精品解析：2024年四川省达州市中考数学适应性试卷（一）

2024年四川省达州市（7+3）中考数学适应性试卷（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下列图形中，是正方体的平面展开图的是 A. B. C. D. 3. 数据5600000用科学记数法表示为（　　） A. 56×105 B. 5.6×105 C. 5.6×106 D. 5.6×107 4. 为了加强中小学生的安全意识，某校开展“防溺水”知识竞赛．来自不同年级的名参赛同学的得分情况如表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩/分 人数/人 A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分 5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（　　） A. b4•b4＝2b4 B. 3x2y﹣2x2y＝1 C. （﹣3a）2＝6a2 D. （﹣x3）4＝x12 7. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线相互垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形 9. 如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以 为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，拋物线与 轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在函数中，自变量x的取值范围为_______． 12. 已知 、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 13. 已知线段AB=10cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则BC的长是______cm． 14. 如图，把一个矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接 ，将纸片沿 翻折，点A落在点位置，若，，直线与y轴交于点F，则点F的坐标为__________． 15. 如图， 为半圆直径，， ，，，，连接交半圆于D，连接，作交直径 于E，则=______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：，并从中选出合适的整数值代入求值． 17. 如图， 的顶点坐标为，，． （1）画出 向右平移个单位后的； （2）将 绕原点 旋转 ，画出旋转后的； （3）的面积为________． 18. 新课标（2022年版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”.我区九年级学生进行了一次数学素养监测，并随机抽取了 名学生的测试成绩，按照“优”、“良”、“中”、“差”四个等级进行统计，并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图. （1）求 的值； （2）将条形统计图补充完整； （3）现从成绩为“优”的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两位同学参与“跨学科学习、项目式学习”汇报，用树状图或列表法求出甲同学被抽到的概率. 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）尺规作图：作∠A的角平分线AP交BC于点P；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，若AC=5，BC=12，求CP的长． 20. 周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动.已知小红家 在小宇家 的北偏西方向上，.两人到达劳动基地 处后，发现小宇家 在劳动基地 的南偏西方向上，小红家 在劳动基地 的南偏西方向上.求小宇家 到劳动基地 的距离 .（结果保留1位小数；参考数据：，，，） 21. 某市园林局打算购买A、B两种花装点城区道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元． （1）求A、B两种花的单价各为多少元？ （2）市园林局若购买A、B两种花共10000盆，且购买的A种花不少于5000盆，但不多于B种花的3倍．请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 22. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 23. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若sinB＝，AD＝2，求FD的长． 24. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线 上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在平行四边形中， ，点 在上，点 在 上，点 在的延长线上，连接，，， （1）如图1，当时，猜想线段与线段 的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当时，写出线段与线段 的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当点 是 的中点时，连接，则的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年四川省达州市（7+3）中考数学适应性试卷（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 下列图形中，是正方体的平面展开图的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A、折叠后缺少两个底面，故此选项错误； B、可以是一个正方体的平面展开图，故此选项正确； C、缺少一个侧面，故此选项错误； D、折叠后缺少一个底面，上面重合，故此选项错误； 故选B． 考点：几何体的展开图． 3. 数据5600000用科学记数法表示为（　　） A. 56×105 B. 5.6×105 C. 5.6×106 D. 5.6×107 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】数据5600000用科学记数法表示为5.6×106． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的应用，掌握科学记数法的定义以及应用是解题的关键． 4. 为了加强中小学生的安全意识，某校开展“防溺水”知识竞赛．来自不同年级的名参赛同学的得分情况如表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩/分 人数/人 A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和众数的定义，熟练掌握中位数是把一组数据按从大到小（或从小到大）排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数是解题的关键． 根据中位数的和众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：成绩位于第 位为分， ∴这些成绩的中位数是分， 根据题意可得：考分的有人，是各分数中人数最多的， ∴这些成绩的众数是分， 故选：A． 5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得∠B=∠BFD，再由三角形外角性质可得∠1的度数． 【详解】解：∵，∠B=30°， ∴∠BFD=∠B=30°， ∴∠1=∠D+∠BFD=45°+30°=75°， 故选：C． 【点睛】本题考查特殊直角三角形的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 下列运算正确的是（　　） A. b4•b4＝2b4 B. 3x2y﹣2x2y＝1 C. （﹣3a）2＝6a2 D. （﹣x3）4＝x12 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项法则、积的乘方和幂的乘方，求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、b4•b4＝b8≠2b4，故选项A错误； B、3x2y﹣2x2y＝x2y≠1，故选项B错误； C、（﹣3a）2＝9a2≠6a2，故选项C错误； D、（﹣x3）4＝x12，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键． 7. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得 ． 故选：A 8. 下列命题正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线相互垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定逐一判断即可求解． 【详解】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法错误，不符合题意； B、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意 C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意 D、对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，符合题意； 故选：D. 9. 如图，正方形 的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以 为边构造菱形，将菱形与正方形 组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同，即可得出答案． 【详解】解：∵， 每旋转4次为一个循环， ．即第2023次旋转结束时，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同．的位置如图所示， 过点作轴于点 ，连接，． 由旋转得，． 点， ． 四边形 为正方形， ． ． 四边形是菱形， ． ， ，． 点的坐标为．则点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键． 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，拋物线与 轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与 轴的交点判断，抛物线与 轴交点的个数确定． 根据已知条件得到当时，，即，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线，即，得到，故②正确；根据已知条件得到方程有两个相等的实数根，得到，故③正确；根据抛物线的开口向下，得到，于是得到直线与抛物线没交点，即可得到一元二次方程没实数根，故④正确． 【详解】∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与 轴的一个交点在点和之间， ∴当时，，即，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，即， 时，， 即，故②正确； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ∴，故③正确； ∵抛物线的开口向下， ， ∴直线与抛物线没交点， ∴一元二次方程没实数根，故④正确； 综上，①②③④正确． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在函数中，自变量x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的取值范围，解题的关键是知晓分式有意义的条件． 根据函数中分式的分母不为0即可得到答案． 【详解】当分式的分母为零时，分式才没有意义，故． 即自变量x的取值范围为． 故答案为：． 12. 已知 、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式是解决本题的关键．根据题意，得，根据根与系数的关系可得，，整体代入变形后的代数式即可求出代数式的值． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∵， ∴ 故答案为：10． 13. 已知线段AB=10cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则BC的长是______cm． 【答案】15－5 【解析】 【详解】根据黄金分割点的性质可得：BC=AB=×10=15－5cm． 故答案是：15－5 14. 如图，把一个矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接 ，将纸片沿 翻折，点A落在点位置，若，，直线与y轴交于点F，则点F的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意首先求出的长度，再证，由勾股定理可求出答案． 【详解】解： 四边形是矩形， ，， ， ， ， ∵由 翻折得到， ，， 又， ， ， ， ， 解得：， 点F的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理，三角形全等，解题的关键是求出． 15. 如图， 为半圆直径，， ，，，，连接交半圆于D，连接，作交直径 于E，则=______． 【答案】##0.05 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，连接，先证明，推出  ，进而求出 的长，进一步求 的长，再利用正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接， 为半圆直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ∴， ， ， 故答案为： 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：，并从中选出合适的整数值代入求值． 【答案】（1）1 （2），1 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及分式的化简求值，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及分式的化简求值是解题的关键． （1）根据零次幂、绝对值的意义及特殊三角函数值可进行求解； （2）先根据分式的混合运算进行化简，然后再选择合适的值代入求解即可． 【详解】解：（1）原式 =1； （2）原式 ，， ，， 当时，原式． 17. 如图， 的顶点坐标为，，． （1）画出 向右平移个单位后的； （2）将 绕原点 旋转 ，画出旋转后的； （3）的面积为________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质找到向右平移3个单位的对应点，顺次连接，得到； （2）根据中心对称的性质，找到关于原点对称的点，顺次连接，得到； （3）连接，根据网格的特点以及三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，连接， 则，到的距离为 ， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移作图，画中心对称图形，坐标与图形，熟练掌握平移的性质以及中心对称的性质是解题的关键． 18. 新课标（2022年版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”.我区九年级学生进行了一次数学素养监测，并随机抽取了 名学生的测试成绩，按照“优”、“良”、“中”、“差”四个等级进行统计，并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图. （1）求 的值； （2）将条形统计图补充完整； （3）现从成绩为“优”的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两位同学参与“跨学科学习、项目式学习”汇报，用树状图或列表法求出甲同学被抽到的概率. 【答案】（1）100 （2） 补全图形如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）用“优”的人数除以“优”所占的百分比即可求解； （2）依据总人数求出“中”的人数，最后补全条形图即可； （3）画出树状图，列出所有可能的情况及符合条件的情况数，运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：“中”的人数为：（名）， 略 【小问3详解】 解：画树状图如下： （甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁） （丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙） 总共有种可能，其中甲同学被选到有6种可能， 甲同学被选到的概率为：． 【点睛】本题考查了条形图和扇形图的综合应用，树状图求概率；解题的关键是正确求出总人数和画出树状图． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）尺规作图：作∠A的角平分线AP交BC于点P；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，若AC=5，BC=12，求CP的长． 【答案】（1） 如图，AP为所作； ； （2）CP的长为． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AP平分∠BAC； （2）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=PC=x，则PB=12-x，先利用勾股定理计算出AB=13，再根据S△ABP=AB×PD=PB×AC，计算即可得出x． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点P作PD⊥AB于点D， ∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，∠C=90°， ∴PD=PC， 在Rt△ABC中，AC=5，BC=12， ∴AB=， 设PD=PC=x，则PB=12-x，　 ∵S△ABP=AB×PD=PB×AC， ∴13x=5(12-x) ， 解得：x=． ∴CP的长为． 【点睛】本题考查了基本作图－作已知角的角平分线．勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动.已知小红家 在小宇家 的北偏西方向上，.两人到达劳动基地 处后，发现小宇家 在劳动基地 的南偏西方向上，小红家 在劳动基地 的南偏西方向上.求小宇家 到劳动基地 的距离 .（结果保留1位小数；参考数据：，，，） 【答案】小宇家 到劳动基地 的距离 约为7.1km 【解析】 【分析】过点 作，解直角三角形即可． 【详解】解：如图，过点 作，垂足为 . 由题意，得， . 在中，， ∴， . 在中，， ∴. 答：小宇家 到劳动基地 的距离 约为7.1km. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 21. 某市园林局打算购买A、B两种花装点城区道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元． （1）求A、B两种花的单价各为多少元？ （2）市园林局若购买A、B两种花共10000盆，且购买的A种花不少于5000盆，但不多于B种花的3倍．请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 【答案】（1）A种花的单价为4元，B种花的单价为5元 （2）购买A种花7500盆、B种花2500盆时总花费最，最少费用为42500元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的综合应用，在正确求解二元一次方程组的基础上建立一次函数求解是解题关键． （1）根据购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到A、B两种花的单价各为多少元； （2）先列出不等式组，求出m的范围，根据题意，可以写出W与m的关系式； 根据一次函数的性质，即可得到使总花费最少的购花方案，并求出最少费用． 【小问1详解】 解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元． 根据题意，得， 解得， A种花的单价为4元，B种花的单价为5元． 【小问2详解】 解：设购买A种花m盆，则购买B种花盆． 根据题意，得， 解得； 设总花费为W元，则， ， 随m的增大而减小， ， 当时，W的值最小，，此时盆， 当购买A种花7500盆、B种花2500盆时总花费最，最少费用为42500元． 22. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? 【答案】（1）12；（2）19.6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可求出C点坐标； （2）分别求出y=12与AB和CD的交点M、N，则MN横坐标差即为答案． 【详解】（1）设CD段是反比例函数图象的一部分 ∵D(24,10)， ∴ 解得， （2）直线与交点N坐标为 ∵ ∴直线AB解析式为 ∴直线与直线AB 的交点M坐标为 ∴MN横坐标差为 即这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用． 23. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若sinB＝，AD＝2，求FD的长． 【答案】（1） 证明：连接OC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠ADC＋∠CAD＝90°， 又∵OC＝OD， ∴∠ADC＝∠OCD， 又∵∠DCF＝∠CAD， ∴∠DCF＋∠OCD＝90°， 即OC⊥FC， ∴FC是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由sinB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD= 3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，sinB＝ 在 中 ，AD＝2 设 ，则，， ， 即， 解得， （负舍）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 24. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线 上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的面积有最大值4，此时 （3）P点坐标为或）或） 【解析】 【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过E点作轴交 于点G，设，则，可得，即可求出最终结果． （3）设， ，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求n的值即可求P点坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时， ， 将B、C点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 过E点作轴交 于点G， 设，则， 当时，的面积有最大值4，此时． 【小问3详解】 存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 抛物线的对称轴为直线， 设， ①当为平行四边形的对角线时，， 解得 ②当为平行四边形的对角线时，， ③当 为平行四边形的对角线时，， 解得， 综上所述：P点坐标为或）或）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 25. 在平行四边形中， ，点 在上，点 在 上，点 在的延长线上，连接，，， （1）如图1，当时，猜想线段与线段 的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当时，写出线段与线段 的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当点 是 的中点时，连接，则的值为______． 【答案】（1） 结论：．理由如下： 当时，，，在上截取，连接，如图： 在中，， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ， ； （2） ，理由如下： 过点 作交于点 ，如图： 当时，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，，在上截取，连接，证明，推出，，得到； （2）当时，得到，，过点 作交于点 ，证明，推出，得到，，由此得到，进而推出结论； （3）由（2）得，设，由点 是 的中点，得到，推出，，过 作于 ，根据角的性质及勾股定理求出，，即可得到，根据三角函数定义即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点 作于 ，如图： ， ∴； ， 设， 点 是 的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查相似三角形综合应用，涉及锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，含特殊角的直角三角形三边关系等知识．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $