精品解析：陕西省渭南市富平县蓝光中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

蓝光中学2023-2024学年高一下学期5月其中考试 数学 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，与的夹角是，则等于（　　） A. B. C. D. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A. B. C. D. 5. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角.当小车向前运动10m时，则力F做的功为 A. 100J B. 50J C. D. 200J 6. 在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是 A. 8 B. C. D. 7. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 8. 已知函数 为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长 为2的等边三角形，则的值为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，是相反向量，则 B. 若，是共线的单位向量，则 C. 若，则向量，共线 D. 若，则点，，，必在同一条直线上 10. 下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 12. 已知函数，下列结论正确的有 A. 函数是奇函数； B. 函数是周期函数，且周期为2； C. 函数的最小值为-2； D. 函数的图象关于直线对称. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上． 13. 函数的最大值为________． 14. 已知与是两个单位向量，且向量与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为________． 15. 若三点，，，（）共线，则的值等于___________. 16. 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）求的振幅、最小正周期及单调递增区间； （2）求的图象的对称轴方程和对称中心； （3）求的最小值及取得最小值时x的取值集合． 18. 已知向量满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 19. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 20. 如图所示，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40m的C、D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求AB的距离． 21. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 22. 已知函数的一系列对应值如表： x 1 3 1 1 3 （1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓝光中学2023-2024学年高一下学期5月其中考试 数学 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解. 【详解】函数、的最小正周期为，AC不是； 函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是. 故选：B 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知，，与的夹角是，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得. 故选：B. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性可比较，再利用与1的大小关系即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以， 又， 故有， 故选：D. 5. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角.当小车向前运动10m时，则力F做的功为 A. 100J B. 50J C. D. 200J 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据向量的数量积的定义，即可求解力作的功，得到答案． 【详解】由题意，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角，且小车向前运动10m时，此时根据向量的数量积的定义， 可得则力F做的功为，故选B． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积在物理学中的应用，其中解答中熟练向量的数量积的定义和数量积的含义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6. 在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是 A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在△ABC中，由余弦定理得，所以．选D． 7. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】， 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 8. 已知函数 为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长 为2的等边三角形，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数，利用奇函数的性质可得f（0）=Acosφ=0结合已知0＜φ＜π，可求 φ= 再由△EFG是边长为2的等边三角形，可得yE==A，结合图象可得，函数的周期 T=4，根据周期公式可得，ω，从而可得f（x），代入可求f（1）． 解：∵f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数 ∴f（0）=Acosφ=0 ∵0＜φ＜π∴φ=π/2 ∴f（x）=Acos（ωx+）=-Asinωx ∵△EFG是边长为2的等边三角形，则yE==A 又∵函数的周期 T=2FG=4，根据周期公式可得， 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，是相反向量，则 B. 若，是共线的单位向量，则 C. 若，则向量，共线 D. 若，则点，，，必在同一条直线上 【答案】AC 【解析】 【分析】利用相反向量、共线向量的概念分析判断各选项得解. 【详解】对于A，若，是相反向量，则，A正确； 对于B，，是共线的单位向量，则或，B错误； 对于C，，即，则向量，共线，C正确 对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误. 故选：AC 10. 下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD. 【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确． 故选：CD． 11. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理， 得a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴4＝b2＋12－6b， 即b2－6b＋8＝0， ∴b＝2或b＝4. 故选：AC. 12. 已知函数，下列结论正确的有 A. 函数是奇函数； B. 函数是周期函数，且周期为2； C. 函数的最小值为-2； D. 函数的图象关于直线对称. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】解：对于，因为， 所以不是奇函数，故选项错误； 对于，，故是周期函数，2为的一个周期，故选项正确； 对于，， 故，故选项正确； 对于，因为 所以， 所以函数的图象关于直线对称. 故选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查三角函数的周期、最值、对称轴、奇偶性，属于中档题. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上． 13. 函数的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数的单调性求得值域，即可求得最大值. 【详解】因为在上单调递增， 所以， 所以的值域为， 所以最大值为. 故答案为：. 14. 已知与是两个单位向量，且向量与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】向量在向量上投影向量为， 故答案为： 15. 若三点，，，（）共线，则的值等于___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得，进而可求目标式的值. 【详解】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知. 由得：，即，又， ∴. 故答案为： 16. 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米． 【答案】 ①. ## ②. 15 【解析】 【分析】利用图形中的角度关系结合余弦定理即可. 【详解】解析由题意，得 又 在中，由余弦定理的推论得， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：；15. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）求的振幅、最小正周期及单调递增区间； （2）求的图象的对称轴方程和对称中心； （3）求的最小值及取得最小值时x的取值集合． 【答案】（1）振幅为，，单调增区间为； （2）对称轴方程为，对称中心为； （3）最小值为，取值集合为. 【解析】 【分析】（1）根据振幅定义即可得到其振幅，再根据最小正周期公式代入计算即可得其最小正周期，再利用正弦函数单调性即可求得其单调增区间； （2）利用整体代换法可分别求得其对称轴方程和对称中心； （3）根据题意可知当时，取得最小值，解出对应的的取值集合即可. 【小问1详解】 由周期公式可得函数的最小正周期， 其振幅为， 令， 解得 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 令，则， 所以函数图象的对称轴方程为, 令，则， 所以函数图象的对称中心为. 【小问3详解】 令，得， 所以当时，取得最小值，最小值为， 此时的取值集合是. 18. 已知向量满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律及向量垂直的充要条件即可求解； （2）先数量积知识求出，的值，然后利用数量积的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即，解得，若， 则， 即，即，解得. 【小问2详解】 因为， 又， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 19. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）正三角形． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，及，得， 所以. 【小问3详解】 由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 20. 如图所示，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40m的C、D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求AB的距离． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，在△CDB中由正弦定理求得CB，在△ADC中由正弦定理求得AC，最后△ABC中由余弦定理求得AB． 【详解】在△CDB中，∵∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，∴∠CBD＝45° 由正弦定理得：，∴CB＝40． 同理，在△ADC中，可得，∠CAD＝45° 由正弦定理得：，∴AC＝20. 在△ABC中，由余弦定理得：AB＝＝20， 即A、B两点间的距离为20m． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在实际中的应用，属于中档题． 21. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 【答案】（1） （2）选择①②，答案均为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积； 选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积. 【小问1详解】 由正弦定理知，， ∵， 代入上式得， ∵，∴，， ∵，∴． 【小问2详解】 若选①：由平分得，， ∴，即． 在中，由余弦定理得， 又，∴， 联立得， 解得，（舍去）， ∴． 若选②：因为， 所以， 即，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， ∴． 22. 已知函数的一系列对应值如表： x 1 3 1 1 3 （1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据表格提供数据分别求得的值，从而求得解析式. （2）先利用周期公式求k的值，利用换元法，结合三角函数的图象求得m的取值范围. 【小问1详解】 由表格知，函数的最小正周期，， 由，解得， 由，得，， 则当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，则，即， 于是， 令，由，得， 依题意，，即在上恰有两个不同的解， 即函数在上的图象与直线有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象， 观察图象，当，即时，直线函数在上的图象有两个交点， 所以实数m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $