2.5.2 圆的一般方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.5.2　圆的一般方程 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.掌握圆的一般方程,能够进行圆的一般方程与标准方程的互化; 2.了解二元二次方程表示圆的条件. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点 圆的一般方程 我们将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(　　　　　　　>0)叫作圆的一般方程.  　没有xy项 名师点睛 1.圆的一般方程表现出明显的代数结构形式,其方程是一种特殊的二元二次方程,圆心和半径长需要代数运算才能得出,且圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点: (1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0. D2+E2-4F 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 方程 条件 方程的解的情况 图形 x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F<0 没有实数解 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 只有一个实数解 表示一个点 D2+E2-4F>0 无穷多个解 表示以点 为圆心,以 为半径的圆 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)方程x2+y2+2x+1=0表示圆.(　　) (2)当B=0时,方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0一定表示圆.(　　) (3)若D2+E2-4F>0,点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外的充要条件是 +Dx0+Ey0+F>0.(　　) 2.A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的什么条件? × × √ 提示必要不充分条件.若方程表示圆,则应满足三个条件:①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 圆的一般方程的理解 【例1】 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和圆的面积; (3)若原点在方程表示的圆外,求实数m的取值范围. 分析 根据方程表示圆的条件求解. 规律方法　1.判断形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程是否为圆的方程的方法 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,若成立则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 2.点与圆的一般方程之间的关系 [提醒]求解含参数的圆的一般方程的易错点. 不要忘记x2+y2+Dx+Ey+F=0中D2+E2-4F>0的条件. 变式训练1 (1)若方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圆,则实数m的取值范围为(　　) A.(-2,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1) D 解析 由方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圆,则(-2)2-4(m2-m+1)>0,解得0<m<1.所以实数m的取值范围为(0,1).故选D. (2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是　　　　　　　,半径是　　　　　.  (-2,-4) 5 解析 由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2. 当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,该方程表示圆,配方可得(x+2)2+(y+4)2=25.因此该圆的圆心坐标为(-2,-4),半径为5. 当a=2时,方程不表示圆. (3)若原点在圆x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0的外部,则实数a的取值范围是　　 　　　.  探究点二 待定系数法求圆的一般方程 【例2】 已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程; (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值. 解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0. (2)由(1)知,△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6. 规律方法　待定系数法求圆的两种方程的解题策略 已知条件 方程形式 方程的量 圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程 标准方程 待定系数法求出a,b,r 已知条件与圆心和半径都无直接关系 一般方程 待定系数法求出常数D,E,F 变式训练2 求圆心在直线y=x上,且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程. 本节要点归纳 1.知识清单: 圆的一般方程的性质 2.方法归纳:将圆的一般方程利用配方法化为标准方程后求圆心与半径,利用定义法结合D2+E2-4F>0判断是否表示圆,待定系数法求圆的一般方程. 3.注意事项:求解二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的问题要注意三个条件(A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0)缺一不可. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是(　　) A.(2,3),3 D 解析 由圆的一般方程x2+y2-4x+6y=0可得圆的标准方程(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标为(2,-3),半径为 ,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若圆C:x2+y2+(m-2)x+(m-2)y+m2-3m+2=0过坐标原点,则实数m的值为 (　　) A.1 B.2 C.2或1 D.-2或-1 A 解析 由圆C过原点可得m2-3m+2=0,解得m=2或m=1. 当m=2时,原方程为x2+y2=0,它是一个点,不是圆; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.（多选题）与圆C:x2+y2-2x-35=0同圆心,且面积为圆C面积的一半的圆的方程为(　　) A.(x-1)2+y2=3 B.(x-1)2+y2=6 C.(x-1)2+y2=9 D.(x-1)2+y2=18 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.圆心在x轴上,且过点(-1,-3)的圆与y轴相切,则该圆的一般方程是(　　) A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0 C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0 C 解析 设圆心坐标为(t,0),因为圆心在x轴上且圆与y轴相切,所以r=|t|, 所以圆心坐标为(-5,0),半径为5,该圆的标准方程是(x+5)2+y2=25,整理得该圆的一般方程为x2+y2+10x=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知圆x2+y2+ax+by-6=0的圆心坐标为(3,4),则圆的半径是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若圆x2+y2+2mx+2y-1=0的圆心在直线y=x+1上,则m=　　　　　,该圆的半径为　　　　　.  2 解析 由x2+y2+2mx+2y-1=0可得(x+m)2+(y+1)2=m2+2, 所以圆心坐标为(-m,-1).因为圆心(-m,-1)在直线y=x+1上,所以-1=-m+1,解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,0),B(2,0),C(0,-4),经过这三个点的圆记为M. (1)求BC边上的中线AD所在直线的一般式方程; (2)求圆M的一般方程. 解 (1)由B(2,0),C(0,-4),知线段BC的中点D的坐标为(1,-2).又A(-3,0),所以直线AD的方程为 ,整理得x+2y+3=0.即中线AD所在直线的一般式方程为x+2y+3=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 9.以下直线中,将圆x2+y2-4x-2y+1=0平分的是(　　) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.2x-y=0 D.2x-y+3=0 A 解析 圆x2+y2-4x-2y+1=0的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,∴该圆的圆心坐标为(2,1). 若直线平分圆,则(2,1)必在直线上. ∵2-1-1=0,点(2,1)在直线x-y-1=0上,故A正确; ∵2-1+1≠0,点(2,1)不在直线x-y+1=0上,故B错误; ∵2×2-1≠0,点(2,1)不在直线2x-y=0上,故C错误; ∵2×2-1+3≠0,点(2,1)不在直线2x-y+3=0上,故D错误.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.直线l:ax-y+b=0,圆M:x2+y2-2ax+2by=0,则直线l与圆M在同一坐标系中的图形只可能是(　　) D 解析 由圆的方程知圆过原点,故A,C错误; 该圆圆心为(a,-b),直线y=ax+b, B中,由直线得a<0,b<0,由圆得a>0,-b>0, ∴b<0,故B不成立; D中,由直线得a>0,b<0,由圆得a>0,-b>0, ∴b<0,符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 所以圆的一般方程为x2+y2-4x-4y+4=0.又因为点D(4,a)在圆上, 所以42+a2-4×4-4a+4=0,解得a=2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.方程x2+y2-2ax-4ay+6a2-a=0表示圆心在第一象限的圆,则实数a的取值范围为　　　　　.  (0,1) 解析 将方程x2+y2-2ax-4ay+6a2-a=0配方,得(x-a)2+(y-2a)2=a-a2. 因为方程x2+y2-2ax-4ay+6a2-a=0表示圆心在第一象限的圆, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为 ,则圆C的一般方程是　 .  x2+y2+2x-4y+3=0 又圆心在第二象限,所以D=2,E=-4,即圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.求证:当m≠2时,曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上. 证明(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,可知D=-4m,E=2m, F=20m-20,则D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2. 当m=2时,它表示一个点; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2. 当m=2时,方程表示一个点; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 16.已知曲线C:(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0. (1)当a取何值时方程表示圆; (2)求证:不论a为何值,曲线C必过两定点; (3)当曲线C表示圆时,求圆面积最小时a的值. 解 (1)当a=-1时,方程为x+2y=0表示一条直线. 当a≠-1时,由(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明方程变形为x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0. 由于a取任何值时上式都成立, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 (1)(方法1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故实数m的取值范围为. (方法2)方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0化为标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 若要使原方程表示圆,则1-5m>0,解得m<,故m的取值范围为. (2)由题可知该圆的圆心坐标为(-m,1),半径r=.因此圆的面积为S=π=(1-5m)π. (3)由于原点在方程表示的圆外,则解得0<m<.故m的取值范围为. 点P(x0,y0)与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 点P(x0,y0)在圆上 +Dx0+Ey0+F=0 点P(x0,y0)在圆内 +Dx0+Ey0+F<0 点P(x0,y0)在圆外 +Dx0+Ey0+F>0 B. (-2,-1)∪ 解析 二元二次方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即(3a+2)(a-2)<0,解得-2<a<. 若原点在圆x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0的外部,则2a2+a-1>0,即(2a-1)(a+1)>0,解得a<-1或a>.则实数a的取值范围是(-2,-1)∪. 由题意,得解得 解 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心是, 由题意知,解得 即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0. B.(-2,3), C.(-2,-3),13 D.(2,-3), 当m=1时,原方程为x2+y2-x-y=0,它是以()为圆心,为半径的圆,所以实数m的值为1. A.(-2,+∞) B. C.(-2,) D.(-2,2) 解析 由题意得解得-2<k<,故选C. 则根据题意得=|t|,解得t=-5. 解析 由x2+y2+ax+by-6=0得=6+,又圆心坐标(3,4),∴-=3,-=4,解得a=-6,b=-8,∴圆的半径为. 得m=2.则圆的半径为r=. (2)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A(-3,0),B(2,0),C(0,-4)三点的坐标分别代入方程得解得 所以圆M的一般方程是x2+y2+x+y-6=0. 10.由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆的最大面积为(　　) A.π B.π C.π D.2π 解析 所给圆的半径为r=. 所以当m=-1时,半径r取最大值,此时最大面积是π.故选B. 12.在平面直角坐标系中,四点坐标分别为A(2,0),B(3,2-),C(1,2+),D(4,a),若它们都在同一个圆周上,则a的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D. 解析 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得解得 所以解得0<a<1. 故实数a的取值范围为(0,1). 解析 由题得圆的标准方程为-3,圆心为,半径为r=, 所以解得 当m≠2时,原方程表示圆,此时圆的半径为r=|m-2|. 设圆心坐标为(x,y),则消去m,得x+2y=0,即圆心在直线x+2y=0上. 当m≠2时,方程表示圆,此时圆的半径为r=|m-2|. 设圆心坐标为(x,y),则消去m,得x+2y=0,即圆心在直线x+2y=0上. 整理得, 由于>0,所以a≠-1时,方程表示圆. 则有解得 所以曲线C必过定点(0,0),,即无论a为何值,曲线C必过两定点. (3)由(2)知曲线C过定点A(0,0),B,在这些圆中,以AB为直径的圆的面积最小,故以AB为直径的圆的圆心为,半径为r=,则圆的标准方程为. 所以解得a=. $$