　　． 【分析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，，由两角差的正切公式可求出两直线的夹角． 【解答】解：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，所以两直线的夹角为， ． 因为直线夹角的取值范围为，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角，两直线的夹角问题，是中档题． 考点七．圆的一般方程 25．（2024春•闵行区校级月考）已知圆的一般方程为，则圆的面积为 　　． 【分析】将圆的一般式方程转化为标准式方程，可得半径，进而可得答案． 【解答】解：圆的一般方程为， 所以， 即圆的标准方程为， 所以圆的半径为1， 故圆的面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆的方程，属于基础题． 26．（2024春•虹口区校级期中）已知圆的面积为，则实数的值为 　2　． 【分析】根据题意，将圆化成标准方程得到半径，利用圆的面积公式建立关于的方程，解之即可得到实数的值． 【解答】解：圆化成标准方程，得， 所以圆的方程，圆面积，解得． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、圆的面积公式等知识，属于基础题． 27．（2024•青浦区校级模拟）已知圆恒过定点，，则直线的方程为 　　． 【分析】根据题意将圆方程整理，可得，利用圆系方程得出：圆经过圆与直线的交点，进而可得直线的方程． 【解答】解：圆，可化为， 由此可得：圆是经过圆与直线的交点的一个圆， 因此，直线就是直线，即直线的方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 28．（2024春•徐汇区校级月考）若，满足，则所有可能的值组成的集合是 　，　． 【分析】将化为圆的标准方程，设，可得，即该直线与圆有交点，借助点到直线距离公式计算即可得． 【解答】解：可化为：， 则该方程为圆心为，半径为5的圆， 设，即有， 由题知，该直线与圆有交点， 即，可得． 故答案为：，． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 考点八．二元二次方程表示圆的条件 29．（2023春•松江区校级期中）关于、的方程表示圆，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据已知条件，结合配方法，以及圆的定义，即可求解． 【解答】解：， 则， 、的方程表示圆， ，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题． 30．（2024春•黄浦区校级期中）若方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据圆的一般方程的性质可得到不等式，解不等式即可解得实数的取值范围． 【解答】解：因为方程表示的曲线是一个圆， 所以有，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题． 31．（2023秋•长宁区校级期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 　，，　． 【分析】根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于的不等式，解不等式即可． 【解答】解：把方程配方得：，因为方程表示一个圆， 则，解得，则实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题． 32．（2023秋•宝山区校级期中）方程表示一个圆，则的取值范围是 　　． 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列出不等式求解即可． 【解答】解：由题意方程表示一个圆， 可得，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件的应用，是基础题． 考点九．直线与圆的位置关系 33．（2024•普陀区校级三模）已知圆，直线，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据直线与圆的位置关系，借助点到直线的距离公式，求出的取值范围，即直线与圆有公共点的充要条件，再确定那个是必要不充分条件． 【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1． 因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交， 所以圆心到直线的距离，解得． 其必要不充分条件是把的取值范围扩大， 所以选项中只有是的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是中档题． 34．（2024•浦东新区校级四模）直线与圆相交所得的弦长为，则实数　2　． 【分析】将圆方程化成标准方程，求出圆心为，半径，然后根据直线被圆截得的弦长为，由弦长公式建立关于的方程，解之可得实数的值． 【解答】解：圆，化成标准方程得， 可知圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交所得弦长为， 所以，即，解得（舍负）． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及其应用，属于中档题． 35．（2024•浦东新区校级四模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是 　　． 【分析】分，，，几种情况，结合图象的变换知识即可求的取值范围． 【解答】解：当时，由图象的变换可得，与一定有两个交点， 当，过点，求导可得，， 所以在处的切线方程为， 此时的圆心到直线的距离， 所以直线与圆只有一个公共点，此时与只有一个交点， 当向左移动时，即时，与一定没有交点， 当时，与一定有两个交点， 故曲线与有两个交点时的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系问题，考查了分类讨论思想，是中档题． 36．（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点，若，，，则的最小值为 　8　． 【分析】由向量的运算，结合圆的性质求解． 【解答】解：在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点，若，，， 则， 则． 故答案为：8． 【点评】本题考查了向量的运算，重点考查了圆的性质，属中档题． 考点十．圆与圆的位置关系及其判定 37．（2024•浦东新区二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 　　． 【分析】由已知结合两圆位置关系的条件建立关于的不等式，即可分别求解． 【解答】解：因为圆可化为，圆心，半径为1， 圆可化为，圆心，半径为3，， 若两圆相交，则，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于基础题． 38．（2024春•浦东新区校级期中）圆与圆的位置关系是　　 A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【分析】根据题意，计算出两圆的圆心与半径，发现圆心距恰好等于两圆半径的和，由此得到两圆的位置关系． 【解答】解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径． 可得两圆的圆心距，满足，所以两圆外切． 故选：． 【点评】本题主要考查两点间的距离公式、两圆的位置关系判断等知识，属于基础题． 39．（2024•闵行区校级三模）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知圆及圆，设点为圆上的动点，则的最大值为 　3　． 【分析】由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得． 【解答】解：由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径， 因为，所以两圆外离， 因为点为圆上的动点，所以， 所以的最大值为． 故答案为：3． 【点评】本题考查两圆的位置关系，涉及圆上的点与圆心的距离的最值问题，属于中档题． 40．（2024•徐汇区模拟）若两圆与相内切，则　　． 【分析】求出两圆的圆心坐标分别为、，半径分别为1和2．根据两圆内切，利用两点的距离公式建立关于的等式，解之即可得到正数的值． 【解答】解：将圆化为标准方程，得， 圆的圆心为、半径， 同理可得圆的圆心为、半径， 两圆内切，两圆的圆心距等于它们的半径之差， 可得，解之得或， 故答案为：． 【点评】本题给出含有字母参数的圆方程，在两圆内切的情况下求参数的值．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和两圆的位置关系等知识，属于中档题． 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•虹口区校级期中）设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，应用点到直线距离求圆心到直线的距离，再由充分、必要性定义及直线与圆的位置关系确定条件间的关系． 【解答】解：由题设可得圆心，半径为1，圆心到直线的距离， 若时，，故，则直线与圆相交； 若直线与圆相交时，，则或； 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查命题的充分性与必要性的判断，考查直线与圆的位置关系，属基础题． 2．（2023春•浦东新区校级期中）图与的位置关系是　　 A．外切 B．外离 C．相交 D．内切 【分析】先利用配方法将两个圆的方程均化为标准方程，再写出圆心坐标和半径，然后比较两圆的圆心距与半径和、半径差的大小关系即可得解． 【解答】解：圆化为标准方程为，圆心，半径为； 圆化为标准方程为，圆心，半径为． 所以圆心距，，， 所以，即两圆的位置关系为相交． 故选：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判定，考查学生的运算能力，属于基础题． 3．（2023春•黄浦区校级期中）圆上到直线距离为的点有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【分析】圆可化为，过圆心平行于直线的直线与圆有两个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点． 【解答】解：圆可化为， 圆心坐标是，半径是； 圆心到直线的距离为， 过圆心平行于直线的直线与圆有两个交点， 另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点， 共有3个交点． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系及直线与圆交点个数问题，属于中档题． 4．（2023春•普陀区校级期中）若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为　　 A．2 B．2或 C． D．或 【分析】根据题意设出圆的方程，代入点的坐标可求圆的方程，从而可得圆的直径． 【解答】解：因为直线的倾斜角为，所以圆心在两切线所成角的角平分线上上， 设圆心，则圆的方程为， 将点代入圆的方程，得， 整理得，解得或， 圆的直径为2或． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属中档题． 二．填空题（共8小题） 5．（2023•闵行区校级一模）若直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为　　． 【分析】先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线的倾斜角． 【解答】解：直线的一个法向量为，则直线的一个方向向量为，设直线的倾斜角为， 则有，又，， 故答案为：． 【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，直线的法向量和方向向量的定义． 6．（2023秋•青浦区校级期中）直线与的夹角大小为 　　． 【分析】根据两条直线的斜率和倾斜角，结合两角差的正切公式求得正确答案． 【解答】解：直线的斜率为，倾斜角设为，则为钝角， 直线的斜率为2，倾斜角设为，则为锐角， 设两条直线的夹角为， 则， 所以夹角大小为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题． 7．（2023春•闵行区期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据题意，求出圆心到直线的距离，由直线与圆相交的判定方法可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线， 圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线与圆相交，则有， 解得：， 即的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质，属于基础题． 8．（2023春•闵行区期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由圆的方程，结合圆与圆的位置关系求解即可． 【解答】解：将圆的方程化为标准式可得，即，半径为3， 将圆的方程化为标准式可得， 即，半径为， 则， 又两圆、圆相内切， 则有， 解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的方程，重点考查了圆与圆的位置关系，属基础题． 9．（2023春•普陀区校级期末）若圆与圆交于，两点，则直线的方程为 　　． 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可． 【解答】解：圆与圆相交，则两圆方程之差即为直线的方程， 将与作差得， 整理得， 故直线的方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，考查转化能力，属于基础题． 10．（2023春•黄浦区期末）设直线与圆相交所得弦长为，则　　． 【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解． 【解答】解：圆， 则圆心为，半径， 直线与圆相交所得弦长为， 圆心到直线的距离， 又圆心到直线的距离为， ，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 11．（2023秋•浦东新区校级月考）已知直线与圆交于、两点，若面积为，则的值为 　　． 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系表示出，然后根据三角形的面积公式列方程可求出的值． 【解答】解：由得圆的圆心，半径， 因为直线恒过点，而点在圆内， 所以直线与圆相交， 圆心到直线的距离， 所以， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，考查三角形的面积公式，属于基础题． 12．（2023春•嘉定区校级月考）已知圆和点，，为坐标原点，若圆上存在点满足，则的最大值为 　6　． 【分析】由，可得，所以只需要圆和圆有公共点，求解的范围，即可得到最大值． 【解答】解：设，由，即， 化简可得，圆心，半径为1， 圆的圆心，半径为：， 所以只需要圆和圆有公共点，两圆圆心距离为， 所以， 所以的最大值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 一．选择题（共5小题） 1．（2023春•宝山区校级期中）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】利用直线和圆的位置关系建立不等量关系，进一步求出的取值范围． 【解答】解：设点，由于， 所以， 整理得， 利用圆心到直线的距离，解得， 即实数的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题． 2．（2023春•普陀区校级期末）过坐标原点的直线与圆相交，且将该圆分成的两段弧长之比为，则的斜率为　　 A． B． C．或 D．或 【分析】由题得两段弧所对的圆心角分别为和，圆心到的距离为1，设的方程为，解方程即得解． 【解答】解：圆心坐标为，半径为2，因为将该圆分成的两段弧长之比为， 则两段弧所对的圆心角分别为和， 由几何性质可知，圆心到的距离为1， 设的方程为，则， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 3．（2023春•闵行区校级月考）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任点形成的轨迹即为星形线．如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线．有如下结论： ①曲线上任意两点间距离的最大值为8； ②曲线的周长大于曲线的周长； ③曲线与圆有且仅有4个公共点． 其中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据题意，分析曲线经过的特殊点，据此分析3个结论，即可得答案． 【解答】解：根据题意，大圆周长是小圆周长的4倍，故当大圆转动周时，小圆转动了一周， 根据对称性，故可知曲线经过，，，， 且这些点是曲线距离原点最远的点， 对于①，曲线上，或之间的距离最大，且， 即曲线上任意两点间距离的最大值为8，故①正确； 对于②，曲线，图形为图中的正方形，必有的周长小于曲线的周长，故②错误； 对于③，曲线与圆有且仅有4个公共点，即四点，故③正确； 正确的是①③． 故选：． 【点评】本题考查曲线的轨迹，涉及命题真假的判断，属于中档题． 4．（2023春•虹口区期末）已知圆，直线．若圆心在直线上，则圆的半径等于　　 A． B．1 C． D．3 【分析】求得圆的圆心坐标，代入直线的方程可求得，代入圆的方程可求圆的半径． 【解答】解：由，可得圆心，， 圆心在直线上．， 解得，圆的方程为，即， 圆的半径等于． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题． 5．（2023秋•浦东新区校级期末）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为　　 A． B． C．1 D． 【分析】由题意画出图形，求出过与圆相切的直线的斜率，得到切线的倾斜角，再由题意得曲线的倾斜角与旋转角的和的最大值为，由此可得最大时的正切值． 【解答】解：由，得， 原函数的图象是以为圆心，以为半径的圆的部分， 如图： 设过与圆相切的直线的斜率为， 则直线方程为，即． 由，解得． 要使对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大角满足， ，可得． 最大时的正切值为． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数的概念，考查化归与转化、数形结合思想，属难题． 二．填空题（共4小题） 6．（2023春•杨浦区校级期末）直线绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 　　． 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用直线到直线的角正切公式求出直线的斜率，再写出点斜式方程，化为斜截式方程． 【解答】解：直线绕着点逆时针旋转与直线重合， 设直线的斜率为，则，解得， 所以直线的点斜式方程为：， 化为斜截式方程是． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线的方程与应用问题，是基础题． 7．（2023•普陀区校级开学）已知直线（其中为实数）过定点，点在函数的图象上，则连线的斜率的取值范围是 　，　． 【分析】直线方程即，由，求得定点的坐标，设点，，则连线的斜率为，再利用二次函数的性质求得它的范围． 【解答】解：已知直线即， 由，解得，故定点的坐标为． 设点，，则连线的斜率为， 故连线的斜率的取值范围为，， 故答案为，． 【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题． 8．（2023秋•黄浦区校级期中）若曲线上恰有两个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】条件等价于到直线的距离，代入点到直线的距离公式，可得答案． 【解答】解：由圆，可得圆的圆心，半径为， 若曲线上恰有两个点到直线的距离为1， 当直线不过圆心时，则到直线的距离满足：， ， 解得或， 当直线过圆心时：圆心为，半径为1， ，解得． 故答案为：，． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，其中分析出到直线的距离是解答的关键，属于中档题． 9．（2023秋•嘉定区校级期中）设圆，直线过，斜率为，且与圆交于，两点．若线段上任意一点，均存在过的两条相互垂直的弦与，使得．则的最小值为 　　． 【分析】由已知可得，进而可得，且，计算可求的最小值． 【解答】解：依题意，要使线段上任意一点，均存在过的两条相互垂直的弦与， 使得． 只需， 所以到直线的距离，且， 即且， 解得，即． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题． 三．解答题（共5小题） 10．（2023春•杨浦区校级期末）已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知，且、是一组“共轭线对”，求、的夹角； （2）已知点、点和点分别是三条直线、、上的点、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知直线过定点，直线、是“共轭线对”，当实数变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围． 【分析】（1）先求得直线的斜率，再利用夹角公式求解即可； （2）结合直线定义可分别求出，，，进而可求三条直线，联立方程可求． （3）直线过定点，设，，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线，的距离，变形后利用基本不等式求解． 【解答】解：（1），且、是一组“共轭线对”， ，又，，设、的夹角为， ，； （2）设直线，，的斜率分别为，，， 则，得，，或，，． 当，，时，直线的方程为，直线的方程为，联立得； 当，，时，直线的方程为，直线的方程为，联立得． 故所求为或； （3）直线过定点，设，，其中， 故 ． 由于（等号成立的条件是， 故，，，． 【点评】本题考查两直线夹角公式的应用，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，属中档题． 11．（2023春•浦东新区校级期末）已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知、是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； （2）已知点、点和点分别是三条直线，，上的点，，与，，均不重合），且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围． 【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值； （2）设直线，，的斜率分别为，，，可得，求解可得，，的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标； （3）设，，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线，的距离，变形后利用基本不等式求解． 【解答】解：（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则， 等号成立的条件是， ，的夹角的最小值为； （2）设直线，，的斜率分别为，，， 则，得或． 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得． 故所求为或； （3）设，，其中， 故 ． 由于（等号成立的条件是， 故，，，． 【点评】本题考查两直线夹角与到角公式的应用，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 12．（2023秋•宝山区校级期中）在平面直角坐标系中，两点，、，的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． （1）动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围； （2）动点在直线上，动点在函数图像上，求的最小值； （3）动点在函数的图像上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 【分析】（1）利用“曼哈顿距离”定义，分类讨论去绝对值解不等式即可； （2）设出动点，，，，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可； （3）先取特值确定出最小值，再验证有实数，即可． 【解答】解：（1）由已知，则概率“曼哈顿”定义得， ，， 当时，成立，解得； 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述点的横坐标的取值范围为，． （2）设出动点，，，则， ， ， 当时，， 此时， 当时，， 此时， 当时，， 此时， ， ， 综合得，当，时取等号， 的最小值为． （3）设，则， 若存在实数，，使得，则对任意，成立， 取，得，取，则， ， 解得， 取，，是，上是偶函数， 当，时，若，， 若，， 当且仅当时，取等号， 存在实数，且，，使得最小值为，点． 【点评】本题考查新定义、两点间距离公式、函数的奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 13．（2024春•浦东新区校级期末）已知直线， （1）直线过定点，求点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线方程． 【分析】（1）由，可得 可得直线必过直线，的交点 （2）令，得；令，得 三角形的面积为，解得 【解答】解：（1）由，可得 直线必过直线，的交点 ． （2）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， 令，得；令，得 三角形的面积为 解得 直线方程为： 【点评】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题． 14．（2023秋•浦东新区校级月考）已知圆，圆的圆心在轴上且与圆外切，圆与轴交于、两点，定点的坐标为． （1）若点，求的正切值； （2）当点在轴上运动时，求的最大值； （3）在轴上是否存在定点，当圆在轴上运动时，是定值？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）由已知中圆，点，我们易求出的长，进而求出圆的半径，求出，两点坐标后，可由得到结果． （2）设点坐标为，圆半径为，我们可以求出对应的圆的方程和，两点的坐标，进而求出正切的表达式（含参数，求出其最值后，即可根据正切函数的单调性，求出的最大值； （3）假设存在点，根据是定值，我们构造关于的方程，若方程有解，则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点． 【解答】解：（1）， 圆的半径，此时、坐标分别为、 （3分） （2）设点坐标为，圆半径为，则，、的坐标分别为， ， ， ， ， ．（8分） （3）假设存在点，由，，得 ， 欲使的大小与无关，则当且仅当，即， 此时有，即得为定值， 故存在或，使为定值．（13分） 【点评】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据已知中圆，圆的圆心在轴上且与圆外切，圆与轴交于、两点，确定圆的方程，进而求出，的方程是解答本题的关键． 一．填空题（共8小题） 1．（2022•上海）若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为 　4　． 【分析】根据题意，分析可得直线和平行，由此求出的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，若关于，的方程组有无穷多解， 则直线和重合，则有，即，解可得， 当时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意， 当时，两直线平行，方程组无解，不符合题意， 故． 故答案为：4 【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题． 2．（2024•上海）直线的倾斜角大小为 　　． 【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小． 【解答】解：由直线变形得：， 设直线的倾斜角为，即， 因为，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题． 3．（2021•上海）直线与直线的夹角为 　　． 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【解答】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 4．（2020•上海）已知直线，，若，则与的距离为 　　． 【分析】由求得的值，再根据两平行线间的距离计算即可． 【解答】解：直线，， 当时，，解得； 当时与重合，不满足题意； 当时，此时，； 则与的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题． 5．（2021•上海）若，求圆心坐标为 　　． 【分析】将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可． 【解答】解：由，可得圆的标准方程为， 所以圆心坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题． 6．（2023•上海）已知圆的一般方程为，则圆的半径为 　1　． 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径． 【解答】解：根据圆的一般方程为，可得圆的标准方程为， 故圆的圆心为，半径为1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题． 7．（2023•上海）已知圆的面积为，则　　． 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可． 【解答】解：圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为1， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题． 8．（2024•上海）正方形草地边长1.2，到，距离为0.2，到，距离为0.4，有个圆形通道经过，，且与只有一个交点，求圆形通道的周长 　2.73　．（精确到 【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，从而得出结论． 【解答】解：以为原点，线段所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 易知，． 不妨设中点为直线中垂线所在直线方程为， 化简得． 所以可设圆心为，半径为，且经过，点， 即， 化简得，求得． 结合题意可得，． 故有圆的周长． 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，圆的标准方程，属于中档题． 二．选择题（共1小题） 9．（2022•上海）设集合，， ①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧； ②存在直线，使得集合中存在无数点在上；　　 A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 【分析】分，，，求出动点的轨迹，即可判定． 【解答】解：当时，集合，，， 当时，集合，，， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心在直线上，半径单调递增， 相邻两个圆的圆心距，相邻两个圆的半径之和为， 因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离， 当时，同的情况，故存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧，故①正确， 若直线斜率不存在，显然不成立， 设直线，若考虑直线与圆的焦点个数， ，， 给定，，当足够大时，均有， 故直线只与有限个圆相交，②错误． 故选：． 【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题． 三．解答题（共1小题） 10．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分． （1）若，求的值； （2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求； （3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围． 【分析】（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得； （2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角； （3）设直线，求得到直线的距离，判断直线与圆的关系：相切，可设切点为，考虑双曲线的渐近线方程，只有当时，直线才能与曲线有两个交点，解不等式可得的范围，由向量投影的定义求得，进而得到所求范围． 【解答】解：（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，； （2）由题意可得，为曲线的两个焦点， 由双曲线的定义可得，又，， 所以，因为，则， 所以， 在△中，由余弦定理可得 ， 由，可得； （3）设直线，可得原点到直线的距离， 所以直线是圆的切线，设切点为， 所以，并设与圆联立，可得， 可得，，即， 注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点， 由，可得， 所以有，解得或（舍去）， 因为为在上的投影可得，， 所以， 则，． 【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$