2.6.2 圆与圆的位置关系 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.6.2　圆与圆的位置关系 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.理解并掌握圆与圆的位置关系及判断方法; 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法,能够利用上述方法判断两圆的位置关系. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 基础落实·必备知识一遍过 知识点 圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别是r1,r2(r1≥r2),两圆圆心的距离为d,则两圆的位置关系的判断方法如下: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1, r2的关系 　　   　　   　 　   　 　  　　   d>r1+r2 d=r1+r2 r1-r2<d<r1+r2 d=r1-r2>0　 d<r1-r2 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 (3)拓展知识:圆系方程 常见圆系方程有如下几种: ①过直线与圆的交点的圆系:过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0;特别地,当直线与圆相切于点P时,上述方程表示与直线和圆都相切于点P的圆. ②过两个圆的交点的圆系:过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+ F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),此圆系不含圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0. ③同心圆系:与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0;或表示为与已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2同心的圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=R2(其中a,b为定值). 名师点睛 1.当两圆外离时公切线的条数是4条,外切时公切线的条数是3条,相交时公切线的条数是2条,内切时公切线的条数是1条,内含时两圆不存在公切线. 2.当两圆相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦;当两圆外切时,两圆圆心的连线垂直于过两圆公共点的公切线;当两圆内切时,两圆圆心的连线垂直于两圆的公切线. 3.对圆系方程可进行以下推广:对过两已知圆交点的圆系方程,当λ=-1时,得到(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,此为两圆公共弦所在直线方程. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(　　) (2)将两圆的方程组成方程组消元后,得到的一元二次方程.若方程无解,则两圆外离.(　　) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　) × × × 2.思考:将两个相交的非同心圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢? 提示两圆相减得一直线方程,该直线经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 圆与圆的位置关系的判断 【例1】 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系满足下列条件: (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含. 分析 将所给圆的方程化为圆的标准方程,求出两圆的圆心与半径后结合两圆的位置关系列式求解. 解 圆C1,C2的方程,经配方后可得 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5,即3<a<5时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即0<a<3时,两圆内含. 规律方法　判断两圆位置关系的方法 判断两圆位置关系的方法有代数法与几何法两种,我们常用几何法而不用代数法.因为用代数法时,若两圆方程消元后得到的方程只有一个解时,无法直接确定两圆是外切还是内切,因此常用几何法判断,其方法如下: (1)将圆的方程化为标准式,求出圆心和半径; (2)计算圆心距、半径和、半径差的绝对值; (3)利用圆心距、半径和、半径差的绝对值判定两圆的位置关系. 变式训练1 已知两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0的方程,判断两圆的位置关系. 解 (方法1　几何法)把两圆的方程分别配方,化为标准方程是(x-1)2+y2=4, 故r1-r2<|C1C2|<r1+r2,即两圆相交. (方法2　代数法)联立两圆方程,得 交点个数为2,故两圆相交. 探究点二 两圆相交问题 【例2】 已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0. (1)证明两圆相交; (2)求两圆的公共弦所在的直线方程以及公共弦长. 分析 将所给圆的方程化为标准式,求出两圆的圆心坐标与半径,通过判断两圆的圆心距与半径和、半径差的关系证明两圆相交,而公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度需要先将两方程相减求得公共弦方程,结合公共弦方程求弦长. (1)证明两圆方程配方化为标准方程可得C1:(x-1)2+(y+5)2=50, C2:(x+1)2+(y+1)2=10. (2)解 将两圆方程相减,得两圆公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0. 变式探究1 本例中若两圆相交于A,B两点,求经过A,B两点,且面积最小的圆的方程. 两式相减得x=2y-4,③ 把③代入②得y2-2y=0,解得y1=0,y2=2. 经过A,B两点且面积最小的圆的方程即为以线段AB为直径的圆,其圆心坐标为(-2,1),半径为r= ,故所求的圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5. 变式探究2 本例中若两圆相交于A,B两点,求经过A,B两点,且圆心在直线x+y=0上的圆的方程. 解 设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0. 规律方法　求两圆的公共弦长及公共弦所在直线的方程的方法 求两圆的公共弦长及公共弦所在直线的方程一般不用求交点的方法,常用如下方法: [提醒]求两圆的公共弦所在直线的方程,只有两圆相交时,才能通过消去二次项得到两圆的公共弦所在直线的方程. 变式训练2 两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　　.  3 解析 由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直,∴kAB×1=-1, ∵AB的中点在直线x-y+c=0上, ∴3-1+c=0,解得c=-2, ∴m+c=5-2=3. 探究点三 两圆相切问题 圆的方程. 分析设出圆的方程,利用两圆外切的条件以及直线与圆相切的条件,建立方程组求解. 解 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,将圆x2+y2-2x=0化为(x-1)2+y2=1,得该圆圆心为(1,0),半径为1, 规律方法　求解两圆相切问题的两个步骤: (1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论. (2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 变式训练3 (1)求以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的半径; (2)若圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,求m的值. 解 (1)设所求圆的半径为r,则 =|8-r|,所以r=3或r=13. 即所求圆的半径为3或13. (2)由题可得圆C1的圆心为(m,-2),半径为r1=3,圆C2的圆心为(-1,m),半径为r2=2. 由题意得|C1C2|=5,即(m+1)2+(-2-m)2=25,解得m=2或m=-5. 本节要点归纳 1.知识清单: 圆与圆的位置关系 2.方法归纳:利用几何法、代数法判断圆与圆的位置关系、求两圆的公共弦长及两圆相切问题,利用代数法求公共弦所在直线的方程,利用圆系方程求解过两圆交点的圆的方程. 3.注意事项:利用代数法判断两圆位置关系时,将两圆方程联立后的方程组,消元后,若方程只有一个解,不能判断两圆是内切还是外切;若所得方程无解,则不能判断两圆是内含还是外离,此时需要结合图形判断.利用圆系方程求圆的方程时,不要忘记检验与参数结合的圆是否满足题意.求解两圆相切问题,应明确是内切还是外切. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.已知圆C1:x2+y2=1和C2:x2+y2-5x+4=0,则两圆的位置关系是(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m=(　　) A.-8 B.-19 C.-5 D.6 B m=-19. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为(　　) A.x2+y2-x+7y-32=0 B.x2+y2-x+7y-16=0 C.x2+y2-4x+4y+9=0 D.x2+y2-4x+4y-8=0 A 解析 设所求圆的方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)=0,变形可得 则圆的方程为(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192=0,即x2+y2-x+7y-32=0. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.设圆C1:(x-1)2+(y-1)2=9和圆C2:(x+2)2+(y+1)2=4交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为(　　) A.3x-2y-1=0 B.2x-3y+1=0 C.2x+3y-1=0 D.3x+2y+4=0 B 解析 由题得,圆心C1的坐标为(1,1),圆心C2的坐标为(-2,-1),两圆相交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线所在直线就是直线C1C2. 因为C1(1,1),C2(-2,-1), 即2x-3y+1=0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 解析 由圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2, 可得两圆公共弦所在直线的方程为2x-6y=4-R2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.(多选题)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是(　　) A.-3 B.3 C.2 D.-2 CD 解析 根据题意,圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0,即(x-a)2+y2=1,其圆心为(a,0),半径为R=1,圆D:x2+y2=4,其圆心的坐标为D(0,0),半径为r=2.若两个圆有且仅有两条公共切线,则两圆相交,则有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3,结合选项可知符合条件的是2,-2,故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.已知圆(x-a)2+y2=4与圆x2+y2=25没有公共点,则正数a的取值范围为　　　　 　.  (0,3)∪(7,+∞) 解析 根据题意,圆(x-a)2+y2=4的圆心的坐标为(a,0),半径为R=2,圆x2+y2=25圆心的坐标为(0,0),半径r=5,则两圆的圆心距d=|a|=a.若两个圆没有公共点,则有a>R+r=7或a<R-r=3,即正数a的取值范围为(0,3)∪(7,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 8.已知圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,则两圆的公切线的条数是(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 B 解析 根据题意,圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,即(x-1)2+(y-2)2=9,其圆心A(1,2),半径R=3,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,即(x+1)2+(y+1)2=4,其圆心B(-1,-1),半径r=2,则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.已知半径为 的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),则点M的坐标为 (　　) A.(-6,3) B.(3,6) C.(-3,-6) D.(6,3) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.若直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则|AB|=(　　) C 解析 如图所示,设直线l交x轴于点M. 由于直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B, 则AC1⊥l,BC2⊥l,∴AC1∥BC2. ∵|BC2|=2=2|AC1|,由中位线定理得C1为线段MC2的 中点,则A为线段BM的中点, ∴|MC1|=|C1C2|=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.已知圆O1:x2+y2-2x-3=0与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于点A,B,则四边形AO1BO2的面积是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(多选题)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则 (　　) A.|PQ|的最小值为0 B.|PQ|的最大值为7 C.两个圆心所在的直线斜率为 D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0 BC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心的坐标为C1(0,0),半径R=1. 圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1,其圆心的坐标为C2(3,-4),半径r=1,则两圆的圆心距为|C1C2|= =5,即圆C1与圆C2外离,则|PO|的最小值为|C1C2|-R-r=3,最大值为|C1C2|+R+r=7,故A错误,B正确; 圆心C1(0,0),圆心C2(3,-4),则两个圆心所在的直线斜率 ,故C正确;两圆圆心距|C1C2|=5,有|C1C2|>R+r=2,两圆外离,不存在公共弦,D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点,则 (　　) A.直线AB的方程为y=2x+2 B.两圆有两条公切线 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0作差得4x-2y+4=-4,整理得y=2x+4,即直线AB的方程为y=2x+4,故A错误;因为两圆相交于A,B两点,则两圆有两条公切线,故B正确; 圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径为2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.[2024甘肃酒泉高二期中]已知圆C1:(x-a)2+y2=36与圆C2:x2+(y-b)2=4只有一条公切线,则a2+b2=　　　　　.  16 解析 圆C1:(x-a)2+y2=36的圆心为C1(a,0),半径r1=6, 圆C2:x2+(y-b)2=4的圆心为(0,b),半径r2=2, 因为圆C1:(x-a)2+y2=36与圆C2:x2+(y-b)2=4只有一条公切线, 所以两圆相内切,所以|C1C2|=r1-r2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ①-②,得-10x-10=0,整理得x+1=0,即x=-1,故公共弦AB所在的直线方程为x=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,点C1,C2分别为两圆的圆心. (1)求圆C1和圆C2的公共弦长; (2)过点C1的直线l交圆C2于A,B两点,且AB= ,求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (1)由题知,圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,两式相减可得公共弦所在的直线为2x+y+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 16.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1,若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的取值范围为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 设M(x,y),∵|MA|2+|MB|2=12, ∴(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12, ∴(x-1)2+(y-1)2=4. ∵圆C上存在点M,满足|MA|2+|MB|2=12, ∴两圆相交或相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,求|PM|+|PN|的最小值. 解 由圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1知圆C1的圆心坐标为(2,3),半径为1,由圆C2: (x-3)2+(y-4)2=9,知圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3.如图所示,设点C1关于x轴的对称点为C3,则C3(2,-3),且|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3=|PC3|-1+|PC2|-3≥|C2C3|-4. (2)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0), C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F2>0), 两圆的方程联立得方程组 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: ∴|C1C2|==a. (x-2)2+(y+1)2=2,所以两圆圆心为C1(1,0),C2(2,-1),半径为r1=2,r2=,则|C1C2|=,r1+r2=2+,r1-r2=2-, 解得方程组有2组解,即两圆的 则圆C1的圆心为(1,-5),半径为r1=5; 圆C2的圆心为(-1,-1),半径为r2=. 又|C1C2|==2,r1+r2=5,r1-r2=5, ∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交. 由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心为C1(1,-5),半径为r1=5.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3. 设公共弦长为2a,由勾股定理,得=d2+a2,得50=45+a2,解得a=,所以公共弦长2a=2. 解 两方程联立,得方程组 则 故此圆的圆心坐标为(,-),由于圆心在x+y=0上,则+(-)=0,解得λ=-2,故所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0. 即=-1,得m=5,∴AB的中点坐标为(3,1). 【例3】 求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3,-)的 则=r+1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x+y=0, 故. ② 又=r, ③ 则解由①②③组成的方程组,得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 解析 根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心为C1(0,0),半径为r=1,C2:x2+y2-5x+4=0,整理得+y2=,其圆心为C2,半径为R=,两圆的圆心距为|C1C2|=. 又R+r=,故两圆外切.故选C. 解析 由题意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=,r2=,则|C1C2|==3.根据两圆内切得|C1C2|==3,解得 (1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0,其圆心的坐标为. 又由圆心在直线x-y-4=0上, 则有-4=0,解得λ=-7. 所以其斜率k=. 则直线C1C2的方程为y-1=(x-1), 5.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为6,则圆D的半径为(　　) A.5 B.2 C.2 D.2 又由圆C的方程为x2+(y-4)2=18,其圆心的坐标为(0,4),半径r=3, 两圆的公共弦长为6,则点C(0,4)在直线2x-6y=4-R2上, 则有2×0-6×4=4-R2,解得R2=28,则圆D的半径为2.故选D. 圆心距|AB|=. 因为3-2<<3+2,则两圆相交,故两圆有2条公切线.故选B. 2 A.1 B. C. D.2 由勾股定理可得|AB|=|MA|=.故选C. 解析 由题得,O1(1,0),O2(2,-1),所以|O1O2|=,圆O1的半径为2.圆O1:x2+y2-2x-3=0与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于点A,B,直线AB的方程为2x-2y-6=0,整理得x-y-3=0.点O1到直线AB的距离为, 则|AB|=2=2.因为O1O2⊥AB,所以四边形AO1BO2的面积为|AB||O1O2|=×2=2.故选B. - k==- C.线段AB的长为 D.圆O上点E,圆M上点F,则|EF|的最大值为+3 则圆心O到直线AB的距离d=,故AB=2,故C错误; 圆M:x2+y2+4x-2y+4=0的圆心为M(-2,1),半径为1,|OM|=, 则|EF|的最大值为|MO|+1+2=+3,故D正确.故选BD. 即=4,所以a2+b2=16. 联立得方程组 圆C1的圆心为(-1,0),半径为1,则圆心到直线的距离d=, 故圆C1和圆C2的公共弦长=2. (2)圆C2的圆心为(1,1),半径为2,圆心到直线l的距离为. 设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则,解得k=1或. 故直线l的方程为y=x+1或y=(x+1). A.[1,1+2] B.[1-2,1+2] C.[1,1+2] D.[1-,1+] ∴1≤≤3, ∴1-2≤a≤1+2.故选B. 而|C2C3|==5,所以|PM|+|PN|≥5-4,即|PM|+|PN|的最小值为5-4. $$