2.2.4 直线的方向向量与法向量 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.2.4　直线的方向向量与法向量 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.掌握直线的方向向量与法向量的概念; 2.能够利用直线的方向向量与法向量求直线的方程. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 直线的方向向量 我们把与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量.斜率为k的直线的方向向量为(1,k)的　　　 　　　.  只需要共线即可,不必考虑方向 非零实数倍 名师点睛 1.直线的方向向量可以用来表示直线的方向,并且直线的方向向量并不是唯一的. 2.(B,-A)只是直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量,所有与(B,-A)共线的方向向量都是直线的方向向量. 3.平行于x轴的直线或x轴所在直线的一个方向向量的特征是(t,0)(t≠0),平行于y轴的直线或y轴所在直线的一个方向向量的特征是(0,t)(t≠0). 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是直线l上的不同两点,则直线l的方向向量是 (cos θ,sin θ).(　　) (3)直线l的一个方向向量是t=(u,v),则λt也是直线的方向向量.(　　) × √ × 2.若直线l的一个方向向量是(u,v),直线的斜率一定存在吗?若存在,如何求直线的斜率? 提示当u=0时,直线的斜率不存在,当u≠0时,斜率为k= . 知识点2 直线的法向量 与直线l　　　　　的非零向量n=(A,B)称为直线l的一个法向量.若点P(x0,y0)是直线l上的定点,向量n=(A,B)是直线l的一个法向量,则直线l的方程是A(x-x0)+B(y-y0)=0.  非零向量,且有无数个 此方程称为直线的点法式方程 名师点睛 直线l的一个法向量垂直于直线l上的全体向量(包括方向向量). 垂直 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)直线的法向量也是确定直线位置的几何要素.(　　) (2)直线的法向量确定后,直线的斜率也就确定了.(　　) (3)若直线的一个法向量是n=(A,B)时,其斜率为k=- .(　　) 2.为什么当直线的一个法向量是n=(A,B)时,向量m=(-B,A)或m=(B,-A)就是直线的一个方向向量? × √ √ 提示由直线的法向量与方向向量是互相垂直的性质以及n·m=0可知向量m=(-B,A)或m=(B,-A)就是直线的一个方向向量. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 直线的方向向量与法向量 【例1】 已知直线经过两点A(2,4),B(a,5),且直线的一个方向向量是(1,-1),求直线的倾斜角与a的值. 分析 根据方向向量与斜率的关系求出斜率后,根据斜率求倾斜角,再结合斜率公式求a的值. 变式探究1 若直线经过两点A(2,4),B(a,5),且直线的一个方向向量是m=(0,1),求实数a的值. 解 由直线的一个方向向量是m=(0,1)可知直线的斜率不存在,因此直线与x轴垂直,由A(2,4),B(a,5),可知a=2. 变式探究2 若直线经过两点A(2,4),B(a,5),且直线的一个法向量是n=(-1,3),求实数a的值. 解 由直线的一个法向量是n=(-1,3)可知直线的一个方向向量是m=(3,1),因此直线的斜率是 ,解得a=5. 规律方法　根据直线的方向向量与法向量求斜率的方法 若直线的一个方向向量是n=(a,b),则直线的一个法向量是m=(-b,a)或m=(b,-a).若a≠0,则直线的斜率k= ;当a=0时,直线的斜率不存在. 探究点二 直线的方向向量与法向量的应用 【例2】 已知A(-1,2),直线l:4x-3y+9=0. (1)求直线l的一个方向向量; (2)过点A且与直线l平行的直线方程; (3)过点A且与直线l垂直的直线方程. 解 (1)由题知,直线l的斜率k= ,所以直线l的一个方向向量u=(3,4). (2)设P(x,y)是过点A且与直线l平行的直线上的一动点,则 =(x+1,y-2), 当且仅当u∥ ,即3×(y-2)-4(x+1)=0时,所求直线与直线l平行, 整理得4x-3y+10=0,即过点A且与直线l平行的直线方程为4x-3y+10=0. (3)设Q(x,y)为所求直线上不同于点A的一动点,则 =(x+1,y-2).设点Q在过点A且垂直于l的直线上,则u· =0,即3(x+1)+4(y-2)=0,整理得3x+4y-5=0,即过点A且与直线l垂直的直线方程为3x+4y-5=0. 规律方法　利用方向向量及法向量求直线方程 已知直线l的一个方向向量为m=(a,b),点Q(x1,y1)为直线上的动点,求直线l有关的方程的方法.其中P(x,y)是所求直线上的动点. 条件 方法 结论 过点P与直线l平行 ∥m a(y-y1)-b(x-x1)=0 过点P与直线l垂直 ·m=0 a(x-x1)+b(y-y1)=0 变式训练 过点A(-2,1),求满足下列条件的直线的方程. (1)方向向量a=(3,1); (2)法向量b=(-1,2). 解 设P(x,y)为所求直线上不同于点A的任意一点, ∵A(-2,1),∴ =(x+2,y-1). (1)由题意知 ∥a,∴(x+2)×1-3(y-1)=0,即x-3y+5=0,故所求直线方程为x-3y+5=0. (2)由题意,知 ⊥b, ∴(x+2)×(-1)+(y-1)×2=0,即x-2y+4=0, 故所求直线方程为x-2y+4=0. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的方向向量; (2)直线的法向量; (3)直线的点法式方程. 2.方法归纳:根据直线的方向向量求直线的斜 率,利用向量共线或垂直的坐标运算求直线的方程. 3.注意事项:直线的方向向量与法向量均有无数个,根据含参数的直线的方向向量求直线的斜率时,要注意方向向量的横坐标是否为0. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1.直线l:x+2y-3=0的一个方向向量为(　　) A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,2) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线方程是(　　) A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0 A 解析 ∵直线的方向向量为(1,2),∴直线的斜率k=2.∴直线的方程为 y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若直线l经过点A(-1,4),B(3,2),则直线l的一个法向量n=(　　) A.(1,-2) B.(4,-2) C.(4,2) D.(1,2) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.过点A(2,3),且法向量为向量a=(2,1)的直线方程为(　　) A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 A 解析 设P(x,y)是所求直线上除点A外任一点,则 ⊥a, ∵ =(x-2,y-3),∴2(x-2)+(y-3)=0,即2x+y-7=0.经检验,点A在直线2x+y-7=0上,故直线方程为2x+y-7=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知点P(2,3),Q(5,t)在直线l上,且直线l的一个方向向量是v=(1,2),则t=　　　　　.  9 解析 由直线l的一个方向向量是v=(1,2),可知直线l的斜率为k=2,因此 =2,解得t=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若直线l的倾斜角为 ,则直线l的一个方向向量d可以是　　　　　(只需填写一个).  (1,-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知直线m的一个方向向量为v=(3, ),直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l的点斜式方程. (1)过点P(3,-4); (2)与y轴的交点为(0,-3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知直线l:mx+2y+6=0,且向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,则实数m的值为(　　) A.-1 B.1 C.2 D.-1或2 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多选题)下列说法正确的是(　　) C.若直线的斜率为k,则直线l的一个方向向量为d=(k,k2) D.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线的一个法向量为t=(-v,u) BD 解析 当u=0时,斜率不存在,故A错误;由方向向量与斜率的关系,可知B正确; 当k=0时,方向向量为零向量,故C错误; 由于d·t=-uv+uv=0,故D正确. 故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知△ABC的顶点C的坐标为(1,1),AC所在直线的方向向量为(1,2),AC边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0,则点A的坐标为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若一条直线的斜率为k,则该直线的一个方向向量是　　　　　,一个法向量是　 .  (1,k) (k,-1) 解析 因为直线的斜率为k,所以它的一个方向向量为(1,k),设直线的一个法向量为(x,y),则(x,y)·(1,k)=x+ky=0,不妨取x=k,y=-1,则它的一个法向量是 (k,-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知两条直线l1:ax-2y-3=0,l2:4x+6y-3=0,若直线l1的一个法向量恰为直线l2的一个方向向量,则a=　　　　　.  3 解析 因为直线l1:ax-2y-3=0的一个法向量恰为直线l2:4x+6y-3=0的一个方向向量,所以l1⊥l2.直线l1的一个法向量为(a,-2),直线l2的一个法向量为(4,6),所以a×4+(-2)×6=0,解得a=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(4,-1),C(6,5).求: (1)AB边所在直线的一个方向向量与一个法向量; (2)AB边的中垂线的一般式方程. 解 (1)由A(1,2),B(4,-1)知,AB边所在直线的一个方向向量是 =(3,-3). 故AB边所在直线的一个法向量为(3,3).(答案不唯一) 整理得AB边的中垂线的一般式方程是x-y-2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知直线l:(a2-2a+4)x-ay-3=0. (1)若直线l过点A(1,0),试写出直线l的一个方向向量; (2)若实数a≠0,求直线l斜率的取值范围. 解 (1)把A(1,0)的坐标代入直线l的方程得a2-2a+1=0,解得a=1,此时直线l的方程为3x-y-3=0,故直线l的一个方向向量为(1,3).(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 16.(多选题)已知经过坐标平面内A(1,2),B(-2,2m-1)两点的直线的方向向量为(1,sin α),则实数m的值可以为( 　　) A.-1 B.0 C.2 D.3 BCD 解析 由题意知直线的斜率一定存在,设直线AB的斜率为k,由A(1,2), B(-2,2m-1)两点知k= ,由直线的方向向量为(1,sin α),可得k=sin α. 因为-1≤sin α≤1,所以k∈[-1,1],即-1≤ ≤1,解得0≤m≤3.则实数m的值可以为0,2,3,故选BCD. .(　　) (2)若是直线l的方向向量,且||=1,则直线l的一个方向向量可以是 解 由直线的一个方向向量是(1,-1)知,kAB=-1.因此直线的倾斜角是.由直线的斜率公式可得kAB=,即=-1,解得a=1. k=,由 解析 由题知,直线l的斜率为k=,设直线l的方向向量为(x,y),则,只有A项满足. 解析 因为A(-1,4),B(3,2),所以=(4,-2). 若n=(1,-2),则·n=4+4=8≠0,不满足; 若n=(4,-2),则·n=16+4=20≠0,不满足; 若n=(4,2),则·n=16-4=12≠0,不满足; 若n=(1,2),则·n=4-4=0,满足. 故选D. 解析 设直线l的一个方向向量d=(x,y),因为直线l的倾斜角为,所以直线l的斜率k=tan=-1,故=-1. 令x=1,则y=-1,故方向向量d可以是(1,-1). 解 (1)∵直线m的一个方向向量为v=(3,), ∴直线m的斜率为,则直线m的倾斜角为30°, 则直线l的倾斜角为60°,即直线l的斜率为tan 60°=. ∵直线l过点P(3,-4), ∴直线l的点斜式方程为y-(-4)=(x-3). (2)由(1)知直线l的斜率为. ∵直线l与y轴的交点为(0,-3), ∴直线l的点斜式方程为y-(-3)=(x-0). 解析 由题可得,=-,解得m=-1或m=2. A.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线l的斜率为 B.若直线的斜率为,则直线l的一个方向向量为d=(u,v) 10.(多选题)已知直线l的一个方向向量为u=,且直线l经过点(1,-2),则下列结论正确的是(　　) A.直线l的倾斜角等于120° B.直线l与x轴的交点坐标为 C.直线l与直线y=x+2垂直 D.直线l与直线y=-x+2平行 解析 因为直线l的一个方向向量为u=,所以直线l的斜率 k==-,则得直线l的倾斜角为120°,故A正确; 直线l的方程为y+2=-(x-1),当y=0时,x=1-,即直线l与x轴交于点 ,故B不正确; 直线y=x+2的一个法向量为(,-1),则+(-1)×=-1≠0,即直线l与直线y=x+2不垂直,故C不正确; 直线y=-x+2的斜率为-,直线l的斜率为-,且两条直线在y轴上的截距不相等,则直线l与直线y=-x+2平行,故D正确. A. B. C. D. (2)设线段AB的中点为M,则点M. 设AB边的中垂线的一个方向向量为d,则d⊥. 因为=(3,-3),所以取d=(1,1),则中垂线斜率为k=1,则可得中垂线的方程为 y-=1×. (2)设直线l的斜率为k,因为a≠0,所以直线l的斜率k==a+-2,所以当a>0时,k=a+-2≥2-2=2,当且仅当a=2时,等号成立; 当a<0时,k=--2≤-2-2=-6,当且仅当a=-2时,等号成立. 综上,直线l斜率的取值范围为(-∞,-6]∪[2,+∞). $$