精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

楚雄州民族中学高一年级5月月考 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在矩形中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面向量的线性运算，利用加减法运算以及数乘运算即可得到结果. 【详解】由图可知：. 故选：A. 2. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可. 【详解】由，知，解得. 故选：C. 3. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算化简，然后结合共轭复数的概念和复数的几何意义可得. 【详解】因为，所以， 所以，故， 因此在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 4. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，偶函数； 反之，为偶函数，则或， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 5. 对于直线和平面，下列命题中正确的是（ ） A. 如果，，是异面直线，那么 B. 如果，，是异面直线，那么与相交 C. 如果，，共面，那么 D. 如果，，共面，那么 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对选项进行一一判断，从而进行求解. 【详解】对于A，如图①所示，，，是异面直线，此时n与α相交，则A不正确； 对于B，如图②所示，，，是异面直线，此时n与α平行，故B不正确； 对于C，，，则没有公共点，若共面，那么，故C正确； 对于D，如图③所示，，，共面，此时m与n相交，故D不正确． 故选：C. 6. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 7. 过正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使得截面与底面所成的角为45°，则此截面的形状为（　　） A. 三角形或五边形 B. 三角形或六边形 C. 六边形 D. 三角形 【答案】B 【解析】 【详解】解析：如图，连接BD交EF于点G，设上、下底面中心分别为O1，O，设过点D1与EF的截面与底面的所成角为α，易得tan α＝tan ∠D1GD＝＜1，故α＜45°；设过A1，C1与EF的截面与底面的所成角为β，易得tan β＝tan ∠O1GO＝2＞1，故α＞45°，故所求截面应与A1D1，C1D1都相交（不过其端点），为六边形，点H在BB1上，且BG＝BH，当截面为EFH时也满足题意，此时为三角形． 8. 三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件证明平面，取的中点分别为，通过计算得到，推出点为三棱锥的外接球的球心，则得外接球半径，代入球的表面积公式计算即可. 【详解】 如图，因，， 在中，由，可得. 在中，.在中,由，可得. 因,且平面，则平面. 取的中点分别为，连接，则，故可得平面. 在中，为的中点，则， 在中，,则, 即，即点为三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为1， 所以外接球的表面积为. 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】求得的最小正周期可判断A；由，可判断B；，可判断C；，结合余弦函数的单调性可判断D. 【详解】易知函数的最小正周期为，故是的一个周期，故A正确； 因为，所以不是的图象的对称轴，故B错误； 因为，所以函数为奇函数，故C正确； 因为，可得， 所以由余弦函数的单调性可得函数在区间上先减后增，故D错误. 故选：AC. 10. 已知关于的方程的两根为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出方程的两根，即可判断A，利用韦达定理判断B，计算出两根的模，即可判断C，利用复数代数形式的除法运算及B项的结论化简，即可判断D. 【详解】关于的方程， 则，， 不妨设，， ，故A正确； 由韦达定理可得，故B正确； ，故C正确； ， ， 则，当时，，此时，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知厚度不计的容器是由半径为，圆心角为的扇形以一条最外边半径为轴旋转得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（ ） A. 边长为的正方体 B. 底面半径和高均为的圆锥 C. 棱长均为的四面体 D. 半径为的球 【答案】AC 【解析】 【分析】画出对应图形，放入体对角线为的正方体研究A；放入棱长为的正四面体研究B、C；放入内切球研究D. 【详解】设扇形所在圆半径为，对于A，设正方形边长为，如图1， 则可容纳的最长对角线，故A正确； 对于C，如图2，当圆锥底面与三个圆弧都相切时， 切点和构成一个边长为2的正四面体， 的外接圆半径为， 点到平面的距离为， 所以可以容纳，故C正确； 对于B，如图2，同C分析，的外接圆半径为， 不可以容纳，故B错误； 对于D，如图3，设球半径为， 将此时的圆面截出来，可知两圆内切： 则， 解得，比0.84小，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量模及向量数量积的定义求夹角余弦值即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 即. 又， 所以. 故答案为：. 13. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，由二倍角正切公式及两角差的正切公式计算即可. 【详解】由， 所以， 故答案为：. 14. 在中，，点在上且是的角平分线，且的面积为1，当最短时，________. 【答案】## 【解析】 【分析】设利用三角形面积公式和等面积得到和，化简得，利用余弦定理和基本不等式，推得当时，取到最小值，此时，依题可得. 【详解】设，则，从而， 因为， 又，故得， 则， 在中，由余弦定理， ，当且仅当即时取等号， 所以当取到最小值时，，易得， 此时. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形ABCD，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形ABCD的面积； （2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直观图还原平面图形ABCD为一个直角梯形，再利用直角梯形的面积公式求解； （2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，再结合圆柱和圆锥的体积公式求解． 【小问1详解】 还原平面图形ABCD，如图， 因为，，，且， 所以，，，且，， 原平面图形ABCD为直角梯形，故； 【小问2详解】 将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体一个圆柱挖去一个圆锥，如图， 其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5， 所以几何体的体积为 16. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）若向量，，求的值； （2）若向量，试探求的值与向量的坐标的关系. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由求得，再利用定义运算“”计算即得； （2）设出，根据向量的数量积求得，再利用定义运算“”计算即得. 【小问1详解】 由已知，得，由，可得， 又，∴，； 【小问2详解】 ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴. 17. 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为平面，，D为中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，证得，再由，得出，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面； （2）作，连接，证得 平面，得到，再由平面，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 证明：由平面，平面，所以， 在直角中，，且是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：如图所示，作交于点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为且，平面，所以 平面， 因为平面，故， 又由，，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由，可得， 又由，可得, 在直角中，，即二面角正切为. 18. 记的内角的对边分别为，已知，是的中点. （1）求的长； （2）若是上一点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后可得，再借助向量模长与数量积的关系计算即可得解； （2）由余弦定理与面积公式计算即可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得，，即， 因为，所以， 因为， 所以 所以长为； 【小问2详解】 由余弦定理，得，则， 则， ， 所以， 因此， 又因为， 所以的面积. 19. 定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 （1）设，求证： （2）已知且，是函数的“对应向量”，，求 （3）已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到对应的向量为，即可得证； （2）化简函数，得到，进而求得的值； （3）根据题意，由函数 在处取得最大值，得到，求得，结合三角函数的有界性求得，结合单调性，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为， 根据题意，可得函数对应的向量为， 又因为平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为，所以； 【小问2详解】 由函数 ， 因为，所以， 又因为，所以， 可得. 【小问3详解】 由函数 ，其中， 因为在处取得最大值，所以， 即，此时， 令，可得， 即，其中， 可得，所以，所以， 当时，单调递减，； 当时，单调递减，. 综合可得的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时理解对应向量以及对应函数的定义，明确其内涵，能根据该定义结合向量的坐标运算进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州民族中学高一年级5月月考 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在矩形中，是中点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 3. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 对于直线和平面，下列命题中正确的是（ ） A. 如果，，是异面直线，那么 B. 如果，，是异面直线，那么与相交 C. 如果，，共面，那么 D. 如果，，共面，那么 6. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 7. 过正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使得截面与底面所成的角为45°，则此截面的形状为（　　） A. 三角形或五边形 B. 三角形或六边形 C. 六边形 D. 三角形 8. 三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 图象关于直线对称 C. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 D. 在区间上单调递增 10. 已知关于方程的两根为和，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知厚度不计的容器是由半径为，圆心角为的扇形以一条最外边半径为轴旋转得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（ ） A. 边长为的正方体 B. 底面半径和高均为的圆锥 C. 棱长均为的四面体 D. 半径为球 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________. 13. 已知，，则__________. 14. 在中，，点在上且是的角平分线，且的面积为1，当最短时，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形ABCD，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形ABCD的面积； （2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的体积． 16. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）若向量，，求的值； （2）若向量，试探求的值与向量的坐标的关系. 17. 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为平面，，D为中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角正切值． 18. 记的内角的对边分别为，已知，是的中点. （1）求的长； （2）若是上一点，且，求的面积. 19. 定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 （1）设，求证： （2）已知且，是函数的“对应向量”，，求 （3）已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $