精品解析：2024年湖北省 武汉市 江岸区武汉市七一华源中学中考一模数学试题

2023—2024学年度下学期四月归纳小结九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A 2024 B. C. D. 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（　　） A. 两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B. 两枚骰子向上一面点数之和等于1 C. 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D. 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 4. 在下面的四个几何体中，主视图和左视图不一定相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一款折叠LED护眼灯示意图，是底座，，分别是长臂和短臂，点在上，若，，则长臂和短臂的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类. 现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，与相切于点B，连接OA交于点C，弦，连接．若，的半径是9，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当春时节，“好汉归来”．2024年3月24日武汉马拉松在汉口江滩开跑，来自国内外约31000名选手奔跑在武汉最美赛道上，尽情感受“英雄城市”的独特魅力．31000用科学记数法表示为____________． 12. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的k的值____________． 13. 方程的解是______． 14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为____________m（结果保留整数）．（参考数据：，，） 15. 已知关于x的函数，有下列结论： ①当时，y随x增大而减小； ②函数的图象是轴对称图形； ③点，是函数的图象上不同的两点，则； ④函数的最小值为． 其中正确的结论是____________．（填写序号） 16. 如图，在中，分别在上，连接交于点．若，则的值是__________． 三、解答题：（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求不等式组的整数解． 18. 已知，如图，，． （1）求证：． （2）若是的中点，．直接写出的值． 19. 某校举行知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 1 8 2 a 3 b 4 10 （1）此次调查的样本容量为____________； （2）这组数据中位数在第____________组； （3）第3组所在扇形的圆心角是____________； （4）若学生竞赛成绩达到90分以上（含90分）获奖，请你估计全校1500名学生中获奖的人数． 20. 如图，是的直径，点A和点D是上的两点，延长到点C，连接，，，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，三点是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再在上画点，使； （2）在图2中，在上画点，使； （3）图3中，在上画点，使． 22. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 23. （1）【发现】如图1所示，在正方形中，E边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．求证：； （2）【探究】如图2，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，若，求的长； （3）【拓展】如图3，在菱形中，，，E为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交直线于点P，直接写出的长为____________． 24. 如图，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，． （1）直接写出抛物线的解析式____________________________________； （2）若抛物线的顶点为D，连接，，点P在第四象限的抛物线上，与相交于点Q，若，求出点P的坐标； （3）如图2，x轴上方的抛物线上存在两个动点M、N，（M在N左侧），连，作轴于点E，过点E作的平行线交直线于点F，请你探究点F的运动轨迹，并求出相应的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期四月归纳小结九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3. 投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（　　） A. 两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B. 两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C. 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D. 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 【答案】D 【解析】 【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可． 【详解】A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误； B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误； C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误； D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了随机事件的判断，关键是掌握随机事件，确定性事件的定义． 4. 在下面的四个几何体中，主视图和左视图不一定相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图分别找出每个立体图形的左视图和主视图即可得到答案． 【详解】解：A、球体主视图和左视图都是相同的圆，故此选项不合题意； B、圆锥主视图和左视图都是相同的三角形，故此选项不合题意； C、三棱柱主视图和左视图都是长方形，但宽不同，故此选项符合题意； D、圆柱的主视图和左视图都是相同的长方形，故此选项不合题意； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简分别进行判断即可． 详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 如图是一款折叠LED护眼灯示意图，是底座，，分别是长臂和短臂，点在上，若，，则长臂和短臂的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 7. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类. 现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，画出树状图，根据概率公式，即可求解. 【详解】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b， ∵将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶一共有12种可能，投放正确的只有一种可能， ∴投放正确的概率是：. 故选C. 【点睛】本题主要考查画树状图求简单事件的概率，根据题意，画出树状图，是解题的关键. 8. 已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的化简，先解方程可得，，再由，从而可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 9. 如图，与相切于点B，连接OA交于点C，弦，连接．若，的半径是9，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理及弧长公式，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先根据切线的性质得出，再根据平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，继而根据弧长公式求解即可． 【详解】连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径是9， ∴， 故选：B． 10. 定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．根据“滋生函数”的定义可得，从而可得关于，的二元一次方程组，求出，的值，进而求解． 【详解】解：的“滋生函数”是， ，即， 解得， 是关于的方程的根， ，即， ． 故选：A． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当春时节，“好汉归来”．2024年3月24日武汉马拉松在汉口江滩开跑，来自国内外约31000名选手奔跑在武汉最美赛道上，尽情感受“英雄城市”的独特魅力．31000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数． 【详解】解：31000用科学记数法表示为：， 故答案为：． 12. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的k的值____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大是解答此题的关键．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可． 【详解】解：反比例函数，当时，随着的增大而增大， ∴， ， 可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程解得到x的值，然后检验得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为１，得， 检验：当时，， ∴原方程的根是， 故答案是． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，解方式方程要注意检验． 14. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为____________m（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，则m，，，在中，，设m，则m，m，，在中，，解得，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，设m， 根据题意可得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为7m， ∴m，，， 在中，， ∴， ∴， ∴m， ∴m， ∴m， 在中，， ∴， 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 15. 已知关于x的函数，有下列结论： ①当时，y随x增大而减小； ②函数的图象是轴对称图形； ③点，是函数的图象上不同的两点，则； ④函数的最小值为． 其中正确的结论是____________．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先把函数化为，再结合函数图象逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴其图象如下： ∴当时，y随x增大而减小；故①符合题意； 函数的图象不是轴对称图形；故②不符合题意； 点，是函数的图象上不同的两点，当时， 而抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时， ∴即， 解得：， 当即， 解得：， ∴ ∴；故③符合题意； 当时，函数最小值为， ∴函数的最小值为，故④符合题意； 故答案为：①③④ 16. 如图，在中，分别在上，连接交于点．若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DH∥AC，且DH=CE，连接EH、HB，则四边形HECD是平行四边形，由题意易得△BDH∽△EAB，由相似的性质及直角三角形的性质可得∠HBE=90°，然后根据可求解． 【详解】解：过点D作DH∥AC，且DH=CE，连接EH、HB，则四边形HECD是平行四边形，如图所示： ∠HAD=∠A=∠BDH=90°，∠EFC=∠FEH， ， ， △BDH∽△EAB， ∠HBD=∠BEA， 又∠AEB+∠ABE=90°， ∠HBD +∠ABE=90°， ， ，即； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形，关键是根据题意得到三角形的相似，然后利用相似三角形的性质及三角函数进行求解即可． 三、解答题：（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求不等式组的整数解． 【答案】、0、1 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解．分别解出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，进而即可得出其整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为、0、1． 18. 已知，如图，，． （1）求证：． （2）若是的中点，．直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】（1）根据题意可证，可得，由可知，进而证得； （2）由（1）知，，，可知四边形是平行四边形，则，进而可得，，得其相似比为，可得． 【小问1详解】 证明：， ， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，，， ∴四边形是平行四边形，则， 又∵是的中点， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则其相似比为：， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 19. 某校举行知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 1 8 2 a 3 b 4 10 （1）此次调查的样本容量为____________； （2）这组数据的中位数在第____________组； （3）第3组所在扇形的圆心角是____________； （4）若学生竞赛成绩达到90分以上（含90分）获奖，请你估计全校1500名学生中获奖的人数． 【答案】（1） （2）3 （3） （4）估计全校1500名学生中获奖的人数有人． 【解析】 【分析】本题考查的是从统计表与扇形图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键； （1）由第1小组的频数除以其频率可得样本容量； （2）先求解，的值，再判断第25个，第26个数据落在第3组，即可得到答案； （3）由乘以第3组的占比即可得到答案； （4）由总人数乘以第4组的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴此次调查的样本容量为； 【小问2详解】 ∵（人），（人）， ∴第25个，第26个数据落在第3组， ∴中位数在第3组； 【小问3详解】 第3组所在扇形的圆心角是； 【小问4详解】 ∵（人）， ∴估计全校1500名学生中获奖的人数有人． 20. 如图，是的直径，点A和点D是上的两点，延长到点C，连接，，，且． （1）求证：为的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，求扇形中不规则图形的阴影部分面积；掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，能将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键． （1）连接，由圆的基本性质得，结合等腰三角形的性质得，由直径所对的圆周角是直角得，即可求解； （2）由勾股定理得，由即可求解； 小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 为的切线； 【小问2详解】 ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，三点是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再在上画点，使； （2）在图2中，在上画点，使； （3）在图3中，在上画点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质画出线段即可，取点，连接，延长交与点，点即为所求； （2）取点，构造等腰直角三角形，找到格点，则，连接交于点，点即为所求； （3）在（2）的基础上作出的角平分线，交于点，进而作出关于的中点的对称点（四边形是平行四边形，则，进而得出），连接交于点，点，即为所求． 【小问1详解】 如图，线段，点即为所求： 【小问2详解】 如图，点即为所求： 【小问3详解】 如图，点即为所求： 【点睛】本题考查作图，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，平移变换，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，中心对称，全等三角形等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【答案】（1）yx2+2x（0≤x≤16）；（2）能，理由见解析；（3）AB、AD、DC的长度之和的最大值是20． 【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y=a(x﹣8)2+8，将点O（0，0）代入上式，即可求解； （2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5﹣3.5=4，即可求解； （3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD=2m，则AB=y(x﹣8)2+8=8m2，w=AB+AD+DC=2m+2ABm2+2m+16，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意知：抛物线的顶点坐标为（8，8）， 则其表达式为：y=a(x﹣8)2+8， 将点O（0，0）代入上式得：0=64a+8，解得：a， 故函数的表达式为：y(x﹣8)2+8，即yx2+2x（0≤x≤16）； （2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米， 车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5﹣3.5=4， 当x=4时，y=6，即允许的最大高度为6米， 5.8＜6，故该车辆能通行； （3）设点B（m，0），则点A（m，m2+2m）， 由抛物线的表达式知，其对称轴为x=8，则BC=2（8﹣m）=16﹣2m=AD， 则ABm2+2m， 则设：w=AB+AD+DC=2m+2ABm2+2m+16， ∵0，故w有最大值， 当m=4时，w的最大值为20， 故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 23. （1）【发现】如图1所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．求证：； （2）【探究】如图2，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，若，求的长； （3）【拓展】如图3，在菱形中，，，E为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交直线于点P，直接写出的长为____________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）先证明，，结合公共边从而可得结论； （2）延长，交于，如图：设，则，由，可得，证明，求出、，再证明，利用相似三角形的性质可得答案； （3）分两种情况讨论：当时，延长交于，过作于，如图：设，，则，证明，可得，再根据等面积法证明，即①，由，可得②，联立①②可解得，可得答案；当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：设，，则，同理同理可得：，即，由得：，可解得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：将沿翻折到处，四边形是正方形， ，， ， ，， ； （2）解：延长，交于，如图： 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ，即， 解得，， ，， ， ，即， 解得， 由翻折知：； （3）（Ⅰ）当时，如图：延长交于，延长交于，过作于， 设，，则， ， ， ， ， 沿翻折得到， ，，， 是的角平分线， ∴E到，的距离相等，设这个距离为， ∴， ，即①， ， ，，， 在中，， ②， 联立①②可解得，（不符合题意的根舍去） ； （Ⅱ）当时，如图：延长交延长线于，过作交延长线于， ∴ 设，，则， 同理， 同理可得：，即， 由得：， 可解得，（不符合题意的根舍去） 同理可得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形，菱形，正方形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 24. 如图，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，． （1）直接写出抛物线的解析式____________________________________； （2）若抛物线的顶点为D，连接，，点P在第四象限的抛物线上，与相交于点Q，若，求出点P的坐标； （3）如图2，x轴上方的抛物线上存在两个动点M、N，（M在N左侧），连，作轴于点E，过点E作的平行线交直线于点F，请你探究点F的运动轨迹，并求出相应的函数解析式． 【答案】（1） （2） （3）的运动轨迹是一条直线，为． 【解析】 【分析】（1）先求解，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）求解，，而，连接，证明，可得，过作轴，交轴于，可得，过作轴交过与轴平行的直线于，可得，再进一步解答即可； （3）如图，设直线为，，，可得，，求解直线为，结合，求解直线为：，联立，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， 当时， 解得：，， ∴，而， ∴， ∴， 连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过作轴，交轴于， ∴， ∵， ∴， 过作轴交过与轴平行的直线于， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），， ∴； 【小问3详解】 如图， 设直线为，，， ∴， ∴， ∴，， 设的解析式为， ， 解得：， ∴直线为， ∵轴， ∴， ∵， ∴设直线为， ∴， ∴直线为：， ∴， 解得： ， ∵， ∴ ， ∴的运动轨迹是一条直线，为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，锐角三角函数的应用，平行直线的解析式，一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$