2.2.1 直线的点斜式方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.2.1　直线的点斜式方程 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.理解并掌握直线的点斜式和斜截式方程的一般形式,并会用它们求直线的方程; 2.理解直线的斜截式与一次函数的关系. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 直线的点斜式方程 名称 已知条件 图示 方程 适用范围 点 斜 式 直线l的斜率为k,且l过已知点P0(x0,y0),P(x,y)为l上不同于P0的任意点 　   斜率存在 y-y0=k(x-x0) 名师点睛 1.直线的点斜式方程的几点说明: (1)应用条件:①过一个定点P(x0,y0);②存在斜率k. (2)局限性:直线的点斜式方程只表示斜率存在的直线,斜率不存在的直线不能使用点斜式. (3)方程特点:当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0,y0)的无数条直线. 2.经过坐标平面内定点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线方程为y-y0=k(x-x0);②斜率不存在的直线方程为x=x0. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)方程y=k(x-2)表示通过点(2,0)的所有直线.(　　) (2)若一条直线不与坐标轴平行或重合,一定可以写成点斜式的形式.(　　) (3)直线的点斜式方程也可写成 =k.(　　) × √ × 2.过点P(x0,y0),斜率为k的两条直线 =k与y-y0=k(x-x0)有区别吗? 提示有区别,前者表示的直线上缺少一个点P0(x0,y0),后者是整条直线的方程. 知识点2 直线的斜截式方程 名称 已知条件 图示 方程 适用范围 斜截 式 斜率k和直线在y轴上的截距b (说明:点斜式的特殊情况) 　　 　  斜率存在 y=kx+b 名师点睛 1.斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在,几种特例如下: b=0 y=kx表示过原点的直线 k=0,b≠0 y=b表示与x轴平行的直线 k=0,b=0 y=0表示x轴 2.直线方程的斜截式与一次函数解析式的关系 (1)斜截式方程中,k≠0时,y=kx+b即为一次函数:k=0时,y=b不是一次函数. (2)一次函数y=kx+b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程. 3.点斜式与斜截式的关系 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b),它们都不能表示斜率不存在的直线. (2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,是推导其他形式的基础. (3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,由于点的坐标不同,因此点斜式的形式也不唯一,而斜截式的形式是唯一的. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)y=kx(k≠0)不是斜截式.(　　) (2)直线y=x在坐标轴上没有截距.(　　) (3)一次函数的解析式既不能表示垂直于x轴的直线,也不能表示垂直于y轴的直线.(　　) 2.直线在坐标轴上的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离吗? × √ × 提示由于截距可能是正数,也可能是负数,还可能是0,因此直线在坐标轴上的截距的绝对值才是直线与坐标轴的交点到原点的距离. 3.所有的直线都有截距吗? 提示不是每条直线都有截距,如直线x=1在y轴上没有截距,直线y=2在x轴上就没有截距. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 直线的点斜式方程 【例1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程 分析先判断直线的斜率是否存在,然后利用点斜式写方程. 解 由题意,知直线的斜率 ,故所求直线的方程为y-4=-(x+1). (2)经过点B(-1,-1),与x轴平行; 解 因为直线与x轴平行,所以直线的倾斜角为0,斜率k=0,所以直线方程为y+1=0×(x+1),即y=-1. (3)过点C(-1,2),且与y轴平行; (4)过D(-2,3),Q(5,-4)两点. 解 因为直线与y轴平行,斜率不存在,所以直线的方程不能用点斜式表示. 由于直线上所有点的横坐标都是-1,故这条直线的方程为x=-1. 解 过点D(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率kDQ= =-1. 又直线过点D(-2,3), 故直线的点斜式方程为y-3=-(x+2). 规律方法　求直线的点斜式方程的方法步骤 变式训练1 写出下列直线的点斜式方程. 探究点二 直线的斜截式方程 【例2】 求下列直线的斜截式方程. (3)经过点A(2,6),在x轴上的截距为3; (4)经过点(2,0)且在y轴上的截距为4. 分析根据题意,求出直线的斜率以及直线在y轴上的截距,利用斜截式写出方程. 因为直线与y轴的交点到原点的距离为4, 所以直线在y轴上的截距为b=4或b=-4, 故所求直线方程为y=x+4或y=x-4. (3)(方法1)由题知直线的斜率存在, 设直线方程为y=k(x-3),因为点A(2,6)在直线上, 所以k=-6,所以y=-6×(x-3)=18-6x, 故所求直线的斜截式方程为y=-6x+18. (方法2)由于直线过点A(2,6)和点(3,0), 由直线的点斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x, 故所求直线的斜截式方程为y=-6x+18. (4)(方法1)因为直线在y轴上的截距为4,且直线的斜率存在,因此设直线方程为y=kx+4. 由直线过点(2,0)可知,0=2k+4,解得k=-2,因此直线的斜截式方程为y=-2x+4. (方法2)依据题意得,直线过点(2,0),(0,4),因此直线的斜率为k= =-2. 所以直线的斜截式方程为y=-2x+4. 规律方法　求直线斜截式方程的方法 直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,因此要求斜截式方程,只需要确定k,b的值即可. 变式训练2 (1)过点(4,-3)的直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等,求直线l的斜截式方程. (2)求斜率为 ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形的直线l的斜截式方程. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)点斜式方程; (2)斜截式方程. 2.方法归纳:公式法、待定系数法求直线的点斜式方程、斜截式方程. 3.注意事项:点斜式方程不包括与x轴垂直的直线,直线的截距是直线与坐标轴交点坐标中非0的那个数值,可正,可负,可以为0. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 1.下列方程是斜截式方程的是(　　) A.x-y+1=0 B.y-2=3(x-1) C.y=-2x-1 D.x=1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.直线2x+y-3=0用斜截式表示,下列表达式中,正确的是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为 ,则直线l的方程为(　　) A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0 A 解析 由题知,直线l的点斜式方程为 ,整理得直线l的方程为3x+4y-14=0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.直线y-b=2(x-a)在y轴上的截距为(　　) A.a+b B.2a-b C.b-2a D.|2a-b| C 解析 由y-b=2(x-a),得y=2x-2a+b,故直线在y轴上的截距为b-2a.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.若直线通过(1,1)点,则m=　　　　　.  -1 解析 利用直线的斜截式方程可得方程为y=2x+m. 将点(1,1)代入直线y=2x+m,得1=2+m,解得m=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 B 解析 由 可知,a≠0,且斜率和在y轴上的截距一定异号,故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.已知m≠0,直线ax+3my+2a=0在两坐标轴上的截距之和为2,则直线的斜率为(　　) D 解析 由题可得a≠0. 令x=0,得 ,令y=0,得x=-2. 因为直线在两坐标轴上的截距之和为2,所以 +(-2)=2,所以a=-6m. 将a=-6m代入直线可得-6mx+3my-12m=0,化简可得y=2x+4,故直线的斜率为2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.（多选题）若直线l经过点A(1,2),且在x轴上的截距的取值范围是(3,5),则其斜率的取值范围是(　　) AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知直线l的方程为 ,且l的斜率为a,在y轴上的截距为b,则|a+b|=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的斜截式方程为　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程. 解 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,经检验,符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 14.已知过定点(2,1)作直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4,符合条件的直线条数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.0 B 解析 由题意可知,直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ①当k<0时,可得(2k-1)2+8k=0,即4k2+4k+1=0,Δ1=0,有1个实根; ②当k>0时,可得(2k-1)2-8k=0,即4k2-12k+1=0,Δ2=144-16=128>0,有2个实根. 综上所述,符合条件的直线l有3条.故选B. (1)过点A(-1,4),倾斜角为; k=tan=-1 (1)经过点A(3,-1),斜率是; (2)经过点D(-4,-2),倾斜角是. 解 因为直线经过点A(3,-1),斜率是,所以直线的点斜式方程为y+1=(x-3). 解 因为直线的倾斜角是,所以斜率为k=tan=-,所以经过点D(-4,-2),且倾斜角是的直线的点斜式方程为y+2=-(x+4). (1)倾斜角为直线y=-x+5的倾斜角的一半,直线在y轴上的截距为-2; (2)倾斜角为,与y轴的交点到坐标原点的距离为4; 解 (1)因为直线y=-x+5的斜率为-,所以其倾斜角为, 故所求直线的倾斜角为,其斜率为k=tan. 又b=-2,所以直线方程为y=x-2. (2)因为直线的倾斜角为,所以其斜率k=tan=1. 则直线的斜率k==-6, 解 依条件设直线l的点斜式方程为y+3=k(x-4). 令x=0,得y=-4k-3;令y=0,得x=. 因为l在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|-4k-3|=,即k(4k+3)=±(4k+3). 解得k1=1,k2=-1,k3=-. 故所求直线l的斜截式方程为y=x-7或y=-x+1或y=-x. 解 设直线方程为y=x+b,则当x=0时,y=b;y=0时,x=-6b. 由已知可得·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1. 故所求直线l的斜截式方程为y=x+1或y=x-1. A.=1 B.y=-2x+3 C.y-3=-2(x-0) D.x=-y+ - y-5=-(x+2) 6.[2024甘肃武威高二期末]将直线y=x+-1绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是　　　　　　　　.  y=x 解析 直线y=x+-1的斜率k1=1,倾斜角α1=45°, 绕直线上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角α2=45°+15°=60°,斜率k2=tan 60°=,∴旋转后得到的直线方程为y-(x-1),即y=x. 7.直线y=ax-的图象可能是(　　) y=ax- 8.过点(1,0)且与直线y=x-1的倾斜角相同的直线方程是(　　) A.y=x- B.y=x+ C.y=-2x+2 D.y=-x+ 解析 由题可得,与直线y=x-1的倾斜角相同的直线方程的斜率为k=. 又该直线过点(1,0),因此所求直线的方程为y-0=(x-1),即y=x-,故选A. A.1 B.- C.- D.2 y=- - A.(-1,-) B.(-,0) C.(-∞,-1)∪(,+∞) D.(-∞,-1)∪(-,+∞) y+1=(x-) 解析 由直线l的方程可得a=. 令x=0,得y=-2,即b=-2,所以|a+b|=. y=x- 解析 由题意知,直线l的斜率为,故设直线l的斜截式方程为y=x+b,则直线l在x轴上的截距为-b,在y轴上的截距为b,故-b-b=1,解得b=-. 因此直线l的斜截式方程为y=x-. 令y=0得,x=. 由三角形的面积为2,得×2=2.解得k=. 故可得直线l的方程为y-2=(x-2). 综上可知,直线l的方程为x=2或y-2=(x-2). 在直线l的方程中,令x=0,可得y=1-2k;令y=0,可得x=. 所以直线l交x轴于点(,0),交y轴于点(0,1-2k). 由题意可得·|1-2k|=4, 即=8. $$