精品解析：山东省潍坊市安丘市青云学府2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题 一.选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，是第三象限的角，则 A. B. C. D. 3. 在△中，为边上中线，为的中点，则 A. B. C. D. 4. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A B. C. D. 5. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知向量在的投影向量为，且，则（ ） A B. C. D. 7. 在中，内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，有一解 D. ，，，无解 8. 在锐角中，角对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 是方程的一个根 10. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 11. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. 与垂直 C. 与的夹角为 D. 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：________. 13. 记的内角的对边分别为，且．角的大小为______． 14. 设为复数，若，则的最大值为_______. 四.解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位 （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 16. 已知向量. （1）当且时，求; （2）当时，求与夹角的余弦值. 17. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 18. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，. （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱的高(用表示)； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值. 19. 已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， （1）求； （2）若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题 一.选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算求解. 【详解】, 则. 故选：C. 2. 若，是第三象限角，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值. 【详解】是第三象限角，，且， 因此，， 故选B. 【点睛】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：在中，利用正弦定理求解；方法二：设树高为，则由求解. 【详解】方法一：在中，， 又， ， 由正弦定理得：， 所以， 所以树的高度为， 方法二：设树高为，则，则， 故选：A. 5. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 6. 已知向量在的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义以及模的坐标运算公式即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：D. 7. 在中，内角所对边分别为，则下列判断正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，有一解 D. ，，，无解 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形边角关系判断解的个数即可. 【详解】选项A：因为，故只有一解，故A错误； 选项B：因，故有两解，故B错误； 选项C：因，故有两解，故C错误； 选项D：因，故无解，故D正确. 故选：D 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系,结合锐角三角形求出范围，进行求解. 【详解】在中，， 由得， 因为，所以， 由余弦定理得，则，故， 又由正弦定理得， 整理得， 因为，故或（舍去），得， 为锐角三角形，故，解得，故， 所以的取值范围是． 故选：C. 二.选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 是方程的一个根 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：直接求虚部；对于B：代入复数然后求模；对于C：代入复数及其共轭复数计算；对于D：直接代入验证. 【详解】对于A：因为，所以，则的虚部是，A错误； 对于B：因为，所以， 所以，B正确； 对于C：因为， ，则，C错误； 对于D：， 故是方程的一个根，D正确. 故选：BD. 10. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可. 【详解】依题意，， 由，得，解得，而， 解得，，的最小正周期为，A正确； 是偶函数，B错误； ，令， 则， 的图象关于直线对称，C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确. 故选：ACD 11. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. 与垂直 C. 与的夹角为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量模的坐标表示可判断A；将两边平方，可得，判断B；根据向量模的计算公式可判断D；根据向量的夹角公式可判断C. 【详解】由，得，所以A选项错误； 因为是单位向量，将两边平方得， 得，即与垂直，所以B选项正确； 由，所以，所以D选项错误； 设与的夹角为，则， 所以与的夹角为，所以C选项正确． 故选：BC． 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和半角公式化简为，结合二倍角公式即可化简. 【详解】 . 故答案为： 【点睛】此题考查根据诱导公式和二倍角公式的关系进行三角恒等变换化简，关键在于熟练掌握相关公式. 13. 记的内角的对边分别为，且．角的大小为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据对原方程化简，求出，得到答案. 【详解】因为， 所以，即， 又因为，所以，解得或， 故答案为：或. 14. 设为复数，若，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用模的公式求出关系，利用关系消元求解的最大值. 【详解】设， 则，又， 所以， 所以，即 所以， 所以. 故答案为：. 四.解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位 （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解； （2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去）， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 则， 因为是关于的方程的一个复根， 所以与是的两个复根， 故，则， 所以. 16. 已知向量. （1）当且时，求; （2）当时，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直坐标表示求出，再利用那个向量模的坐标公式求解； （2）根据向量共线的坐标运算求出，再利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 当且时, ,即， 所以，解得（负值舍去）， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 ，， 则，又，， 所以，解得，所以， 则， 即与夹角的余弦值为. 17. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，依题意可得，即可求出，最后由利用两角差的余弦公式计算可得； （2）根据三角函数变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 小问1详解】 因为，，函数， 所以 ， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 . 【小问2详解】 将图象上所有的点向右平移个单位得到， 再将向下平移1个单位得到， 最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到， 即， 由，即，所以，， 解得，， 令可得，令可得， 又，所以， 即在时不等式的解集为. 18. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，. （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱的高(用表示)； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）；. 【解析】 【分析】（1）计算，，得为正三角形，分别求出和的面积，相加即可得出结论； （2）计算，根据正弦定理得到，，得到答案； （3）根据正弦定理得到，，根据计算得到答案. 【详解】 （1），， ，又， ，又， 所以为正三角形，则， 在中，因为， 所以， 故四边形的面积； （2）因为，， 所以， 又因为灯柱与地面垂直，即， 所以， 因为， 所以， 在中，因为， 所以， 在中，因为， 所以. （3）在中，因为， 所以， 则， 因为， 所以， 所以当时，. 【点睛】本题主要考查解三角形在实际生活中的应用.属于中档题. 19. 已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， （1）求； （2）若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式及和差角公式得到，即可得解； （2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到，由等面积法得到，从而得证；（ⅱ）设，，在中由余弦定理，由三角形相似得到，，从而得到，，则，再利用换元法及函数的性质求出的最大值，即可求出的最大值. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 即， 又， 所以， 所以， 又，所以，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，即， 由余弦定理，即， 所以，则， 所以， 又，所以， 所以； （ⅱ）设，， 在中由余弦定理， 由（ⅰ）可得，， 因为，即，即， 且，即，即， 则，所以，， 所以， 且，， 令，则原式， 且，当且仅当时取等号， 所以，又越大则的值越小， 所以， 所以当时，取得最大值， 即，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第（ⅱ）问关键是设，，得到，通过条件表示出、，然后通过换元以及基本不等式得到的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$