精品解析：江苏省无锡市江阴市祝塘中学2024届高考第一次适应性模拟考试数学试卷

高三数学第一次适应性模拟考试 2024.5.16 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式与根式不等式，再求交集即可. 【详解】， ，故. 故选：C 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意可知其均值为3，2和4关于3对称， 所以， 因此. 故选：C 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换和周期变换的原则求解即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得， 再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得. 故选：B. 4. 在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数满足的条件数形结合分析即可. 【详解】曲线图像如图所示，其图像为轴右侧的半圆， 根据函数的定义在函数定义域内任意的值都有唯一的值与其对应， 反映到图像上就是在其定义域内作与轴垂直的直线，与函数图像有一个交点， 因此四个选项仅逆时针旋转满足条件. 故选：C. 5. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】如图所示，作出轴截面， 分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心， 则为的中点， ， 因为，所以， 则 过点作，垂足为， 则， 在中，由勾股定理得， 即，解得或， 因为，所以，，故， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可. 【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对. 故选：C 7. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，，，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性比较的大小，再结合对数函数的单调性比较的大小可得结论. 【详解】因为，， 构造函数， 因为， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以， 故，即， 因为，， 因为，， 所以，， 所以，即， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过将化为结构相似的形式，通过构造函数，再利用函数的单调性比较函数值的大小. 8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（ ） A. 的焦距为 B. 的离心率为 C. 的周长为 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故， 所以的焦距为，故A正确； 的离心率为，故B正确； 的周长为，故C错误； 对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大， 最大值为，故D正确. 故选：ABD. 10. 定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据计算公式结合收敛点的定义判断即可. 【详解】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误； 对B，由可得数列，，，… 则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确； 对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误； 对D，由可得数列… 因为， 存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确； 故选：BD 11. 已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，设，根据可得，从而可得的范围；对B，化简，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简，再结合满足圆的方程求范围即可；对D，根据满足圆的方程进行三角换元求解最值即可. 【详解】对A，设，根据有， 即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误； 对B， ，则转化为求圆上点到的距离最大值， 为，故B正确； 对C，，因为，故，故C正确； 对D，因为，故， 又因为，故， ， 故当时，取最小值取最小值，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：，，则为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【详解】由特称命题的否定为全称命题可得为. 故答案为： 13. 请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________． ①；②至少有两个零点；③有最小值． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】举例二次函数，验证其满足题意即可. 【详解】取，其对称轴为，满足①， 令，解得或2，满足②至少有两个零点， ，当，，满足③有最小值. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为_______；当A取得最大值时，则________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】空1：利用正弦定理和三角形面积公式得，再利用诱导公式和两角和的正弦公式和二倍角公式即可得，则得到三角形面积；空2：利用正弦定理和面积公式得，再利用余弦定理和基本不等式即可求出答案. 【详解】由正弦定理得，则， 则. ， ， 则， ，， 则， 当且仅当时取等， 因为，则最小时，最大， 取等时，，即，即， 即，即，即. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第一空的关键是利用三角恒等变换对题目给的等式化简得，第二空的关键是利用余弦定理和基本不等式从而得到角最大时的临界状态. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据切线方程列出关于的方程组，解方程组即可. （2）对要证明的式子进行化简，构造函数，利用单调性求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知曲线在点处的切线方程为， 所以，解得(负值舍去)，所以. 【小问2详解】 由第1问可知，. 要证，即要证， 只需证. 构造函数，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以，所以，所以. 16. 某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12 （1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入； （2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考数据及公式：，，，． 【答案】（1），5.37 万元 （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）求出相关数据，代入公式得到回归直线方程，并代入即可； （2）首先得到 的可能取值为 0,1,2,3，分步列出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 由题意得，， ， ， ， 故， ， 故回归方程为， 又因为2024年的年份编号为8，将代入，解得， 预测2024年该市城镇居民人均可支配收入为5.37万元; 【小问2详解】 由图表知，人均可支配收入超过4.5万的年份有3年， 故的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 故. 17. 如图，在五面体中，，，，，P， O分别为CD，AP的中点，二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求平面ADF平面BCE成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件证明为等边三角形，则有，证明平面，则有，可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决二面角的问题. 【小问1详解】 ∵，，为的中点，为平行四边形，∴且 ∵，∴，则． 又∵，∴， ∴为二面角的平面角，∴ 又∵，∴为等边三角形，∵为的中点，则， 又∵，，平面，，∴平面， ∵平面，∴， 平面，，∴平面. 【小问2详解】 设的中点为，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，，， ，，. 设平面的一个法向量为 ，则 ，令，则， ． 设平面的一个法向量为 ，则 ，令，则， . ∴ ∴所求二面角的正弦值为 . 18. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以最小值为． 19. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1． （1）求的方程； （2）过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积． （3）过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，结合右焦点到一条渐近线的距离为1求解即可； （2）设直线，联立双曲线方程可得交点坐标，再根据点到直线的距离结合弦长公式与三角形面积公式求解即可； （3）设，可得，再结合可得，进而根据点到线的距离公式，结合双曲线的方程求解即可. 【小问1详解】 因为双曲线实轴长为，故，，的一条渐近线方程为， 则，故双曲线方程为. 【小问2详解】 由题意可知四边形为平行四边形，其面积， 由题意可得直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为直线与双曲线相切，故， 得，即，所以，直线方程为. 设直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以，所以. 【小问3详解】 设，则，不妨设到直线的距离为： ，同理， 所以① 又因为②， 由①②解得或， 当时，解得， 又，则，解得， 同理有或或， 所以存在点或或或满足. 【点睛】方法点睛： （1）弦长公式； （2）设双曲线上一点，则可得为定值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学第一次适应性模拟考试 2024.5.16 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（ ） A B. C. D. 4. 在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数图象，则可以为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 7. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知椭圆：焦点分别为，，P为上一点，则（ ） A. 的焦距为 B. 的离心率为 C. 的周长为 D. 面积的最大值为 10. 定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A B. C. D. 11. 已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：，，则为___________． 13. 请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________． ①；②至少有两个零点；③有最小值． 14. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为_______；当A取得最大值时，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求证：． 16. 某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12 （1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入； （2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考数据及公式：，，，． 17. 如图，在五面体中，，，，，P， O分别为CD，AP的中点，二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求平面ADF平面BCE成二面角的正弦值． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 19. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1． （1）求的方程； （2）过上一点作切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积． （3）过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$