精品解析：浙江省绍兴市高级中学2023-2024学年高二下学期5月模块质量调测数学试卷

2023学年第二学期绍兴市高级中学模块质量调测试卷 一、单项选择题(本大题共12 小题，每小题3分，共36分，每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分) 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集运算即可求解. 【详解】集合， ，则, 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】， 所以函数的定义域为， 故选：D 3. 若二项式展开式中存在常数项，则正整数可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0，可得，即是2的倍数，则答案可求． 【详解】通项，, 依题意，得，故是2的倍数． 只有选项D符合要求， 故选：D． 4. 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N(105,)，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(90,105)内的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，且，由利用正态曲线的对称性可推得，列式计算即得所求. 【详解】依题意，，而， 由可得，, 故, 即数学成绩落在区间(90,105)内的概率为. 故选：B. 5. 老师有7本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 248种 B. 168种 C. 490种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】剩余的4本书分给乙和丙，可以安排和两种情况，利用排列组合求出每种情况下的情况数，相加后得到答案. 【详解】剩余的4本书分给乙和丙，可以安排和两种情况， 安排时，共有种， 安排时，共有种， 综上，甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有种. 故选：C 6. 是方程有正实数根的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点的几何意义，将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由方程有正实数根，则等价于函数有正零点，由二次函数的对称轴为，则函数只能存在一正一负的两个零点，则，解得， 所以，所以是的必要不充分条件， 故选：B 7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.09 C. 0.15 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，求得 ， 由全概率公式可得答案. 【详解】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品， ，， 由全概率公式，所求概率为， 故选：B 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断BC错误，再由函数自变量趋向正无穷大时，函数值的变化趋势判断AD. 【详解】因为定义域为， 且， 所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC错误； 当趋向正无穷时，显然的分子增长快于分母增长，趋向正无穷，故A正确B错误. 故选：A 9. 现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：) A. 2700年 B. 3100年 C. 3500年 D. 3900年 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 10. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. (，+∞) B. (，+∞) C. () D. (，+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得关于对称，进而根据单调性即可求解. 【详解】的定义域为，， 所以，故关于对称， 故， 由于均为上的单调递增函数，结合对称性可得函数在上单调递增，所以为单调递增函数， 故，解得， 故选：A 11. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】由题可得，，则， 所以 ， 当且仅当，即时，取得等号， 故选:C. 12. 已知，函数.若存在，使得，则当取最大值时的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由结合参变量分离法可得出，可求得的最大值，将的最大值代入函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】因为，所以， 依题意， 因为存在，使得， 所以，即有解， 因为，则， 所以有解，所以， 因为，所以，所以， 所以的最大值为. 此时，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为， 故选：C. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分) 13. 已知，则下列选项中能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由可得，A错误， 对于B，由可得，B错误， 对于C，由可得，C错误， 对于D，由可得，D正确， 故选：BD. 14. 不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ） A. B. C. 事件A与事件B是对立事件 D. 事件A与事件B是相互独立事件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求事件的概率，判断AB，根据对立事件和独立事件的定义判断CD. 【详解】对于A，随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点， 随机事件包含的样本点的个数为，所以，A错误； 对于B，随机事件包含的样本点的个数为，所以，B正确， 对于C，事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件互斥事件， 又，即事件为必然事件，所以事件与事件是对立事件，C正确； 对于D，随机事件包含的样本点的个数为，所以， 随机事件为不可能事件，所以，所以， 所以事件与事件不是相互独立事件，D错误， 故选：BC. 15. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据排列和组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若任意选择三门课程，则选法总数，所以A选项错误. B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B选项错误. C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C选项正确. D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为； 只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为. 所以选法总数是，所以D选项错误. 故选：ABD 16. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（ ） A. 3是函数的一个周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知可推得，即可得出A项；由为奇函数，即可得出函数的对称性；易知，结合，即可推得，得出C项；根据函数的奇偶性、周期性求解，即可判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以，所以3是函数的一个周期，故A正确； 对于B项，因为，为奇函数，所以， 所以，点是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C项，因为，为奇函数，所以， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以，函数是偶函数，故C项正确； 对于D项，由C知，函数是偶函数，所以. 又3是函数的一个周期， 所以，，， 所以，， 所以，，故D错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：根据已知条件，变换得出函数的关系式，进而得出函数的对称性、奇偶性以及周期性.然后根据奇偶性以及周期性求值，即可得出答案. 三、填空题(本大题共4小题，共16分) 17. 已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数___________. 【答案】（答案不唯一）(形如，为正奇数，为正偶数，均可) 【解析】 【分析】由条件结合幂函数的性质确定函数的解析式即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 故可设，（，互质）， 又，所以为奇数，为偶数， 故为符合条件的一个函数， 故答案为：(形如，为正奇数，为正偶数，均可). 18. 某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图，如图所示，成绩不低于85分的人数有___人. 【答案】9 【解析】 【分析】先求出a，然后求出成绩不低于85分的人的频率即可成绩不低于85分的人数. 【详解】由频率分布直方图的频率和为1，可得：，解得：. 故成绩不低于85分人的频率为， 所以成绩不低于85分的人数有. 故答案为：9. 19. 已知实数，，，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知变形得出积为定值，然后由基本不等式得最小值． 【详解】解：实数，，， 则， 当且仅当，时，取等号， 的最小值为：3． 故答案为：3． 20. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】参变分离，得到有三个不同的解，构造，求导得到其单调性和极值最值情况，画出函数图象，数形结合得到实数的取值范围. 【详解】由题意得有三个不同的解， 当时，不合题意， 当时，即有三个不同的解， 令，则， 当或时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，当时，恒成立， 故的图象如下： 要想有三个不同的解，则，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题(本大题共3小题，共32分) 21. 已知 （1）求展开式第3项的二项式系数； （2）求的值. 【答案】（1）10 （2）2 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式即可得到答案； （2）通过赋值和即可得到答案. 【小问1详解】 由二次项展开的通项公式为， ∴第3项的二项式系数为； 【小问2详解】 令， 令=1， ∴. 22. 为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是． （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率； （2）若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解； （2）分析可知X的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列. 【小问1详解】 比赛结束时， 恰好打了6局，甲获胜的概率为， 恰好打了6局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为； 【小问2详解】 X的可能取值为2，3，4，5， ， ， ， ， 所以X的分布列如下： 2 3 4 5 23. 已知函数，． （1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围； （3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论． 【详解】解：（1）函数为奇函数． 当时，，， ∴， ∴函数为奇函数； （2）， 当时，的对称轴为：； 当时，对称轴为：； ∴当时，在上是增函数， 即时，函数在上是增函数； （3）方程解即为方程的解． ①当时，函数在上是增函数， ∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； ②当时，即， ∴在上单调增，在上单调减，在上单调增， ∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，即， ∵，∴． 设， ∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ∴，又可证在上单调增． ∴，∴； ③当时，即， ∴在上单调增，在上单调减，在上单调增， ∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根； 即，∵∴， 设 ∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ∴，又可证在上单调减，∴ ∴； 综上：． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，综合考查分段函数的应用，综合性较强，运算量较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期绍兴市高级中学模块质量调测试卷 一、单项选择题(本大题共12 小题，每小题3分，共36分，每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分) 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若二项式展开式中存在常数项，则正整数可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 4. 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N(105,)，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(90,105)内的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 老师有7本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 248种 B. 168种 C. 490种 D. 360种 6. 是方程有正实数根的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.09 C. 0.15 D. 0.2 8. 函数的大致图象是（ ） A B. C D. 9. 现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：) A 2700年 B. 3100年 C. 3500年 D. 3900年 10. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A (，+∞) B. (，+∞) C. () D. (，+∞) 11. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，函数.若存在，使得，则当取最大值时的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分) 13. 已知，则下列选项中能使成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ） A B. C. 事件A与事件B是对立事件 D. 事件A与事件B是相互独立事件 15. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 16. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（ ） A. 3是函数的一个周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 三、填空题(本大题共4小题，共16分) 17. 已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数___________. 18. 某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图，如图所示，成绩不低于85分的人数有___人. 19. 已知实数，，，则的最小值为______． 20. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题(本大题共3小题，共32分) 21. 已知 （1）求展开式第3项的二项式系数； （2）求的值. 22. 为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是． （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率； （2）若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列． 23. 已知函数，． （1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$