精品解析：吉林省吉林市第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

吉林一中2023—2024学年度下学期期末试题 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求解，化简集合N后再由交集运算得答案． 【详解】∵集合，， ∴，又＝{0,1}， ∴()∩N＝{0,1}． 故选：C． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求共轭复数，再根据复数代数形式的除法运算化简复数即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 3. 若“，”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案. 【详解】由题意得该命题的否定为真命题， 即“，”为真命题， 即， 令，因为，则， 则存在，使得成立， 令，令，则（负舍）， 则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 且，，则，则. 故选：C. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，讨论的范围判断的符号确定的单调性，即可确定大致图象. 【详解】由解析式知：， ∴时，递增；或时，递减； 结合各选项易知：A符合要求. 故选：A 5. 设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项，令的指数为0，进而可得结果. 【详解】的展开式的通项， 令得，因为，所以当时，有最小值3， 故选：B 6. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围. 【详解】的定义域为， 由题意得在上有解， 即在上有解， 其中， 故，故实数的取值范围是. 故选：B 7. 已知圆的半径为2，弦的长为，若，则（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出图形，可求出与的夹角，再利用平面向量的数量积，从而求解. 【详解】如图，设的中点为，连接，则.由， ，得，所以，，所以， 所以，所以， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导函数得出函数在上单调递增，将关于的方程有两个不等实根转化为关于的方程有两个不等实根；再数形结合得出，；最后构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可. 【详解】由可得： 函数的定义域为，， 所以函数在上单调递增. 令. 因为关于的方程有两个不等实根，， 则关于的方程有两个不等实根，. 作出函数的图象，如图所示： . 所以结合图形可知. 由可得：，， 解得：，即有. 设， 则. 令，得：；令，得：， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质、方程的根与函数图象交点问题等.解题关键在于先利用换元法和函数的单调性将已知条件进行转化；再利用数形结合思想和导数即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值是5 B. 在中，命题，命题，则命题是命题的充分不必要条件 C. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 D. 若函数是奇函数，函数为偶函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由基本不等式即可判断A，由即可判断B，由投影向量的概念即可判断C，由函数奇偶性的定义即可判断D. 【详解】当时，，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是5，故A正确； 在中，， 所以命题是命题的充要条件，故B错误； 因为向量， 所以向量在向量方向上的投影向量为，故C正确； 因为函数为偶函数，所以， 又因为函数是奇函数，所以，即， 所以，故D正确； 故选：ACD 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为15 C. 在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画模型的拟合效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 D. 设随机事件，，已知事件发生的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为，在事件不发生的条件下事件发生的概率为，则事件发生的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正态分布中概率的计算得到A选项；由百分位数的计算得到B选项；根据回归分析中决定系数的利用判断C选项；由乘法公式和全概率公式得到D选项. 【详解】A选项，因为，且，所以，故A正确； B选项，数据共有9个数，，所以第70百分位数是第7个数16，故B错误； C选项，在一元线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越差，故C错误； D选项，， 所以， 又因为，则， 所以，故D正确． 故选：AD． 11. 已知定义在上的函数满足，，且，则（ ） A. 4为的一个周期 B. C. 函数是奇函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D. 【详解】对于A，因为， 所以，， 所以，故4为的一个周期，A正确； 对于B，因为， 令，则， 所以， 由A可知，，故B正确； 对于C， 因为①，则 令，则， 所以， 所以，② 由①②，所以，即，故为奇函数， 若函数是奇函数，则， 所以，即， 所以， 与矛盾，故C错误； 对于D，因为为奇函数，且，所以， 又因为的一个周期为4，所以， 因为 所以，， 所以， ， 以此类推， 所以，故D错误. 故选：AB 【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期. 以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆： 设函数， （1）若，则函数的周期为； （2）若，则函数的周期为； （3）若，则函数的周期为； （4）若，则函数的周期为； （5）若，则函数的周期为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则与向量同向的单位向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量的坐标，然后计算与向量同向的单位向量即可. 【详解】因为, 所以, 所以与向量同向的单位向量为. 故答案为：. 13. 已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得命题：，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，即可得到答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是 故答案为： 14. 甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解. 【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种， 其中甲、乙参加同一项目的方案种， 则所求的参赛方案一共有种； 因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目， 则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案， 若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一， 故总共有种不同的方案； 若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目， 故共有种不同的方案； 同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案； 乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案. 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积是，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求解； （2）利用面积公式、余弦定理运算求解. 【小问1详解】 由，可得到， 即． 因为，所以，故． 【小问2详解】 由，可得， 因为，所以，则． 由余弦定理得，即， 所以，故的周长是． 16. 2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如下表： x 1 2 3 4 5 y 9 11 14 26 20 其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益. （1）求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度； （2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表： 满意 不满意 总计 男 45 10 55 女 25 20 45 总计 70 30 100 是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？ （3）对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望. 参考公式：①； ②，其中. 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据：. 【答案】（1）0.84，科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性. （2）有 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出，，，可得及答案； （2）计算出，与临界值比较可得答案； （3）求处X的可能取值及对应概率，可得分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可得，， ， ， ∴. ∴“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性. 【小问2详解】 由题意： 满意 不满意 总计 男 45 10 55 女 25 20 45 总计 70 30 100 ∴， ∴有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关. 【小问3详解】 易知9人中满意的有5人，不满意的有4人 由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4， ； ； ； ； ， ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 17. 已知函数． (1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1)先求的定义域及其导函数，并由当时，，当时，，求的单调区间及极值点，由此可解得的取值范围； (2)由得时，，令，求令，令，求，并根据为上的单调性求的最小值及实数的取值范围. 【详解】解：(1)函数的定义域为，． 令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以为的极大值点，所以， 故，即正实数的取值范围为． (2)当时，恒成立，令 则． 令，则，所以，所以， 所以为上的增函数，所以，故． 故实数的取值范围为． 【点睛】本题主要考查导数的应用，解决此类题关键是熟练掌握导数与单调性、极值的关系. 18. 某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动． （1）若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； （2）已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励， ①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪． 附：若随机变量，则；；． 【答案】（1） （2）①能，理由见解析；②乙所说为假 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式，结合甲闯关的可能情况求解即可； （2）①利用正态分布的对称性及法则，求得前名参赛者的最低得分即可判断； ②假设乙所说为真，利用正态分布的对称性及法则，证得丙的分数为分是小概率事件，从而得以判断. 【小问1详解】 设：第次通过第一关，：第次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为， 由题意知 . 【小问2详解】 设此次闯关活动的分数记为． ①由题意可知， 因为，且， 所以，则； 而，且， 所以前名参赛者的最低得分高于， 而甲的得分为分，所以甲能够获得奖励； ②假设乙所说为真，则， ， 而，所以， 从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个不同的零点， （i）求实数的取值范围： （ⅱ）若满足，求实数的最大值. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可. （2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可； （ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的递增区间是，无递减区间； 当时，的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 （ⅰ）由，得，令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，恒成立，且， 由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点， 因此，即， 所以实数的取值范围是. （ⅱ）由，得，且， 不妨设，将代入， 得，即， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递减， 有，即，函数在上单调递减， 由，得，则， 因此函数在上单调递减，即， 于是，有，则， 又，令，， 由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增， 则，即，解得， 所以a的最大值是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中2023—2024学年度下学期期末试题 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若“，”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆的半径为2，弦的长为，若，则（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 8. 已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值是5 B. 在中，命题，命题，则命题是命题的充分不必要条件 C. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 D. 若函数是奇函数，函数为偶函数，则 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为15 C. 在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画模型的拟合效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 D. 设随机事件，，已知事件发生的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为，在事件不发生的条件下事件发生的概率为，则事件发生的概率为 11. 已知定义在上的函数满足，，且，则（ ） A. 4为的一个周期 B. C. 函数是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则与向量同向的单位向量是______. 13. 已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______. 14. 甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积是，，求的周长． 16. 2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如下表： x 1 2 3 4 5 y 9 11 14 26 20 其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益. （1）求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度； （2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表： 满意 不满意 总计 男 45 10 55 女 25 20 45 总计 70 30 100 是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？ （3）对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望. 参考公式：①； ②，其中. 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据：. 17. 已知函数． (1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动． （1）若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； （2）已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励， ①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪． 附：若随机变量，则；；． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个不同的零点， （i）求实数的取值范围： （ⅱ）若满足，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $