精品解析：湖南省邵阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年湖南省邵阳市高二（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合中元素具体的范围，再求. 【详解】，则， 故选：C 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，从而求得. 【详解】，所以， 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式求得，再用诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间点线面的位置关系判断各项； 【详解】对于A，若，则或，A错误； 对于B，若，则或，相交或异面，B错误； 对于C，因为，所以又因为，所以，C正确； 对于D，若，则或两平面相交，D错误； 故选：C. 5. 某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（ ） A. 21 B. 35 C. 70 D. 126 【答案】A 【解析】 【分析】先将保留的盏灯排成一排，进而在盏灯形成的个空位中的个空中插入盏灯（即为关掉的灯），不需考虑灯的差异，故利用组合数计算可得. 【详解】因为两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，即先将保留的盏灯排成一排， 进而在盏灯形成的个空位中的个空中插入盏灯（即为关掉的灯）， 所以共有（种）不同的关灯方式． 故选：A． 6. 已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据公差不为0的等差数列满足，结合等差数列的下标和定理得出，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1， 故选：B． 7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【详解】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 8. 已知为坐标原点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，得出点的轨迹方程为0.集合，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离，计算得出结果. 【详解】设， 点的轨迹方程为0. 又由，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离， . 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的展开式的第4项的系数是280 B. 对于随机变量，若，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 一组数据的第60百分位数为14.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用二项式的通项公式计算即得；对于B，利用随机变量数学期望的性质即得；对于C，利用正态分布曲线的对称性计算可得；对于D，利用百分位数的定义计算即得. 【详解】对于A，的展开式的第4项为，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因，， 由可知， 由正态曲线对称性，， 故，故C错误； 对于D，由，这组数据的第60百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若，则 C. 直线的斜率与直线的斜率之积等于 D. 符合条件的点有且仅有2个 【答案】AC 【解析】 【分析】根据得到与的关系从而求得离心率，通过解直角三角形判断B选项，通过设点的坐标，表示出两条直线的斜率判断C选项，结合圆上的点的特点，判断D选项. 【详解】A选项，，，因为即， 解得，所以离心率，故A正确； B选项，若，连接， 在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以， 所以，又由，解得， 所以，故B错误； C选项，设，， 则，，， 又因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 从而，所以，故C正确； D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为， 又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故D错误. 故选：AC. 11. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（ ） A. 点的轨迹关于轴对称 B. 点的轨迹关于原点对称 C. 若且，则恒成立 D. 若且，则恒成立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意推理得到点的轨迹方程，作出其图象，可判断A错误；对于B，利用函数的奇偶性定义即可判断；对于C，利用作差法易得结论成立；对于D，构造函数，通过取值判断即得在且时不能恒大于0即得. 【详解】因直线的斜率存在，故. 由可得，，整理可得， 因，故得，即点的轨迹方程为：. 如上作出函数的图象，由图易得A错误； 对于B，由，可得， 即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确； 对于D，当且时，设， 因，， 故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题关键在于，求出动点满足的轨迹方程，再运用函数的奇偶性定义，通过作差比较法判定图象上相关点的范围即可. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的占，乙厂生产的次品率为，从中任取一件产品是次品的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用全概率公式，即可求解. 【详解】设为甲，乙两厂生产的产品，表示取得次品， ，，，， 所以， . 所以任取1件产品概率为. 故答案为： 13. 已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由图象依次求解的值，由，代入解析式求，在中，设三边，由已知对边角，利用余弦定理与重要不等式求最大值，从而得面积的最大值. 【详解】由图象可得，解得， 所以，由， 由图， 即， 由，得. 故， 在中，， ，即， 设角的对边为，由， 则， ，当且仅当时等号成立. ， 所以面积最大值为. 故答案为：. 14. 祖暅在数学上做出了突出贡献，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，由曲线，，共同围成的图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为V，则______． 【答案】 【解析】 【分析】构造一个底面圆半径为，高为的圆柱，通过计算可得高相等时，截面面积相等，根据祖暅原理可得体积. 【详解】令，分别代入和中， 解得：，． 记点，绕y轴旋转一周得到的圆的半径分别为R，r． 则，，此圆环的面积，恒为定值． 根据祖暅原理该几何体的体积与底面圆半径为，高为6的圆柱的体积相等，所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“祖暅原理”，计算等高时的截面面积，并构造圆柱，解决体积问题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，E是边BC的中点，且，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，再结合余弦定理分析求解； （2）利用面积关系分析可得，利用余弦定理可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若，则， 因，则，可得， 中，由余弦定理得， 即，解得， 在中，由勾股定理得． 16. 如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， （1）求证：EF⊥平面PBC； （2）若，，二面角的正弦值为，求BC． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明平面，再证明，即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为平面ABC，平面。所以， 因为是的直径，知， 因为，且平面，所以平面， 由分别是的中点，所以，所以平面． 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，且， 所以，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 则，即，∴， 取，得，，则， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得：，即， 所以，即. 17. 已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 （1）求的方程； （2）若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程； (2)设出直线方程，代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等式解得的值，检验即得 【小问1详解】 因为动点到直线的距离比它到定点 所以动点到直线的距离等于它到定点 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故Γ的方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 此时，由韦达定理得，， 又因，所以，则， 代入，得， 解之得 当时，直线l的方程为；与只有一个交点所以不符合 当时，直线l的方程． 故直线l的方程为． 18. 已知函数，其中. （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，令函数，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，并计算，由点斜式写出直线方程； （2）利用导数分类讨论函数单调性； （3），利用导数研究函数的最小值即可得证. 【小问1详解】 ， . 切线方程为：，即. 【小问2详解】 由题意得函数的定义域为， ， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，时，在上单调递减. 时，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，， . 令，则 构建函数. 当时，函数单调递增. 当时，函数单调递增. 在内有唯一零点. 当函数单调递减. 当函数单调递增. 当时，函数取最小值. . . 构造函数. 令. 当时，函数单调递增. 当时，函数单调递增. . 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：，后项与前项的差值：，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列为“二阶等差数列”. （1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； （2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； （3）若“三阶等差数列”的前4项依次为，其前项和为，求. 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知定义及等差数列的定义即可判断；（2）由已知定义及等差数列的通项公式，求和公式即可求解；（3）结合已知递推关系及等差数列的求和公式先求出，然后结合组合数公式即可求解. 【小问1详解】 ， 是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”. 【小问2详解】 由题意是“一阶等差数列”，又首项为1，公差为3. 满足上式，. “二阶等差数列”的通项公式为. 【小问3详解】 是“三阶等差数列”，是“二阶等差数列”， 设是“一阶等差数列”. 由题意得， ， . 满足上式，. . 满足上式，. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年湖南省邵阳市高二（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数（虚数单位），则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 100 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（ ） A. 21 B. 35 C. 70 D. 126 6. 已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，，则的最小值为（ ） A 1 B. C. D. 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的展开式的第4项的系数是280 B. 对于随机变量，若，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 一组数据的第60百分位数为14.5 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若，则 C. 直线斜率与直线的斜率之积等于 D. 符合条件的点有且仅有2个 11. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（ ） A. 点的轨迹关于轴对称 B. 点的轨迹关于原点对称 C. 若且，则恒成立 D. 若且，则恒成立 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的占，乙厂生产的次品率为，从中任取一件产品是次品的概率是______． 13. 已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为__________. 14. 祖暅在数学上做出了突出贡献，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，由曲线，，共同围成的图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为V，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，E是边BC的中点，且，求 16. 如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， （1）求证：EF⊥平面PBC； （2）若，，二面角的正弦值为，求BC． 17. 已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 （1）求的方程； （2）若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 18. 已知函数，其中. （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，令函数，证明：. 19. 我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：，后项与前项的差值：，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列为“二阶等差数列”. （1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； （2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； （3）若“三阶等差数列”的前4项依次为，其前项和为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$