精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆实验中学2023-2024学年高一下学期7月期中考试数学试题

新疆实验中学2023-2024学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的. 1. 已知复数 在复平面内对应的向量为， 为坐标原点，则为（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 平面内顺次连接，，，，所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 3. 如图，是 的斜二测直观图，其中为正三角形，，则 的面积是（    ） A. B. C. 2 D. 4. 已知复数 满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）．（参考数据：，，，） A. 42米 B. 47米 C. 38米 D. 52米 6. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 7. 将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 的三个内角所对的边分别为 ，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得 的面积为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题：本大题共3题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则与的夹角为锐角 C. 若，则的值为 D. 若，则在方向上的投影向量为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. ，若，则或 C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于 的方程的根，则 11. 在 中，角的边分别为，已知，，则下列判断中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，该三角形只有一解 C. 周长的最小值为12 D. 面积的最大值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 在复平面内, 是原点,向量对应的复数是,若点 关于实轴的对称点为 ,则向量对应的复数是__________. 13. 在 中，，为边 的中点， 为 的中点.相交于点 .则的余弦值为___________. 14. 已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为______． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）求 ； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中 是原点，求的大小. 16. 某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为． （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 17. 如图，在 中， 是 的中点，． （1）若，，求； （2）若，求的值． 18. 在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为 边上的一点，，且______，求 的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ① 是 的平分线；②D为线段 的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 19. （1）如图1，正四棱锥 ，． （ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积； （ⅱ）为上一点，求的最小值； （2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆实验中学2023-2024学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的向量为， 为坐标原点，则为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由图,,进而由复数的模的定义求解即可 【详解】由图,,所以, 故选:B 【点睛】本题考查复数的模,考查复数在复平面上的表示 2. 平面内顺次连接，，，，所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量得到 ⊥ ，，且，故得到四边形 为直角梯形. 【详解】因为，， ， 因为，所以 ⊥ ， 又，故，且， 所以四边形 为直角梯形. 故选：B． 3. 如图，是 的斜二测直观图，其中为正三角形，，则 的面积是（    ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在直观图中求出，画出原图形，求出边长和面积. 【详解】在直观图中，， 在三角形中，过点作⊥于点，则，， 故， 还原直观图得 原图如下， ， 由得， 所以 的面积为. 故选：D 4. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量的乘方运算与除法运算计算可得复数，即可得其共轭复数，即可得其在复平面内对应的点所处象限. 【详解】由，故， 故，故在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 5. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）．（参考数据：，，，） A. 42米 B. 47米 C. 38米 D. 52米 【答案】B 【解析】 【分析】在中利用正弦定理求 ，再在中求 . 【详解】在中，由题意可得， 则， ， 由正弦定理可得， 在中，可得， 所以该铁塔的高度约为47米. 故选：B. 6. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 7. 将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，然后可解. 【详解】由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小， 正方体的体对角线长为 所以，此时圆柱的底面半径为，高为， 所以该圆柱体积的最小值为. 故选：B. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得 的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案. 【详解】由得， 由得， 故， 股癣：A 二、多选题：本大题共3题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 的值为 B. 若，则与的夹角为锐角 C. 若，则 的值为 D. 若，则在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】借助向量垂直的性质计算可得A；借助时，与共线可得B；借助向量平行的性质计算可得C；借助投影向量定义计算可得D. 【详解】对A：由，则，解得，故A正确； 对B：当时，有，此时与共线，故B错误； 对C：若，则有，解得，故C正确； 对D：当时，有，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. ，若，则或 C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于的方程的根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出复数的虚部判断A；利用乘法的意义判断B；利用复数的几何意义求解判断C；求出实系数一元二次方程另一根，再利用韦达定理计算判断D. 【详解】对于A，复数的虚部为 ，A错误； 对于B，，，则或，B正确； 对于C，，在复平面内复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 是该圆上的点与点的距离，而点到原点的距离为2，因此的最小值为1，C正确； 对于D，由是关于的方程的根，得该方程另一根为， 因此，解得，D正确. 故选：BCD 11. 在 中，角的边分别为，已知，，则下列判断中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，该三角形只有一解 C. 周长的最小值为12 D. 面积的最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】应用正弦定理求出判断A；根据正弦定理求出，结合大边对大角，确定三角形解的个数判断B；借助于余弦定理和基本不等式求出的取值范围，从而确定出周长判断C；借助于余弦定理和基本不等式表示出面积，从而判断D. 【详解】对于A，，，，在 中，正弦定理得， 则，故A正确； 对于B，由正弦定理得，所以， 又因为 ，所以，故 有两个解，故B错误； 对于C，由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时等号成立，此时三角形为等边三角形，周长取得最大值，为12，故C错误； 对于D，由选项C得，即，当且仅当时等号成立， 所以， 所以 面积的最大值，故D正确， 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 在复平面内, 是原点,向量对应的复数是,若点 关于实轴的对称点为 ,则向量对应的复数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量对应的复数求得 的坐标.再根据题意求得点 ,即可得向量对应的复数. 【详解】因为平面内, 是原点,向量对应的复数是 则 因为点 关于实轴的对称点为 所以 所以向量对应的复数为 故答案为: 【点睛】本题考查了复数的几何意义,复平面内点的坐标表示方法,属于基础题. 13. 在 中，， 为边 的中点， 为的中点.相交于点 .则的余弦值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】借助向量的线性运算将、用、表示后，借助向量夹角公式求出与的夹角的余弦值即可得. 【详解】，， 则 ， ， ， 故. 故答案为：. 14. 已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积和侧面展开图是半圆，求出底面圆的半径和母线长与高，再求圆锥外接球的半径和表面积． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为 ， 则侧面积为，底面圆的周长为，解得，， 所以， 设圆锥外接球的半径为，画出轴截面图形，如图， 由勾股定理得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中 是原点，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出； （2）得到，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 由已知得， ， 又 所以 【小问2详解】 依题意向量， 于是有， ， ， 因为为与的夹角， 所以， 因为， 所以 16. 某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为． （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积； （2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可． 【小问1详解】 设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为 ，高为， 则，解得， 则， 所以“笼具”的体积． 【小问2详解】 圆柱的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的侧面积为， 所以“笼具”的表面积为， 所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元． 17. 如图，在 中， 是 的中点，． （1）若，，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可； （2）利用向量线性运算可得，根据三点共线可构造方程求得结果. 【小问1详解】 为 中点，， ，. 【小问2详解】 ，，， 三点共线，，解得：. 18. 在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求 的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ① 是 的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 【答案】（1） （2）选择①②，答案均为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积； 选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积. 【小问1详解】 由正弦定理知，， ∵， 代入上式得， ∵，∴，， ∵，∴． 【小问2详解】 若选①：由 平分 得，， ∴，即． 在 中，由余弦定理得， 又，∴， 联立得， 解得，（舍去）， ∴． 若选②：因为， 所以， 即，得， 在 中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， ∴． 19. （1）如图1，正四棱锥 ，． （ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积； （ⅱ） 为上一点，求的最小值； （2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（2）. 【解析】 【分析】（1） （ⅰ）容易判断球心在线段PO1上，根据勾股定理即可解得； （ⅱ）将三角形 展开到与平面在同一平面，即AB的长度； （2）列举出所有焊接的可能性，算出每种情况的体积即可. 【详解】（1） （ⅰ）如图4，设外接球半径为， 则 （ⅱ）如图5，将三角形 展开到与平面在同一平面，此时， 在三角形 中：， 所以． （2）正四棱锥的剪拼 几种可以剪拼成正四棱锥的方法 如图6，若以正方形各边中点连结而成的小正方形边为裁剪线，不能拼接成正四棱锥. 因为沿裁剪线翻折后，原正方形各顶点重合于一点，这点即为原正方形的中心，就不存在四棱锥了． 图7是以为底面边长，高为的正四棱锥，则 图8，联想到勾股定理的证明，可设直角三角形的两条直角边长分别为， （），于是，所以，则构造成以为底面边长，高为的正四棱锥，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $