精品解析：山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

2023—2024学年第二学期高一年级第三次月考 数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 若（是虚数单位），则的值分别等于 A. B. C. D. 2. 如图，在中，是的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在矩形中，设，，则的模为（ ） A B. C. 12 D. 6 4. 一个正三棱锥的每一个面都是边长是1的正三角形，则此正三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个不同平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 6. 在中，已知，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个圆柱的表面积为，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为（ ） A B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分） 9. 若直线平行于平面，则（ ） A. 平面内有且只有一条直线与平行 B. 平面内有无数条直线与平行 C. 平面内存在无数条与不平行直线 D. 平面内任意一条直线都与平行 10. 如图，如果菱形所在的平面，那么下列结论正确的是（　　） A. B. 与异面 C. 与相交 D. 11. 的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 12. 在三棱锥中，已知底面分别是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，一定为直角三角形 B. 当时，一定为直角三角形 C. 当平面时，一定为直角三角形 D. 当平面时，一定为直角三角形 三、填空题（共4小题，每小题5分） 13. 已知是虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限． 14. 已知向量是一个基底，实数x，y满足，则________. 15. 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则___________. 16. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积______． 四、解答题（共6小题） 17. 如图，在四面体中，分别是棱中点．求证： （1）平面； （2）四边形为平行四边形． 18. （1）设向量，求； （2）已知向量不共线，且．若，则的值． 19. 如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3， （1）求该圆柱的体积和表面积 （2）直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积 20. 已知为z的共轭复数，若，求z. 21. 已知，与的夹角为 （1）求与的值； （2）若与的夹角为钝角，求x的取值范围. 22. △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期高一年级第三次月考 数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 若（是虚数单位），则的值分别等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的加法运算得出，再根据相等复数的定义，即可求出和的值. 【详解】解：由题可知，， 即，所以， 即的值分别等于. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的加法运算和相等复数的定义，属于基础题. 2. 如图，在中，是的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的中点， 所以， 所以． 故选：D. 3. 在矩形中，设，，则的模为（ ） A. B. C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法法则以及模长公式计算即可. 【详解】已知在矩形中，，， 因为， 根据勾股定理．， 所以的模为. 故选：A. 4. 一个正三棱锥的每一个面都是边长是1的正三角形，则此正三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出底面积和侧面积，即可求出正三棱锥的表面积. 【详解】一个正三棱锥的每一个面都是边长是1的正三角形， 所以一个面为， 故三棱锥的表面积为. 故选：D 5. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和平面的相关知识直接判断即可. 【详解】对于A，由，，显然不能得到，故A错误； 对于B，由，，可以得到或异面或相交，故B错误； 对于C，由，，，得或异面，故C错误； 对于D，由，，可以推出，故D正确. 故选：D 6. 在中，已知，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出和角，再分析求解即可. 【详解】根据正弦定理得：，所以， 因，所以. 故选：C. 7. 已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积. 【详解】如图①②所示的实际图形和直观图. 由斜二测画法可知，，， 在图②中作于，则. 所以. 故选：D. 8. 若一个圆柱的表面积为，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设圆柱的底面半径为，高为，由表面积得关系式，进而得外接球的半径为，利用基本不等式求最小值即可 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，则. 设该圆柱的外接球的半径为，则，当且仅当，即时，等号成立. 故该圆柱的外接球的表面积的最小值为. 故选：A 二、多选题（共4小题，每小题5分） 9. 若直线平行于平面，则（ ） A. 平面内有且只有一条直线与平行 B. 平面内有无数条直线与平行 C. 平面内存在无数条与不平行的直线 D. 平面内任意一条直线都与平行 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面平行的性质逐一分析四个选项即可得到答案. 【详解】过直线可作无数个平面与相交，由线面平行的性质定理可知，这些交线都与平行，所以在平面内与直线平行的直线有无数条，故A不正确，B正确 若直线平行于平面，则直线与平面内的直线有两种位置关系：平行或异面，所以平面内存在与不平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确． 故选：BC 10. 如图，如果菱形所在的平面，那么下列结论正确的是（　　） A. B. 与异面 C. 与相交 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由异面直线的判定方法可知A选项错误，B选项正确，C选项错误，而D选项，则需要由已知的线面垂直证明线线垂直，再由菱形的对角线垂直，去证明线面垂直，最后问题可得证. 详解】 因为平面，平面，， 所以可知MA与BD异面，即A选项错误，B选项正确，C选项错误； 连接AC，因为四边形为菱形，所以. 又因为平面，平面，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，所以，即D选项正确， 故选：BD. 11. 的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于的一元二次方程，解方程求得，根据特殊角三角函数值和的范围可求得结果. 【详解】由题意得：，， 解得：或，，或或， 故选：ACD. 12. 在三棱锥中，已知底面分别是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，一定为直角三角形 B. 当时，一定为直角三角形 C. 当平面时，一定为直角三角形 D. 当平面时，一定为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线垂直、线面垂直、线面平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于底面，底面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以. A选项，当时，由于平面， 所以平面，由于平面， 所以，所以是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，若， 则由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 则由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 这与矛盾，所以与不垂直， 当与点重合时，如下图所示， 由于，所以与平面不垂直，则与不垂直， 同时，与不垂直，则与平面不垂直，则与不垂直 所以不一定是直角三角形，B选项错误. C选项，当平面时，由于平面， 平面平面，所以， 所以平面，由于平面， 所以，所以是直角三角形，C选项正确. D选项，当平面时，由于平面， 所以，由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 所以是直角三角形，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】要证明线线垂直，可通过线面垂直来证明；要证明线面垂直，可通过线线垂直来证明.如果题目已知直线和平面平行，那么根据线面平行的性质定理，可得到直线与平面的某些直线平行. 三、填空题（共4小题，每小题5分） 13. 已知是虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】先化简复数，再由共轭复数和复数的几何意义求解即可. 【详解】因为， 所以其共轭复数， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故答案为：一. 14. 已知向量是一个基底，实数x，y满足，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用平面的基底不共线得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因是一个基底，故与不共线， 由平面向量基本定理得，解得， 则. 故答案为：3. 15. 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得平面平面，且三棱锥和三棱锥高之比也为，又，利用体积公式即可得解. 详解】如题干图，， 可证ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′. 所以平面平面 三棱锥和三棱锥高之比也为， 由等角定理得∠CAB=∠C′A′B′，∠ACB=∠A′C′B′， 所以△ABC∽△A′B′C′， 由， 可得， 所以=. 故答案为： 16. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台可确定为等腰梯形，进而可得台体的高和体积. 【详解】 由为正四棱台可知四边形为等腰梯形， 且，， 所以， 所以四棱台的体积， 故答案为：. 四、解答题（共6小题） 17. 如图，在四面体中，分别是棱的中点．求证： （1）平面； （2）四边形为平行四边形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由（1）可得，即可证明四边形为平行四边形． 【小问1详解】 因为分别是的中点， 所以， 所以, 又平面平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）知，,所以四边形为平行四边形． 18. （1）设向量，求； （2）已知向量不共线，且．若，则的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）运用向量的线性坐标运算即可； （2）根据向量共线定理可解. 【详解】（1）； （2）由于，所以存在，使得， 即， 所以，解得． 19. 如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3， （1）求该圆柱的体积和表面积 （2）直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积 【答案】（1）体积为，表面积为； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆柱体积公式可得体积，由侧面积公式先求侧面积，表面积为侧面积加上两个底面积可得； （2）先求圆锥母线长，再由侧面积公式可得. 【小问1详解】 圆柱的底面半径，母线长，即高， 体积， 表面积. 【小问2详解】 由题意，圆锥母线， 所得圆锥的侧面积为. 20. 已知为z的共轭复数，若，求z. 【答案】或 【解析】 【分析】由复数的乘法公式及复数相等的充要条件求解. 【详解】解：设（a、）， 则（a、）. 由题意得，即， 则有解得或 所以或. 21. 已知，与的夹角为 （1）求与的值； （2）若与的夹角为钝角，求x的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量乘法以及模长公式即可求解； （2）根据向量夹角为钝角列不等式即可求解. 小问1详解】 因为与的夹角为，所以, , . 【小问2详解】 因为与的夹角为钝角， 所以， 即，又当时，与反向， 所以若与的夹角为钝角，的取值范围是． 22. △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由于2bcosC+c=2a，是关于边的一次齐次式，所以用正弦定理把边化为角，可得到，．（2）由（1）中和，可知A，B角已知，同时根据三角形内角为，也可以sinC,所以，可解． 试题解析：（Ⅰ）在△ABC中，∵2bcosC+c=2a， 由正弦定理，得2sinBcosC+sinC=2sinA， ∵A+B+C=π， ∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，… ∴2sinBcosC+sinC=2（sinBcosC+cosBsinC）， ∴sinC=2cosBsinC， ∵0＜C＜π，∴sinC≠0， ∴， ∵0＜B＜π，∴． （Ⅱ）∵三角形ABC中，， ∴， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$