精品解析：云南省昆明市官渡区尚品书院学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

尚品书院2023-2024学年上学期期中高二数学试题 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若直线l的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数x的值是 A. 1 B. 5 C. ﹣1 D. ﹣5 2. 在正方体中，，，，分别为，，，的中点，下列结论中，错误的是（ ） A. B. 平面 C. D. 3. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线：，则 C. 点到直线的距离是 D. 过与直线平行的直线方程是 4. 直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若椭圆的右焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 4 8. 已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是 A. B. -1 C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. 直线平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离是 10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 11. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 12. 过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则（ ） A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程 C. 过焦点且长度为的弦有条 D. 过焦点且长度为的弦只有一条 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为______． 14. 若直线被圆截得线段的长为4，则实数的值为______________． 15. 直线与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________. 16. 已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为_____ 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，底面ABCD是边长为1的菱形，，底面ABCD，，M为OA的中点，N为BC的中点． （1）证明：直线平面OCD； （2）求异面直线AB与MD所成角的大小． 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知两直线和的交点为． （1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 20. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 21. 已知椭圆的一个顶点为，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值. 22. 已知椭圆C: 的左,右焦点分别为且椭圆上的点到两点的距离之和为4 (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尚品书院2023-2024学年上学期期中高二数学试题 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若直线l的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数x的值是 A. 1 B. 5 C. ﹣1 D. ﹣5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出的值. 【详解】因为直线平面，所以， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若则有，若则有. 2. 在正方体中，，，，分别为，，，的中点，下列结论中，错误的是（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量与线面关系即可判断. 【详解】如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， ，，， ，，因为，所以与不垂直，A错误； 因为平面//平面，且平面，所以平面，B正确； ，，， ，，因为，所以，C正确； ，，，，所以，D正确. 故选：A. 3. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线：，则 C. 点到直线的距离是 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【解析】 【分析】求解直线的倾斜角判断A，B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D. 【详解】对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误； 对于，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，B错误； 对于，点到直线的距离为，C错误； 对于，设与直线平行的直线方程为，因为它过， 所以 过与直线平行的直线方程是，D正确， 故选：D． 4. 直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，进而求出圆的方程. 【详解】依题意，点，线段中点为，且， 所以以线段为直径的圆的方程为，即. 故选：A 5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 6. 若椭圆的右焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据椭圆定义，直接求的周长. 【详解】由椭圆方程可知 根据椭圆的定义可知，， 的周长为. 故选：B 【点睛】本题考查椭圆定义，重点考查理解能力，属于基础题型. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积. 【详解】解：由题意可得，，则，. 因为， 所以，， 所以，则， 故的面积是， 由对称性可知的面积是. 故选：B. 【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题. 8. 已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是 A. B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意知，直线y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率． 【详解】 ∵椭圆的方程为，作图如右图： ∵椭圆的焦距为2c， ∴直线 y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），又直线y=(x+c)与椭圆交于M点， ∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1， ∴∠MF2F1=30°， ∴∠F1MF2=90°． 设|MF1|=x，则 ，|F1F2|=2c=2x，故x=c． ∴ ， 又|MF1|+|MF2|=2a， ∴2a=（ +1）c， ∴该椭圆的离心率 故选B． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0）是关键，属于中档题． 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. 直线平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得到为等边三角形，又为的中点，即可判断A；利用线面平行的判定定理证明B；用线面角的定义可知为所求角，进而求得其正切值，即可判断C；利用等体积法判断D． 【详解】解：对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确； 对于B，取中点，连接，，，可知且， 又且， 所以且，所以四边形是平行四边形，， 又平面，平面，平面，故B正确； 对于C，取的中点，连接，则，因为平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 所以，故C错误； 对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确； 故选：ABD 10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 11. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出. 【详解】圆的圆心坐标，半径 圆 ，即的圆心坐标，半径 ∴圆心距 又在圆上，在圆上 则的最小值为，最大值为． 故A、B正确； 两圆圆心所在的直线斜率为，C正确； 圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误. 故答案为：ABC 12. 过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则（ ） A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程 C. 过焦点且长度为的弦有条 D. 过焦点且长度为的弦只有一条 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意和椭圆的性质求出椭圆的标准方程，即可判断AB；设直线方程，联立椭圆方程，利用代数法求出弦长即可判断C；结合椭圆长轴的定义即可判断D. 【详解】因为过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为， 所以，且，得， 则，解得 因此椭圆的方程为，因此A错误，B正确； 因为过焦点且长度为的弦所在直线的斜率显然存在，且不为， 所以设直线的方程为，直线与椭圆交于，， 则． 由，得， ，，， 则， 由，得，即， 即直线的方程为，因此C正确； 因为椭圆的长轴长为，而， 所以过焦点且长度为的弦不存在，因此D错误． 故选：BC． 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将表示为，然后根据向量的数量积运算结合长度和角度求解出，则结果可求. 【详解】因为， 所以 ， 所以，所以的长为， 故答案为：. 14. 若直线被圆截得线段的长为4，则实数的值为______________． 【答案】7 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解. 【详解】把圆：化为标准方程有：， 可得，即， 所以圆心，半径，又直线：， 所以圆心到直线的距离为， 因为直线：被圆：截得线段的长为4， 根据勾股定理有：，解得， 所以，解得. 故答案为：7. 15. 直线与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程可知直线恒过点，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出，再结合图形求出当直线经过点，时，实数的取值，即可的的取值范围． 【详解】解：如图， 由题知曲线即，表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线上方， 直线恒过点， 因为直线与曲线只有一个交点， 由圆心到直线的距离等于半径得，解得， 由图，当直线经过点时，直线的斜率为， 当直线经过点时，直线的斜率不存在， 综上，实数的取值范围是，或， 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题 16. 已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】 设，，根据椭圆的定义和勾股定理求出，再根据三角形的面积公式可求得结果. 【详解】由得，，所以，， 所以， 设，，所以， 所以， 因为，所以 所以，所以， 所以的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义和勾股定理求解是解题关键. 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，底面ABCD是边长为1的菱形，，底面ABCD，，M为OA的中点，N为BC的中点． （1）证明：直线平面OCD； （2）求异面直线AB与MD所成角的大小． 【答案】（1） 取中点，连接，． 由M为OA的中点， ，而， , 平面，故平面， 又N为BC的中点，， 平面，故平面， 而 平面MNE, 平面平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，．利用三角形的中位线定理和菱形的性质可得，，利用面面平行的判定定理得到平面平面，进而得到平面． （2）由于，可得或其补角为异面直线与所成的角．作于，连接，在 中求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 或其补角为异面直线与所成的角． 作于，连接， 平面，平面， 故, 又 平面OAP, 故平面OAP，而平面OAP ， ， ，，而 , 故， ，则， 与所成角的大小为． 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 在四棱柱中，因侧棱底面，，则以点A为坐标原点， 射线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，，， 因为，分别为，的中点，则，，即， 显然是平面的一个法向量，于是得：， 因此，平面，而平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据给定条件，以点A为坐标原点，射线AC，AB，AA1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，再借助空间向量即可得证. (2)在(1)的坐标系中，求出平面与平面的法向量即可计算得解. (3)利用(2)的结论借助空间向量即可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)可知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 于是得， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由(2)知，平面的法向量为， 又， 设点到平面的距离为，则， 所以点到平面的距离为. 19. 已知两直线和的交点为． （1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）联立求出，根据平行关系，设出直线为，代入点，得到，求出答案； （2）设圆的标准方程，将与代入，得到方程组，并根据相切关系得到关于斜率的方程，联立求出，求出答案. 【小问1详解】 直线与直线平行，故设直线为， 联立方程组，解得． 直线和的交点． 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为． 【小问2详解】 设所求圆的标准方程为， 的斜率为，故直线的斜率为1， 由题意可得 解得 故所求圆的方程为． 化为一般式：． 20. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. 【小问3详解】 由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 21. 已知椭圆的一个顶点为，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得求出，从而可求得椭圆的方程， （2）设，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系数的关系求出，由可得，代入进而可求出的值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为. 由题意得 解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由得. 由，解得. 设，，则， 所以， ， 因为，所以， 则，则， 则， 解得：或. 当时，直线过点，则不满足. 所以. 22. 已知椭圆C: 的左,右焦点分别为且椭圆上的点到两点的距离之和为4 (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由 【答案】（1）；（2）定值1 【解析】 【分析】（1）由已知求得，又点在椭圆上，代入求得，即可得到椭圆的方程； （2）设，联立方程组，求得，又由直线的斜率之积等于，化简求得，再由弦长公式和面积公式，即可求解. 【详解】（1）由已知，即，又点在椭圆上， 所以，所以，故椭圆方程为. （2）设， 由，得， 则，即， 且， 因为直线的斜率之积等于， ， 所以， 即， 又到直线MN的距离为， 所以. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $