2.4 点到直线的距离 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.4　点到直线的距离 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.掌握平面上两点间的距离公式; 2.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题; 3.会求两条平行直线的距离. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 两点间的距离 在平面直角坐标系中,已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),则平面内任意两点间的距 离公式|AB|=　　　　　　　　　　　.  两点具有任意性 名师点睛 当两点A(x1,y1),B(x2,y2)中x1=x2时,直线AB∥y轴,此时|AB|=|y1-y2|;y1=y2时,直线AB∥x轴,此时|AB|=|x1-x2|. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=|y1-y2|,则必有x1=x2.(　　) (2)若点P(x,y),则 =1表示点P(x,y)到原点的距离为1.(　　) 2.已知点A(3,5),B(3,t),若|AB|=2,则t=　　　　　.  √ √ 3或7 解析 由题可知直线AB∥y轴,则|AB|=|t-5|=2,解得t=7或t=3. 知识点2 点到直线的距离 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)的距离d=　　 　　　.  直线方程必须为一般式 名师点睛 1.过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离. 2.当直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式仍然成立. 3.点P(x0,y0)到直线x=a的距离是d=|x0-a|,点P(x0,y0)到直线y=b的距离是d=|y0-b|. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)使用点到直线的距离公式解题时,若求出点到直线的距离为0,则点在直线上.(　　) (2)若点P(x0,y0)到直线Ax+y-t=0的距离是d=|y0-t|,则A=0.(　　) (3)使用点到直线的距离公式时,直线方程可以是任何形式.(　　) 2.已知点P(x0,y0),则|3x0+4y0+1|的几何意义是什么? √ √ × 提示点P(x0,y0)到直线3x+4y+1=0距离的5倍. 知识点3 两条平行直线之间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不全为0)之间的距离 d=　　　　　.  名师点睛 两条平行线之间的距离就是分别在两平行线上的两点之间距离的最小值,也可以看作是夹在两条平行直线间的公垂线段的长度. 两直线的x,y对应系数相等 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两条平行线x-y+2=0与2x-2y+5=0之间的距离是d= .(　　) (2)当两条垂直于x轴的平行线x=a,x=b之间的距离为d=a-b.(　　) 2.直线y=2与y=t之间的距离是3,则t=　　　　　　.  3.分别过点A(-2,1)和点B(6,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是　　　　　.  × × 5或-1 解析 由|t-2|=3可得t=5或t=-1. 8 解析由题得分别过点A和点B的两条直线为x1=-2,x2=6,则两条直线间的距离是d=|6-(-2)|=8. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 两点间的距离公式 【例1】 已知点A(-1,2),B(2, ),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 分析 设出x轴上点的坐标,结合|PA|=|PB|,利用两点间的距离公式,建立方程求解. 规律方法　已知平面上两点的坐标求两点之间的距离时,可以直接利用两点间的距离公式求解. 变式训练 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,5),B(1,4),C(4,1).计算三边的长度并判断三角形的形状. ∵|AB|2+|AC|2≠|BC|2,|AB|=|AC|, ∴△ABC为等腰三角形. 探究点二 点到直线的距离公式 B (2)过点A(-1,2),原点到直线的距离等于1的直线方程为 　 .  3x-4y+5=0或x=-1 解析 当直线的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0. 当直线的斜率不存在时,直线x=-1,满足题意. 综上,所求直线的方程为3x+4y-5=0或x=-1. 变式探究1 本例中的(1)若改为“点P(x,y)是直线3x+4y+3=0上的动点”,求x2+y2的最小值. 变式探究2 本例中的(2)改为“原点到过点A(-1,2)的直线的距离最大的直线方程”,求此直线方程. 解 (方法1)根据题意得,当所求直线与直线OA垂直时,原点到所求直线的距离最大.因为直线OA的斜率为k=-2,因此所求直线的斜率为k= ,故直线方程为y-2= (x+1),整理可得x-2y+5=0. (方法2)当过点A的直线斜率不存在时,直线方程是x=-1,此时原点到该直线的距离是d=1; 当直线的斜率存在时,设所求直线的方程为y-2=k(x+1),化成一般式为kx-y+2+k=0. 规律方法　应用点到直线的距离的易错点 (1)直线方程必须化为一般式方程;(2)求解一点到过定点的直线的距离时,不要忘记过定点的直线斜率不存在的情况. 探究点三 两条平行线之间的距离 【例3】 两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为　　　　　.  变式探究1 将本例改为“求到两平行直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0距离相等”的直线的方程. 变式探究2 将本例改为“已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在两条直线上运动,求 的最小值.” 解 由于已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0平行,且3x+y-3=0可化为6x+2y-6=0,结合点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在两条直线上,以及(x1-x2)2+(y1-y2)2的几何意义是点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间距离的平方,因此该距离有最小值. 规律方法　求两条平行线间距离的方法 [提醒]使用两条平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时,两直线方程中x,y的系数对应相等. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)两点间的距离公式; (2)点到直线的距离公式; (3)两平行线之间的距离公式. 2.方法归纳:公式法求两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线之间的距离,几何意义转化法求距离. 3.注意事项:求点到直线的距离时要将直线的方程化为一般式;求两平行线之间的距离时,两平行直线方程x,y的系数应对应相等. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 1.如果一条平行于x轴的线段长是5,它的一个端点是A(2,1),则它的另一个端点B的坐标是(　　) A.(-3,1)或(7,1) B.(2,-3)或(2,7) C.(-3,1)或(5,1) D.(2,-3)或(2,5) A 解析 设B(x,1),由两点间距离公式,得 =|x-2|=5,解得x=-3或x=7.故另一个端点B的坐标是(-3,1)或(7,1). 1 2 3 4 5 6 2.[2024甘肃永昌高二期中](多选题)已知直线l1与直线l:y=x+2平行,且l与l1间的距离为 ,则l1的方程可以是(　　) A.x-y+6=0 B.x-y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y-2=0 AD 解析 直线l:y=x+2,即x-y+2=0, 设所求直线的方程为x-y+a=0, 1 2 3 4 5 6 3.若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5,-3)到原点的距离相等,则点M的坐标为(　　) D 1 2 3 4 5 6 4.[2024甘肃凉州高二期中]点P(1,-2)到直线l:4x+3y-8=0的距离是　　　.  2 1 2 3 4 5 6 5.点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则线段AB长为　　　　　.  10 1 2 3 4 5 6 6.已知△ABC的顶点坐标为A(-3,9),B(2,2),C(5,3). (1)求AC边的长; (2)求△ABC的面积. 解 设P点坐标为(x,0),由|PA|=|PB|得,即x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.故所求P点坐标为(1,0),|PA|==2. 解 ∵A(5,5),B(1,4),C(4,1), ∴|AB|=; |AC|=; |BC|==3. 【例2】 (1)已知点P(-2,3),点Q是直线l:y=-x-上的动点,则|PQ|的最小值为(　　) A.2 B. C. D. 解析 由题意可知|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,将l:y=-x-化为一般式得3x+4y+3=0.故|PQ|min=.故选B. 由题意可得=1,解得k=-,因此所求直线的方程为3x+4y-5=0; 解 由于表示点P(x,y)与原点之间的距离,因此x2+y2表示点P(x,y)与原点之间的距离的平方,因此所求的最小值即为原点到直线3x+4y+3=0的距离的平方.由题得原点到直线的距离为d=,则d2=,即x2+y2的最小值为. 由题意得=d,整理可得(d2-1)k2-4k+d2-4=0. 依题意可知,关于k的上述方程有解,则Δ=16-4(d2-1)(d2-4)≥0,解得0≤d2≤5. 因此原点到过点A(-1,2)的直线的距离最大值是,此时k=,将k=代入直线方程得x-2y+5=0. 因为>1,故所求的直线的方程是x-2y+5=0. 解析 由题意得,解得m=2.由于直线3x+y-3=0可化为6x+2y-6=0, 由两平行线间距离公式得. 解 由题意,得,解得m=2.将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,依题意所求直线方程可以设为6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),则由,解得t=-,因此所求直线的方程为6x+2y-=0,整理得12x+4y-7=0. 由,可知(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为. 平行线方程的形式 距离公式 l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2(b1≠b2) d= l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2,A,B不同时为0) d= 由题意可得=2,解得a=6或a=-2.故所求直线的方程为x-y+6=0或 x-y-2=0.故选AD. 2 解析 设M(x,0)(x>0),由题得,则x2=34,解得x=,故点M的坐标为(,0).故选D. A.(-2,0) B.(1,0) C. D.(,0) 解析 点P(1,-2)到直线l:4x+3y-8=0的距离是=2. 解析 设A(a,0),B(0,b),又中点M(3,4),则=3,=4,解得a=6,b=8,则A(6,0),B(0,8),因此线段AB的长为|AB|==10. (2)由两点式可求直线AC的方程为,整理得3x+4y-27=0. 而点B(2,2)到直线AC的距离d=, 则S△ABC=×10×=13. 解 (1)由两点间的距离公式得|AC|==10. $$