精品解析：2024年山东省济南市莱芜区济南市莱芜实验中学中考模拟预测数学试题

2024年数学中考模拟卷（四） 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个水晶笔筒(在一个底面为正方形的长方体内部挖去一个圆柱)，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年第19届亚洲夏季运动会在杭州举行，已知莱芜到杭州的自驾距离约为．用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，且于点 ，若，则的度数为（　　） A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° 5. 中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（） A. B. C. D. 6. 实数 在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 重阳节某校组织学生到就近的社区养老院进行卫生大扫除活动，成立了“扫地组”“擦玻璃组”“擦桌凳组”三个卫生小组．如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个卫生小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（ ） A. B. C. D. ． 8. 将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （﹣3，2） B. （﹣1，2） C. （1，2） D. （1，﹣2） 9. 如图，已知，在的两边上分别截取，使 ；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，分别连接线段．已知，点 为的中点，点 为线段上任意一点，有下列四个结论：①垂直平分 ；②四边形是菱形；③；④的最小值是．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ③④ D. ①③④ 10. 已知二次函数的图象与轴交于点，顶点在第三象限，设，则 的最小整数解是（ ） A. －4 B. －3 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案． 11. 因式分解：______． 12. 下面图形：四边形、三角形、正方形、梯形、平行四边形、圆，从中任取一个图形的既是轴对称图形，又是中心对称图形概率是__． 13. 已知是方程的一个根，则 ______． 14. 已知点在平面直角坐标系第二、四象限的角平分线上，则 ______． 15. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为______． 16. 如图，▱ABCD中，E是AD边上一点，AD=4，CD=3，ED=，∠A=45°，点P、Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°，将△CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为______. 三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 19. 如图，中，为 上的两点，，求证：． 20. 习近平总书记在学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想主题教育工作会议上指出，开展这次主题教育，要“努力在以学铸魂、以学增智、以学正风、以学促干方面取得实实在在的成效”．某校深入开展主题教育，并组织老师进行了主题教育征文活动，评选出一、二、三等奖若干名，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整）． 请根据上述信息解答下列问题： （1）求本次比赛获奖的总人数； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“三等奖”所对应的扇形的圆心角度数； （4）学校计划从甲、乙、丙三位一等奖获得者中随机抽取2人参加主题教育宣传活动，请用列表法或画树状图法求恰好抽到甲和乙的概率． 21. 有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆的伸长距离最大时可达，点 、 、 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒，与水平地面切于点 ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点 距离水平地面时，点 到水平面的距离 为，设AF∥MN． （1）求的半径长； （2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在 端拉旅行箱时， 为，，求此时拉杆的伸长距离．（精确到，参考数据：，，） 22. 如图，已知 是 的直径，C是 上一点，的平分线交 于点D，作，交的延长线于点P，连接 ，． 求证： （1）是 的切线； （2） 23. 新型消费引领时尚，绿色消费蔚然成风．2023年“十一”假期期间，全国高速公路服务区新能源汽车充电量创了历史新高，新能源汽车悄然走红．某汽车销售公司购进 两种型号的新能源汽车，已知 型新能源汽车的单价比 型新能源汽车的单价贵4万元，用102万元购买 型新能源汽车的数量和用78万元购买 型新能源汽车的数量相同． （1） 型、 型新能源汽车的单价分别是多少万元？ （2）该公司准备再次购进 型和 型新能源汽车共40辆，且购买 型新能源汽车的数量不超过 型新能源汽车数量的3倍．若厂家这两种型号的新能源汽车均打七折，则购买 型和 型新能源汽车各多少辆时花费最少？最少花费是多少万元？ 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，交 轴于点 ． （1）求反比例函数的表达式和点 的坐标． （2）过点 的直线交轴于点 ，且与反比例函数的图象只有一个交点． ①求点 的坐标； ②求 的长度． 25. （1）如图1，在 中，，点 是内部任意一点．连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段，连接，则线段与 的数量关系是______． （2）如图2，四边形是正方形，绕点 旋转，且，，连接，直线与直线相交于点 ． ①求证：； ②如图3，当点 在的延长线上时，连接，已知，在旋转的过程中，求线段的最小值． 26. 已知抛物线与轴交于点和点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点 是线段上的一个动点（不与点重合），过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，连接．当线段 最长时，判断四边形的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）条件下，点 是 的中点，过点 的直线与抛物线交于点 ，且，则在 轴正半轴上是否存在点 ，使得为等腰三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年数学中考模拟卷（四） 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相反数意义、0次幂、负整数指数幂、乘方等知识点． 根据相反数意义，0次幂、负整数指数幂、乘方法则计算，并判定即可． 【详解】解：A、，是正数，故此选项不符合题意； B、，是正数，故此选项不符合题意； C、，是负数，故此选项符合题意； D、，是正数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图是一个水晶笔筒(在一个底面为正方形的长方体内部挖去一个圆柱)，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：从上面看易得俯视图为正方形，中间有圆． 故选B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3. 2023年第19届亚洲夏季运动会在杭州举行，已知莱芜到杭州的自驾距离约为．用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 < ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥ 时， 是正数；当原数的绝对值＜ 时， 是负数． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，直线，且于点 ，若，则的度数为（　　） A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和求得，再根据平行线的性质可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内角和、平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键． 5. 中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答，即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握根轴对称图形的性质：有一条直线是对称轴，图形沿轴折叠，折叠后互相重合；根据中心对称图形的性质：有一个对称中心，图形绕中心旋转180°，旋转后互相重合是解题的关键． 6. 实数 在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正误，直接利用，在数轴上位置进而分别分析得出答案． 【详解】解：由数轴上与 的位置可知：，故选项A错误； 因为， ，所以，故选项B错误； 因为， ，所以，则，故选项C错误； 因为，则，故选项D正确； 故选：D． 7. 重阳节某校组织学生到就近的社区养老院进行卫生大扫除活动，成立了“扫地组”“擦玻璃组”“擦桌凳组”三个卫生小组．如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个卫生小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 ，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式求出事件 或 的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好选到同一个小组的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将“扫地组”“擦玻璃组”“擦桌凳组”三个卫生小组分别编号为 ， 根据题意画图如下： 共有9种等可能的结果，他们恰好选到同一个小组的结果有3种， 则他们恰好选到同一个小组的概率为； 故选：C 8. 将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （﹣3，2） B. （﹣1，2） C. （1，2） D. （1，﹣2） 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加， 因此，将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′的坐标为（－1，2）． 关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数， 从而点A′(－1，2)关于y轴对称的点的坐标是（1，2）． 故选C． 9. 如图，已知，在的两边上分别截取，使 ；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，分别连接线段．已知，点 为 的中点，点 为线段上任意一点，有下列四个结论：①垂直平分 ；②四边形 是菱形；③；④的最小值是．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】运用 是等边三角形和三线合一性质可以判断①， 与 不一定相等可以判断②，根据对角线的互相垂直的四边形的面积公式的推导过程可以判断③，连接， ，推导，再利用含30度角的直角三角形的性质可以判断④，从而得解． 【详解】解：∵， ， ∴ 是等边三角形，， 由作图可知：平分， ∴是 中边上的中线和高， ∴垂直平分 ，即①正确， 根据题意可知： 与 不一定相等， ∴四边形 不一定是菱形，②错误； ∵垂直平分 ∴，即③正确， 连接， ， ∵垂直平分 ， ∴， ∴，当且仅当点A、E、F三点共线时取等号， ∵点 为 的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴的最小值是，即④正确， 故正确的是：①③④． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，最短路径问题，角平分线的画法等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象与 轴交于点，顶点在第三象限，设，则 的最小整数解是（ ） A. －4 B. －3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 先把点代入，求得，则，，根据二次函数的图象顶点在第三象限，则，解得，则，即可求解． 【详解】解：把点代入，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的图象顶点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小整数解是3． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式和公式法综合运用分解因式，熟练掌握提公因式和公式法分解因式． 先提公因式 ，再运用公式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 下面图形：四边形、三角形、正方形、梯形、平行四边形、圆，从中任取一个图形的既是轴对称图形，又是中心对称图形概率是__． 【答案】 【解析】 【详解】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的有正方形、圆， 故概率为 故答案为： 13. 已知是方程的一个根，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于 的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得，解得． 故答案为：． 14. 已知点在平面直角坐标系第二、四象限的角平分线上，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系第二、四象限的角平分线上点的坐标特征，解分式方程．掌握平面直角坐标系第二、四象限的角平分线上点的坐标特征“横纵坐标互为相反数”是解题的关键． 根据平面直角坐标系第二、四象限的角平分线上点的坐标特征得出方程，求解即可． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系第二、四象限的角平分线上 ∴ 解得：， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 15. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 设有 个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设有 个队参赛， 根据题意，可列方程为：， 解得： 或（舍去）， 答：参赛的球队数为6． 故答案为：6． 16. 如图，▱ABCD中，E是AD边上一点，AD=4，CD=3，ED=，∠A=45°，点P、Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°，将△CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为______. 【答案】，3， 【解析】 【详解】分析：过点B作BF⊥AD于点F，连接BE，根据平行四边形的性质及已知条件，可证得△BEF是等腰直角三角形，求出BF、BE、的长，再利用三角形的外角性质结合已知，证明∠2=∠1，∠EBP=∠C，利用相似三角形的判定，可证得△BPE∽△CQP，再分三种情况讨论：①当CQ=QP时，则BP=PE，可证得四边形BPEF是矩形，可求出BP的长；②当CP=CQ时，则BP=BE=3；③当CP=PQ时，则BE=PE=3，再根据△BPE是等腰直角三角形，利用勾股定理，可求出BP的长，从而可得出答案. 详解：如图，过点B作BF⊥AD于点F，连接BE ∵平行四边形ABCD ∴AD∥BC ∴∠BFE=∠FBP=90° 在Rt△ABF中，∠A=45°，AB=3 ∴BF=AF=ABcos45°=3×= ∴EF=AD-AF-DE=4--= ∴EF=BF ∴∠FBE=∠EBP=45°=∠C ∠2+∠EFQ=∠1+∠C ∵∠EFQ=∠C=45° ∴∠2=∠1 ∴△BPE∽△CQP 将 △ CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，分三种情况： ①当CQ=QP时，则BP=PE ∴∠EBP=∠BEP=45°，则∠BPE=90° ∴四边形BPEF是矩形 ∴BP=EF= ②当CP=CQ时，则BP=BE=3 ③当CP=PQ时，则BE=PE=3，∠BEP=90° ∴△BPE是等腰直角三角形 ∴BP=. 故答案为、3、 点睛：醒题考查了利用平行四边形遥性质进行求解，其中运用了分类讨论的思想，使问题的答案不遗漏，这是解题的关键. 三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： 18. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，正整数解为，2 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再写出整数解即可． 【详解】解：解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 原不等式组的解是， 不等式组的正整数解为，2． 19. 如图，中，为 上的两点，，求证：． 【答案】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，进而得，最后利用 可证明，即可求证． 【详解】略 20. 习近平总书记在学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想主题教育工作会议上指出，开展这次主题教育，要“努力在以学铸魂、以学增智、以学正风、以学促干方面取得实实在在的成效”．某校深入开展主题教育，并组织老师进行了主题教育征文活动，评选出一、二、三等奖若干名，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整）． 请根据上述信息解答下列问题： （1）求本次比赛获奖的总人数； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“三等奖”所对应的扇形的圆心角度数； （4）学校计划从甲、乙、丙三位一等奖获得者中随机抽取2人参加主题教育宣传活动，请用列表法或画树状图法求恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1）30人 （2）补全条形统计图如图： （3）180° （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，列表法与树状图法求概率，解答本题的关键是从统计图中获取信息． （1）用二等奖人数及其对应的百分比可得总人数； （2）总人数减去一等奖、二等奖的人数和求出三等奖的人数，从而补全图形； （3）用360°乘以“三等奖”所占比例即可得； （4）画出树状图，由概率公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：（人）； 答：本次比赛获奖的总人数为30人． 【小问2详解】 解：三等奖的人数为：（人）， 补全条形统计图如图： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“三等奖”所对应的扇形的圆心角度数为：． 【小问4详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 / （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） / （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） / 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到甲和乙的结果有2种， 恰好抽到甲和乙的概率为． 21. 有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆 的伸长距离最大时可达，点 、 、 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒，与水平地面切于点 ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点 距离水平地面时，点 到水平面的距离 为，设AF∥MN． （1）求的半径长； （2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在 端拉旅行箱时， 为，，求此时拉杆 的伸长距离．（精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）圆形滚轮的半径 的长是；（2）拉杆BC的伸长距离为． 【解析】 【分析】（1）作BH⊥AF于点K，交MN于点H，则△ABK∽△ACG，设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x的值； （2）求得CG的长，然后在直角△ACG中，求得AC即可解决问题； 【详解】（1）作于点，交 于点 . 则，. 设圆形滚轮的半径 的长是. 则，即， 解得：. 则圆形滚轮的半径 的长是； （2）在中，. 则 ∴AC==80(cm) ∴. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 22. 如图，已知是 的直径，C是 上一点，的平分线交 于点D，作，交的延长线于点P，连接 ，． 求证： （1）是 的切线； （2） 【答案】（1） 证明：如图，连接 ． ∵是 的直径，C是 上一点， ∴， 又平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）圆周角定理，得到，角平分线得到，进而得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）由平行和圆周角定理可得：，由圆内接四边形的性质，可得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定，圆内接四边形的外角等于内对角等知识．熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定，是解题的关键． 23. 新型消费引领时尚，绿色消费蔚然成风．2023年“十一”假期期间，全国高速公路服务区新能源汽车充电量创了历史新高，新能源汽车悄然走红．某汽车销售公司购进 两种型号的新能源汽车，已知 型新能源汽车的单价比 型新能源汽车的单价贵4万元，用102万元购买 型新能源汽车的数量和用78万元购买 型新能源汽车的数量相同． （1） 型、 型新能源汽车的单价分别是多少万元？ （2）该公司准备再次购进 型和 型新能源汽车共40辆，且购买 型新能源汽车的数量不超过 型新能源汽车数量的3倍．若厂家这两种型号的新能源汽车均打七折，则购买 型和 型新能源汽车各多少辆时花费最少？最少花费是多少万元？ 【答案】（1） 型新能源汽车的单价是17万元， 型新能源汽车的单价是13万元 （2）购买 型新能源汽车10辆、 型新能源汽车30辆时花费最少，最少花费为392万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式与一次函数的应用； （1）设 型新能源汽车的单价为 万元，则 型新能源汽车的单价为万元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设购买 型新能源汽车 辆，则购买 型新能源汽车辆，共花费 万元，根据题意列出一次函数关系式，根据题意得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设 型新能源汽车的单价为 万元，则 型新能源汽车的单价为万元． 依题意得． 解得． 经检验，是原方程的解， 则． 答： 型新能源汽车的单价是17万元， 型新能源汽车的单价是13万元． 【小问2详解】 设购买 型新能源汽车 辆，则购买 型新能源汽车辆，共花费 万元． 根据题意得 型新能源汽车的数量不超过 型新能源汽车数量的3倍， ， 解得． ， 随 的增大而增大． 当 时， 取得最小值， 此时． 答：购买 型新能源汽车10辆、 型新能源汽车30辆时花费最少，最少花费为392万元． 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，交 轴于点 ． （1）求反比例函数的表达式和点 的坐标． （2）过点 的直线交 轴于点 ，且与反比例函数的图象只有一个交点． ①求点 的坐标； ②求 的长度． 【答案】（1）． （2）①；② 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由一次函数解析式求得点 ，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点 的坐标； （2）①设直线 的解析式为，由整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线 的解析式，从而即可求得 点的坐标； ②利用勾股定理即可求得 ． 【小问1详解】 解： 直线过点， ， ． 又 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为． 联立， 解得或， ． 【小问2详解】 解：①在中，令，得 ， ． 设直线 的解析式为 ． 联立，得． 直线 与双曲线只有一个交点， ， ， 直线 的解析式为． 令 ，得 ， ． ②． 25. （1）如图1，在中，，点 是 内部任意一点．连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接，则线段与 的数量关系是______． （2）如图2，四边形 是正方形，绕点 旋转，且，，连接，直线 与直线 相交于点 ． ①求证：； ②如图3，当点 在的延长线上时，连接，已知，在旋转的过程中，求线段的最小值． 【答案】 （1） （2）①证明： 四边形 是正方形， ， 又， ， 即， 在和中， ， ∴， ． ， ， ． ② 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可得出结论； （2）①证明，得，即可求得，即可得出结论； ②过点 作于点 ，作，交的延长线于点，过点 作于点 ．先证明，得到．从而得证四边形是正方形，得到．再证明，得到．再根据勾股定理得，则当最大时，最小，此时，即可求得，即可由求解． 【详解】解：（1）由旋转可得：，， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①略 ②解：如图，过点 作于点 ，作，交的延长线于点，过点 作于点 ． 由①知， ， 四边形是矩形， ． 又， ， 即． 在和中， ， ． 四边形是正方形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 当最大时，最小，此时， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质的应用是解题的关键． 26. 已知抛物线与 轴交于点和点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点 是线段 上的一个动点（不与点重合），过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，连接．当线段 最长时，判断四边形的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）条件下，点 是 的中点，过点 的直线与抛物线交于点 ，且，则在 轴正半轴上是否存在点 ，使得为等腰三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 四边形是平行四边形，理由如下： 由题意知，点和点 关于直线对称， ． 把代入抛物线，得， ∴， 设直线， 将点代入， 得，解得， ． 设， 则点 的坐标为， 故 当 ，即点 的坐标为时， 最长，最大值是4． 此时 ∴， 四边形是平行四边形． （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）先求得，再用待定系数法求得，设，则点 的坐标为，故，进而求解； （3）过点 作轴于点 ，当，则，则直线和直线关于直线对称，，进而求出点 的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 由题意知 ①， 抛物线过点， ．② 由①②解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点 是 的中点， ． 设， 将代入，得，故， ． 如图，过点 作轴于点 ，则， 故． 又， ， 直线和直线关于直线对称， 直线与 轴的交点为． 设， 直线过点， 解得 ． 由，解得， ． 设（），则， 为等腰三角形，有以下三种情况： 当时，， 解得（负值舍去）； 当时，， 解得（负值舍去）； 当时，， 解得． 所以满足条件的点 的坐标是，． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $