精品解析：海南省儋州黄冈实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

儋州黄冈实验学校2023-2024学年度第二学期高二年级数学期中考试试题 数学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列中，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（ ） A. 0.09 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.27 5. 随机变量X分布列如下：若，则的值是（ ） X 0 1 P a A. B. 5 C. D. 6. 已知数列的前项和为．若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知向量，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，向量在方向上的投影为 10. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球．，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（ ） A. 若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为 B. 若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为 C. 若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为 D. 若有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 12. 已知曲线：，则下列说法正确的是（ ） A 若曲线表示双曲线，则 B. 若曲线表示椭圆，则且 C. 若曲线表示焦点在轴上双曲线且离心率为，则 D. 若曲线与椭圆有公共焦点，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 若随机变量，，则______． 14. 二项式的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则________，展开式中含的项的系数为________． 15. 已知点在直线上，当，时，最小值为___________． 16. 已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）求的值； （2）求边值. 18. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且. （1）求与； （2）证明：. 19. 如图所示，曲线，曲线，过点作直线交曲线于点A，交曲线于点B，若点C在曲线的准线上． （1）求； （2）若存在直线使点B为中点，求A点横坐标（用p表示）及斜率的范围． 20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA= AB =2，AD=3，BC =1，E是PB的中点. （1）证明：PB⊥平面ADE； （2）求直线AP与平面AEC所成角的正弦值. 21. 某公同为调查某产品的市场满意度，对市场进行调研测评，测评方式知下：从全体消费者中随机抽取1000人给该商品评分，得分在60分以下视为“不满意”，得分在区间视为“基本满意”，得分在80分及以上视为“非常满意”．现将他们给该商品的评分分组：，得到如下频率分布直方图： （1）对评分为“基本满意”与“非常满意”的消费者进行跟踪调查，根据上述的统计数据补全列联表，并判断是否有99.5%的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关． 基本满意 非常满意 总计 年龄 350 年龄 110 总计 800 附：． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 （2）从评分为“基本满意”和“非常满意”的消费者中用分层抽样的方法抽取8人，进行二次调查，对产品提出改进意见，并进行评比．最终有3人获奖（8人中每人是否获奖视为等可能的），求获奖消费者中评分为“基本满意”的人数X的分布列及数学期望． 22. 已知函数． （1）若时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在处取极小值，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 儋州黄冈实验学校2023-2024学年度第二学期高二年级数学期中考试试题 数学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的关系与运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：因为，，故集合不存在包含关系，故A,B选项错误； 对于C选项，，故错误； 对于D选项，，故D选项正确. 故选：D 2. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的性质，结合充分不必要条件的定义进行求解判断即可. 【详解】， 因为命题“，”为真命题， 所以有，显然选项A是充要条件， 由不一定能推出， 由不一定能推出，由一定能推出， 故选：D 3. 已知等比数列中，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列式可求出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，解得，. 故选：C 4. 某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（ ） A. 0.09 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.27 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布计数原理及组合数的定义，结合古典概型的计算公式即可求解. 【详解】先从3个位置中选1个，从0到9这10个数字中选一个数字放入，剩下的两个位置再从剩下的9个数字中选一个数字放入（两个位置数字相同），有种方法，所以所求概率． 故选: D. 5. 随机变量X的分布列如下：若，则的值是（ ） X 0 1 P a A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分布列的性质，求得，结合公式求得随机变量的期望与方差，进而求得随机变量的方差，得到答案. 【详解】由题可得， ∴， ∴， ∴， 又因为， 所以. 故选：B 6. 已知数列的前项和为．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据之间的关系式得到，得到数列是从第二项开始的等比数列，从而求出通项公式，求出答案. 【详解】当时，由①，可得：②，两式相减得：， 所以，， 当时，， 故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列， 所以， 所以 故选：C 7. 直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求出底面外接圆半径，再由直三棱柱的外接球半径与底面外接圆半径、侧棱的几何关系求球体半径，进而求此球的表面积. 【详解】由题意，棱柱底面三角形中，底面外接圆半径， 又为直三棱柱且， 所以其外接球半径，故球体表面积为. 故选：A 8. 已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果. 【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，； 时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，； 作出在上的图象，如图： 由图可知要使有3个不同的实根，则. 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知向量，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，向量在方向上的投影为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直结合向量的模长公式可判断B选项；由已知且、不共线，求出的取值范围，可判断C选项；利用平面向量的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，解得，A对； 对于B选项，若，则， 所以，，B对； 对于C选项，若与的夹角为钝角，则，可得， 且与不共线，则，故当与的夹角为钝角，则且，C错； 对于D选项，若，则，所以，向量在方向上的投影为，D对. 故选：ABD. 10. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球．，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（ ） A. 若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为 B. 若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为 C. 若有放回摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为 D. 若有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用条件逐项分析即得. 【详解】对于A，第一次摸到红球的概率为，故A错误； 对于B，不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为，故B正确； 对于C，有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为，故C正确； 对于D，有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明. 【详解】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误； 对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确； 对选项C：若，则，所以选项C错误； 对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确， 故选：BD． 12. 已知曲线：，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线表示双曲线，则 B. 若曲线表示椭圆，则且 C. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则 D. 若曲线与椭圆有公共焦点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线，椭圆的特征一一计算可得； 【详解】解：对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误； 对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确； 对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则， 所以，则，解得，故C正确； 对于D：椭圆的焦点为， 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）； 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 若随机变量，，则______． 【答案】0.4## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性进行求解. 【详解】由正太分布的对称性可知： 故答案为：0.4 14. 二项式的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则________，展开式中含的项的系数为________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质及二项展开式的公式进行计算即可求解. 【详解】第4项的二项式系数为且最大，根据组合数的性质得，，令，所以，则展开式中含的项的系数为. 故答案为：6；. 15. 已知点在直线上，当，时，的最小值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用基本不等式求即可. 【详解】由题意得，，，则， 当且仅当且，即，，时取等号，此时的最小值9． 故答案为：9 16. 已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求得的导数，由题意可得与直线平行的直线和曲线相切，然后求出的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到的最小值． 详解】解：函数的导数为， 设与直线平行的直线与曲线相切， 设切点为，则， 所以，所以，所以，所以， 所以切线方程为， 可得的最小值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）求的值； （2）求边的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）△中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可得结果. （2）△中应用余弦定理求即可. 【小问1详解】 由题设，，故， 又，则. 【小问2详解】 由，，故， 所以，故. 18. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且. （1）求与； （2）证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设得方程组解出公差和公比，再写出通项公式即可； （2）先由求和公式求得，再由裂项求和求得，结合的范围即可证明. 【小问1详解】 设数列的公差为d，因为，所以，解得或（舍）， 故，. 【小问2详解】 因为，所以.故， 因为，所以，所以，所以，即. 19. 如图所示，曲线，曲线，过点作直线交曲线于点A，交曲线于点B，若点C在曲线的准线上． （1）求； （2）若存在直线使点B为中点，求A点横坐标（用p表示）及斜率的范围． 【答案】（1）2； （2）.A点的横坐标为，AC斜率的范围是. 【解析】 【分析】（1）先得出曲线的准线方程，进而建立等式求出答案； （2）设点，进而得到点A的坐标，然后代入曲线化简即可得到t,p间的关系，进而求出点A的横坐标；然后根据及t,p间的关系将所求斜率进行化简，最后结合对勾函数的性质求出斜率的范围. 【小问1详解】 由题意，曲线的准线方程为，则. 【小问2详解】 由题意，，，设，因为点B为线段AC的中点，则，代入曲线得，则点A的横坐标. 因为，所以， 易知，由对勾函数的性质可知，，所以，于是. 20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA= AB =2，AD=3，BC =1，E是PB的中点. （1）证明：PB⊥平面ADE； （2）求直线AP与平面AEC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质和判定推理作答. （2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答. 【小问1详解】 因AD⊥平面ABP，平面ABP，则AD⊥PB，又PA= AB =2，E是PB的中点， 则有AE⊥PB，而，平面ADE， 所以PB⊥平面ADE. 【小问2详解】 因AD⊥平面ABP，∠PAB=90°，则直线两两垂直， 以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 令平面AEC的一个法向量为，则，令，得， 令直线AP与平面AEC所成角的大小为，则， 所以直线AP与平面AEC所成角的正弦值是. 21. 某公同为调查某产品的市场满意度，对市场进行调研测评，测评方式知下：从全体消费者中随机抽取1000人给该商品评分，得分在60分以下视为“不满意”，得分在区间视为“基本满意”，得分在80分及以上视为“非常满意”．现将他们给该商品的评分分组：，得到如下频率分布直方图： （1）对评分为“基本满意”与“非常满意”的消费者进行跟踪调查，根据上述的统计数据补全列联表，并判断是否有99.5%的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关． 基本满意 非常满意 总计 年龄 350 年龄 110 总计 800 附：． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 （2）从评分为“基本满意”和“非常满意”消费者中用分层抽样的方法抽取8人，进行二次调查，对产品提出改进意见，并进行评比．最终有3人获奖（8人中每人是否获奖视为等可能的），求获奖消费者中评分为“基本满意”的人数X的分布列及数学期望． 【答案】（1）有的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关； （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图计算即可补全列联表，由独立性检验，计算即可求解； （2）首先按照分层抽样求出“基本满意”和“非常满意”的消费者的人数，依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列，由数学期望公式计算即可． 【小问1详解】 解：基本满意的总人数为人，非常满意的总人数为人， 列联表如下， 基本满意 非常满意 总计 年龄 350 90 440 年龄 250 110 360 总计 600 200 800 ， 有的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关； 【小问2详解】 解：依题意从“基本满意”中抽取人， “非常满意”中抽取人， 所以的可能取值为，，， 所以，，， 所以的概率分布列为： 1 2 3 ． 22. 已知函数． （1）若时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在处取极小值，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，代入求出切线斜率，从而求出切线方程；（2）求定义域，二次求导，注意到，对进行分类讨论，求出符合题意的a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， ，， 故曲线在处的切线方程为： 【小问2详解】 ，定义域， ，， 令， 则， 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极小值，则满足题意； 当时，则在上单调递增， 又 若，即， 由于， 则存在，使得， 当时，，单调递减， 又， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 此时是极大值点，不合题意，舍去 若，即 由于时，， 则存在，使得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又， 故时，，单调递减 时，，单调递增， 此时是极小值点，满足题意 综上：a的取值范围是 【点睛】已知极值点，求解参数的取值范围，通常要对函数求导后对参数进行分类讨论，注意到特殊点的函数值，或导函数值，是分类标准和解题的突破口. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$