精品解析：河南省三门峡市渑池县第二高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

渑池二高2023-2024学年下学期第三次月考 高一数学 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分．答案写在答题卡，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ）． A. 若都是单位向量，则 B. 向量与是两平行向量 C. 若，则四点构成平行四边形 D. 两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同 3. 设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（     ） A. B. C. D. 5. 已知△的内角的对边分别为，且，若内角的平分线交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 8. 三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为（     ） A. B. C. 2 D. 1 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则 C. 若是与共线的单位向量，则 D. 当取得最大值时， 10. 如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积是1 B. 直三棱柱的外接球表面积是 C. 三棱锥的体积与点的位置有关 D. 的最小值为 11. 设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则满足条件的三角形只有1个 B. 面积的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题 12. 如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________． 13. 如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为___________. 14. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____． 四、解答题 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求与． 16. 如图，在中，点在边上，，，. （1）求； （2）若的面积是，求. 17. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 18. 如图，在三棱锥中，，底面ABC. （1）求证：平面平面； （2）若，，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值. 19. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）若为的中点，求证：平面； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渑池二高2023-2024学年下学期第三次月考 高一数学 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分．答案写在答题卡，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 2. 下列命题正确的是（ ）． A. 若都是单位向量，则 B. 向量与是两平行向量 C. 若，则四点构成平行四边形 D. 两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的概念、共线向量的性质、向量相等的充要条件逐项判断即可. 【详解】对A，若都是单位向量，则，但是的方向不确定，故A不正确； 对B，因为，故向量，故B正确； 对C，若，则四点构成平行四边形，或四点共线，故C不正确； 对D，两向量相等的充要条件是它们的大小和方向相同，与向量的起点与终点位置无关，故D不正确. 故选：B. 3. 设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线定理求解． 【详解】由已知， 又三点共线，则共线，而不共线，， 所以，即， 故选：A． 4. 如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得可判断A；取的中点，可得，即四点共面，同理即四点共面可判断B；利用可判断C；利用点面关系可判断D， 【详解】对于A，如图，是的中点， 连接，连接， 因为，所以，所以共面； 对于B，如图，因为是的中点， 取的中点，连接， 可得，所以，即四点共面， 因为，所以，即四点共面， 因为过的平面有且只有1个， 所以四点共面； 对于C，如图，三棱锥中连接， 因为是的中点， 则，，所以，即四点共面； 对于D，如图，连接， 平面，即四点不共面. 故选：D. 5. 已知△的内角的对边分别为，且，若内角的平分线交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，结合已知条件求得，再根据等面积法，结合三角形面积公式，即可求得. 【详解】因为，即，又，故可得； 由可得， 即，解得. 故选：C. 6. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，取的中点，连接，由二面角的定义可得为侧面与底面所成的二面角的平面角，然后代入计算，即可求解. 【详解】取的中点，连接， 因为为正四棱锥，为底面正方形的中心，所以底面， 平面，所以，， 又底面为正方形，为中点， 所以，且，平面， 所以平面，又平面，所以， 则为侧面与底面所成的二面角的平面角， 又，， 所以，且为锐角， 所以，即侧面与底面所成的二面角为. 故选：D 7. 若，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】（法一）设与夹角为．因为，对其两边同时平方结合三角函数的性质即可得出答案；（法二）因为，如图设，，由知点B在以A为圆心1为半径的圆上，结合图形即可得出答案. 【详解】（法一）设与夹角为．因为， 得 ， 当时，最大值9，的最大值3，故选：A． （法二）因为，如图设，， 由知点B在以A为圆心1为半径的圆上， 当点B与O、A在一条直线，位于图中位置时，的最大值3. 故选：A. 8. 三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为（     ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】通过课本三棱锥的体积公式的推导，不妨为侧棱上的点为端点，三棱柱即可由一个三棱锥一个四棱锥组成，可得四棱锥的体积，得到选项． 【详解】因为ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1 所以，P－ACC1A1的体积与B－ACC1A1的体积相等， 三棱柱由一个三棱锥B－B1C1A1与一个四棱锥B－ACC1A1组成， 其中三棱锥B－B1C1A1的体积是三棱柱的， 所以四棱锥B－ACC1A1的体积是三棱柱体积的. 因为三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1， 所以四棱锥P－ACC1A1的体积为. 故选：B. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则 C. 若是与共线的单位向量，则 D. 当取得最大值时， 【答案】AD 【解析】 【分析】设，，利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量的数量积运算法则转化为，可判定B；根据与共线的单位向量有两个相反的方向，可以否定C；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的乘积，转化为求何时向量在向量上的投影最大，利用向量共线且方向相同的坐标表示即可判定D. 【详解】∵，∴是单位向量，设，，则，当，方向相反，即时取等号，∴的最大值为，故A正确； 等价于即，即，∴，故B错误； 与共线的单位向量为，故Ｃ错误； 最大，当且仅当向量在向量上的投影最大，即向量与同向，亦即，此时，故D正确. 故选：AD 10. 如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积是1 B. 直三棱柱的外接球表面积是 C. 三棱锥的体积与点的位置有关 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由柱体体积公式计算直三棱柱的体积验证选项A；由直三棱柱的结构特征求外接球半径和表面积验证选项B；判断三棱锥的底面积和高的特征验证选项C；把侧面和侧面展开在一个平面上求的最小值验证选项D. 【详解】直三棱柱中，，，，如图所示， 直三棱柱的体积为，故A选项正确； 直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，外接球的半径为，外接球表面积是，故B选项正确； O是与的交点，则的面积为定值，由平面，到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误； 把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确. 故选：ABD 11. 设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则满足条件的三角形只有1个 B. 面积的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据即可判断A；根据余弦定理结合基本不等式即可判断BC；利用正弦定理化边为角，再结合三角函数的性质即可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以满足条件的三角形有2个，故A错误； 对于B，由余弦定理得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为，故B正确； 对于C，由余弦定理得， 即，所以， 当且仅当时取等号， 所以的周长， 所以周长的最大值为，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以，， 即，，所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12. 如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据中点，得到∥，∥，然后根据平行得到为异面直线与所成角或其补角，最后求角即可. 【详解】 如图，连接，，， 因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为异面直线与所成角或其补角， 因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以. 故答案为：. 13. 如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为___________. 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：为的中点，，，，，. 考点：平面向量的基底表示 14. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设的边长为，根据，得.设的外接的半径为，由正弦定理得，根据勾股定理求球心到平面的距离为2，从而得点到平面的最大距离为，结合三棱锥体积的公式计算的结果. 【详解】设的边长为，则，所以. 设的外接的半径为，则，得， 则球心到平面的距离为， 所以点到平面的最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求与． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律展开已知条件，将，代入求解可得； （2）利用向量平方等于模的平方，转化为数量积求解即可. 【小问1详解】 由，得， 即，求得， 再由，可得． 【小问2详解】 ； ． 16. 如图，在中，点在边上，，，. （1）求； （2）若的面积是，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，在中，使用余弦定理得可求，可得是等边三角形，进而可求； （2）由（1）可求，结合三角形的面积公式可求，在中，利用余弦定理可求. 【小问1详解】 解：在中，因为，， 由余弦定理得， 即， 整理得，解得． 因为，所以， 所以是等边三角形，所以. 【小问2详解】 解：因为，所以． 因为的面积是， 所以，所以， 在中，， 所以. 17. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出即可. （2）利用边角转化求出角，进而由正弦定理求出，最后求出三角形面积. 【小问1详解】 在中，由，则， 由余弦定理知：， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以，即， 由正弦定理， 由，所以，， 由，，解得：或， 即或， 当时，， 在中，由正弦定理，所以， 所以； 当时，三角形为等边三角形，， . 综上：当时，；当时，. 18. 如图，在三棱锥中，，底面ABC. （1）求证：平面平面； （2）若，，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值. 【答案】（1） 在三棱锥中， 因为底面ABC，平面，所以， 又因为，即， 因为平面，所以平面， 因为平面PBC，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直推出线线垂直，证明平面，利用线面垂直推得面面垂直即得； （2）在平面PAC内，过点A作于点,利用（1）平面证得平面，得是直线AM与平面PBC所成的角，利用平面几何知识即可求得其正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在平面PAC内，过点A作于点，连接DM， 因为BC⊥平面PAC，平面PAC，所以AD⊥BC， 因为AD⊥PC，平面，所以平面， 故是直线AM与平面PBC所成的角. 因为平面，平面，所以， 在中，因为，所以, 因为，所以D为PC的中点，且， 又因为M是PB的中点，在中，， 因为平面，平面PBC，所以， 在中，， 即AM与平面PBC所成角的正切值为. 19. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）若为的中点，求证：平面； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1） （2） 如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点， 当M为SA的中点时，， 又平面平面， 所以平面； （3） 在侧棱上存在点E，使得平面，满足. 理由如下： 取的中点Q，由，得， 过Q作的平行线交于E，连接，， 中，有，又平面，平面， 所以平面，由，得. 又，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的结构求出侧面的高，即可求解正四棱锥的表面积； （2）如图，连接交于点O，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （3）取的中点Q，过Q作的平行线交于E，得，，根据线面平行的判定定理可得平面、平面，结合面面平行的判定定理与性质即可下结论. 【小问1详解】 在正四棱锥中，， 则正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的表面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $