精品解析：云南省曲靖市曲靖二中云师高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

曲靖二中云师高级中学高一下学期5月月考考试试卷 数 学 （全卷满分150分，考试时间120分钟，制卷：王佩 审核：敖燕林） 第I卷 选择题（共58分） 一、单选题（共 8小题，每题 5分） 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则与的夹角为 A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 5. ，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（ ） A. 120° B. 150° C. 45° D. 60° 7. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为2，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知几何体是正方体，则下列结论错误的是（ ） A. 在直线上存在点E，使∥平面 B. 平面 C. 异面直线与所成的角为60° D. 从正方体八个顶点中任取四个组成的三棱锥的外接球的体积相等 二、多选题（共 3小题，每题 6分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知，，若与共线，则 B. 若，，则 C. 若，则一定不与共线 D. 若，，为锐角，则实数的范围是 10. 若复数z满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 11. 设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列命题中错误的是（ ） A. 若，，，则 B 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共 3小题，每题 5分） 12 已知向量，，且，则_____． 13. 在中，角的对边分别为，，，．则______． 14. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老中华传统特色油炸面食，寓意团圆．制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有．一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576 ，则一个麻团的体积为_______． 四、解答题（共 5小题，15题13分，16、17题15分，其余题目17分） 15. 求取值何实数时，复数是： （1）实数； （2）纯虚数； （3）对应的点位于第二象限． 16. 已知向量，满足，，. （1）求 （2）求与的夹角； （3）求的值. 17. 在中，角，，所对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）已知，的面积为，求a的值 （3）在第（2）问条件下，求边长的值. 18. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点. （1）在该图形中，与直线异面的直线有哪些？ （2）求证：平面PCD； （3）求证：平面平面PBC． 19. 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积； （2）求证：AN⊥平面PBM； （3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 曲靖二中云师高级中学高一下学期5月月考考试试卷 数 学 （全卷满分150分，考试时间120分钟，制卷：王佩 审核：敖燕林） 第I卷 选择题（共58分） 一、单选题（共 8小题，每题 5分） 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】故选D 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由周期公式直接求解可得. 【详解】由周期公式得. 故选：A 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数和对数函数单调性可求得，进而得到结果. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过函数的单调性确定临界值，从而得到大小关系. 4. 已知，则与的夹角为 A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的夹角公式，求得，进而求得与的夹角，得到答案. 【详解】由题意，向量满足， 根据向量的夹角公式可得， 又因为，所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式及其应用，其中解答中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查运算能力. 5. ，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式直接求解. 【详解】因为，所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（ ） A. 120° B. 150° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 又， 所以. 故选：B. 7. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为2，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由周长公式可得圆锥的底面半径，再结合圆锥、圆柱的体积公式即可得解． 【详解】设圆锥的底面半径为， 因为圆锥的底面圆周长为， 所以，解得， 又圆锥的高为，圆柱的母线长为2， 所以该几何体的体积是． 故选：A． 8. 如图，已知几何体是正方体，则下列结论错误的是（ ） A. 在直线上存在点E，使∥平面 B. 平面 C. 异面直线与所成的角为60° D. 从正方体的八个顶点中任取四个组成的三棱锥的外接球的体积相等 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由题意可知：当E与重合时，满足∥平面，即可判断正误； 对于B，由题意可得只与平面内的垂直，故不能得出平面，即可判断正误； 对于C，连接，，则有为异面直线与所成的角，只需说明是否成立，即可判断正误； 对于D，由补形法可知：任意的三棱锥的外接球就是正方体的外接球，即可判断正误. 【详解】解：对于选项A，当E与重合时，∥平面，故选项A正确； 对于选项B，虽然.但与不垂直，选项B错误； 对于选项C，连接，则∥，为异面直线与所成的角或补角，连接，则为等边三角形，所以，故选项C正确. 对于选项D，从正方体的八个顶点中任取四个组成的三棱锥的外接球就是正方体的外接球，选项D正确. 故选：B. 二、多选题（共 3小题，每题 6分） 9. 下列说法正确有（ ） A. 已知，，若与共线，则 B. 若，，则 C. 若，则一定不与共线 D. 若，，为锐角，则实数的范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线的性质可直接判断ABC选项，再根据向量数量积与夹角的关系可判断选项D. 【详解】A选项：，，若与共线，则，，A选项正确； B选项：当时，，，但不一定成立，B选项错误； C选项：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，C选项错误； D选项：，，若为锐角，则，解得，D选项正确； 故选：AD. 10. 若复数z满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解A,根据模长公式即可求解B，根据复数的乘法即可求解CD. 【详解】因为，所以， 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，，故D项正确. 故选：BCD. 11. 设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列命题中错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由线、面位置关系逐一判断即可. 【详解】解：若，，，则或与异面，故A错误； 若，，则或与相交，故B错误； 若，，则或与相交或与异面，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确. 故选：ABC. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共 3小题，每题 5分） 12 已知向量，，且，则_____． 【答案】 【解析】 分析】根据向量垂直与坐标间关系计算即可. 【详解】因为，所以，解得 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用正弦定理即可得解. 【详解】在中，，，， 因为，所以， 因为， 所以，所以. 故答案为：. 14. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆．制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有．一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576 ，则一个麻团的体积为_______． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等：设球形半径r，可得长方体长宽a=4r，高为h=2r，长方体纸盒的表面积为576cm2，即32r2+32r2=576，即可求解r，可得一个麻团的体积． 详解：根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等. 设麻团球形半径r，可得长方体长宽a=4r，高为h=2r， 长方体纸盒的表面积为576cm2，即32r2+32r2=576， 解得：r2=9，即r=3， 可得一个麻团的体积V==36π． 故答案为36π 点睛：本题主要考查球的体积，考查几何体的内切球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间观察想象能力. 四、解答题（共 5小题，15题13分，16、17题15分，其余题目17分） 15. 求取值何实数时，复数是： （1）实数； （2）纯虚数； （3）对应的点位于第二象限． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的概念列式，可求出结果； （2）根据复数的概念列式，可求出结果； （3）根据复数的几何意义列出不等式组，解得即可． 【小问1详解】 复数的实部为，虚部为， 若复数为实数则，所以. 【小问2详解】 若复数为纯虚数，则，解得； 小问3详解】 复数在复平面内对应的点为， 依题意得，解得， 故的取值范围为． 16. 已知向量，满足，，. （1）求 （2）求与的夹角； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对题干条件进行展开化简即可求解； （2）结合（1）中的结论和数量积公式求解； （3）将待求表达式平方即可求解. 【小问1详解】 ，即，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，因为， 所以， 【小问3详解】 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）已知，的面积为，求a的值 （3）在第（2）问条件下，求边长的值. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）由面积公式即可求解， （3）根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得： 因为，所以， 从而，又 ， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 在中，，得， 【小问3详解】 由余弦定理得：． 所以． 18. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点. （1）在该图形中，与直线异面的直线有哪些？ （2）求证：平面PCD； （3）求证：平面平面PBC． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由异面直线判定定理可得； （2）由中位线证明线线平行再由判定定理证线面平行； （3）由面面平行判定定理可证. 【小问1详解】 在图形中，与直线异面的直线有. 【小问2详解】 由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形， 由N是BD的中点，则N也是AC的中点， 又点M是PA的中点，∴在中，， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； 【小问3详解】 由（2）知，又平面PBC，平面PBC， ∴平面PBC， 由N是BD中点，又∵Q是PD中点， ∴在中，， ∵NQ平面PBC，PB平面PBC，∴平面PBC， ∵，平面MNQ， ∴平面平面PBC． 19. 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积； （2）求证：AN⊥平面PBM； （3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先得到，根据Q为PB的中点，故； （2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM⊥平面PAM.，故BM⊥AN，又AN⊥PM，从而得到线面垂直； （3）由(1)知AN⊥平面PBM，故AN⊥PB，又AQ⊥PB，故PB⊥平面ANQ，得到答案. 【小问1详解】 因为AB为⊙O的直径，所以⊥， 又，故， 又PA垂直于⊙O所在的平面，， 故， 因为Q为PB的中点，所以. 【小问2详解】 ∵AB为⊙O直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵，PA，AM平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且，BM，PM平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. 【小问3详解】 由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ平面ANQ， ∴PB⊥NQ. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$