2.7 用坐标方法解决几何问题 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.7　用坐标方法解决几何问题 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 课标要求 1.理解坐标法的意义,并会用坐标法研究问题; 2.掌握用解析法处理平面几何问题的方法. 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 重难探究·能力素养速提升 探究点一 用坐标方法解决几何问题 【例1】 已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|= |BC|. 分析根据题目所给几何图形的特征,建立平面直角坐标系,利用两点间的距离公式证明. 证明以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c). 因为点M是BC的中点, 变式探究 本例中条件不变,试证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2. 证明如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系. 设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点间距离公式 得|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2, |BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2, 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2. 规律方法　建立平面直角坐标系的常见技巧 (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上; (2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑将其作为坐标轴; (3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴. [提醒]对于同一个问题,建立不同的平面直角坐标系虽然相关点的坐标不同,但是最后结果是一样的. 探究点二 构造圆的方程解题 【例2】 如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度AD为 m,行车道总宽度BC为 m,侧墙EA,FD高为2 m,弧顶高MN为5 m. (1)建立平面直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程; (2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少. 分析根据题目特征,建立平面直角坐标系,求出圆弧所在的方程,根据方程特征求解. 解得b=-3,r2=36. 故圆的方程为x2+(y+3)2=36. (2)设限高为h,作CP⊥AD,交圆弧于点P,则|CP|=h+0.5. 将P的横坐标x= 代入圆的方程,得( )2+(y+3)2=36,解得y=2或 y=-8(舍去),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5 m. 规律方法　解决直线与圆的实际应用题的步骤 变式训练1 如图为一座圆拱桥的截面图,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为多少? 解 以圆拱桥顶为坐标原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设圆心为C,圆的方程设为x2+(y+r)2=r2(r>0),水面所在弦的端点为A,B,则A(6,-2).将A(6,-2)代入圆的方程,解得r=10.则圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1 m后,设点A'(x0,-3)(x0>0),将A'(x0,-3)代入圆的方程,解得x0= . 探究点三 与圆有关的轨迹问题 【例3】 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程. 分析 设出点P的坐标,利用MONP为平行四边形,建立点P与点N之间的坐标关系,结合点N的坐标满足圆的方程,求得点P的轨迹方程. 规律方法　求与圆有关的轨迹问题常用的方法: (1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式. (2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)相关点法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即可得动点P的轨迹方程. 变式训练2 已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　) A.x2+y2=4 B.x2-y2=4 C.x2+y2=4(x≠±2) D.x2-y2=4(x≠±2) C 解析 设P(x,y). 由题可得|PM|2+|PN|2=|MN|2, 整理得x2+y2=4. 因为M,N,P三点构成三角形,则x≠±2.所以直角顶点P的轨迹方程是x2+y2=4(x≠±2).故选C. 本节要点归纳 1.方法归纳:建立平面直角坐标系,利用坐标法求解平面几何问题、实际问题中与圆有关的问题;根据动点满足的条件,利用定义法、相关点法等求动点的轨迹与轨迹方程. 2.注意事项:建立直角坐标系时应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系;求解动点的轨迹问题应明确轨迹与轨迹方程的区别,以及轨迹中不符合题意的点要舍去. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是(　　) A.x2+y2=25 B.x2+y2=25(y≥0) C.(x+5)2+y2=25(y≤0) D.随建立直角坐标系的变化而变化 D 解析 由于建立的平面直角坐标系不同,因此该半圆的方程也不同,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若 =2,则点C的轨迹为(　　) A.椭圆 B.射线 C.圆 D.直线 C 解析 以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知等腰三角形ABC其中一腰的两个端点分别是A(4,2),B(-2,0), |AB|=|AC|,则另一腰的一个端点C的轨迹方程是(　　) A.x2+y2-8x-4y=0 B.x2+y2-8x-4y-20=0(x≠-2,x≠10) C.x2+y2+8x+4y-20=0(x≠-2,x≠10) D.x2+y2-8x-4y+20=0(x≠-2,x≠10) B 解析 设C(x,y),由|AB|=|AC|,得(4+2)2+(2-0)2=(x-4)2+(y-2)2, 即x2+y2-8x-4y-20=0.又点B与点C不重合且B,C,A不共线,所以x≠-2,x≠10.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)相连,线段PQ的中点M的轨迹方程是(　　) A.(x-3)2+y2=1 B.(2x-3)2+4y2=1 C.(x+3)2+y2=4 D.(2x+3)2+4y2=4 B 解析 设线段PQ的中点M(x,y),点P与定点Q(3,0)相连,则P(2x-3,2y).点P在圆x2+y2=1上变动时,线段PQ的中点M的轨迹方程是(2x-3)2+4y2=1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A.π B.4π C.8π D.9π B 解析 设P点的坐标为(x,y),因为两定点A(-2,0),B(1,0),且动点P满足|PA|=2|PB|,则(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得(x-2)2+y2=4, 所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.过点A(8,0)的直线与圆x2+y2=4交于点B,则线段AB中点P的轨迹方程为　 .  (x-4)2+y2=1 解析 设点P的坐标为(x,y),点B为(x1,y1),由题意,结合中点坐标公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化简得(x-4)2+y2=1. 即线段AB中点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知:四边形ABCD,|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2. 求证:AC⊥BD. 证明如图,以AC所在的直线为x轴,过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系. 设顶点坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y), ∵|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2, ∴a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2, 化简得(a-c)x=0.∵a≠c,即a-c≠0, ∴x=0,即D在y轴上,∴AC⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.在直角三角形ABC中,D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则 B 级 关键能力提升练 A.2 B.4 C.5 D.10 D 解析 以直角三角形的直角顶点C为坐标原点建立平面直角坐标系(图略), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.（多选题）在△ABC中,D为BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,则△ABC为(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知圆C:x2+y2-8x-6y+16=0,过点P(4,1)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的中点为Q.则点Q的轨迹方程为　 .  (x-4)2+(y-2)2=1 解析 (1)由圆C:(x-4)2+(y-3)2=9方程可知(4-4)2+(1-3)2=4<9, 故点P(4,1)在圆C内. ∵弦MN过点P,Q是MN的中点, 则CQ⊥MN,∴点Q的轨迹是以CP为直径的圆,线段CP的中点为(4,2), 故其方程为(x-4)2+(y-2)2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.正方形ABCD与点P在同一平面内,已知该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD|的取值范围为　　　　　　　　　　.  解析 以A为坐标原点,AB所在直线为 x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1). 设点P(x,y),则由|PA|2+|PB|2=|PC|2, 得x2+y2+(x-1)2+y2=(x-1)2+(y-1)2,整理得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图,已知点A,B,C共线,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明:|AE|=|CD|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明如图,以点B为坐标原点,直线AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a,c, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(1)已知AD是△ABC边BC的中线,用坐标法证明: |AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2). (2)已知动点C与两个定点A(0,0),B(3,0)的距离之比为 ,若△ABC边BC的中点为D,求动点D的轨迹方程. 解 (1)以BC边为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 不妨设A(x,y),B(-b,0),C(b,0),其中b>0, 所以|AB|2+|AC|2=(x+b)2+y2+(x-b)2 +y2=2(x2+y2+b2),2(|AD|2+|DC|2)=2(x2+y2+b2),故|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设D(x,y),则C(2x-3,2y),将C(2x-3,2y)代入m2+n2+6m-9=0, 可得(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-9=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 14.一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 解 以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示), 其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0), 故这艘轮船不改变航线,不会受到台风的影响. 所以点M的坐标为, 即. 由两点间距离公式得|BC|=, |AM|=. 所以|AM|=|BC|. 6 2 解 (1)以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则E(-3,0),F(3,0),M(0,3). 由于所求圆的圆心在y轴上,因此设圆的方程为x2+(y-b)2=r2. 因为点F,M在圆上,所以 所以当水面下降1 m后,水面宽为2x0=2 m. 解 如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为(),线段MN的中点坐标为(). 因为平行四边形的对角线互相平分,故 整理得 因为N(x0,y0)在圆x2+y2=4上,则N(x+3,y-4)在圆上, 故(x+3)2+(y-4)2=4. 直线OM与轨迹相交于两点不符合题意,舍去. 故所求点P的轨迹方程为圆(x+3)2+(y-4)2=4,除去(-)和(-)两点. 即()2+()2=16, 设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),则=(x+a,y),=(x-a,y). 由=2,得(x-a)(x+a)+y2=2,即x2+y2=a2+2,所以点C的轨迹为圆. =(　　) 设B(a,0),A(0,b),则D(),P(). 则=10.故选D. [2-,2+] x2+(y+1)2=2,即点P的轨迹是以点M(0,-1)为圆心,为半径的圆. 圆心M到点D的距离为|MD|=2,所以|PD|min=2-,|PD|max=2+, 所以|PD|的取值范围是[2-,2+]. 则A(-a,0),C(c,0),D(-a),E, ∴|AE|=,|CD|=, ∴|AE|=|CD|. (2)设C(m,n),由, 则点C的轨迹方程为m2+n2+6m-9=0(m≠±3-3或n≠0). 整理得x2+y2=. 则轮船航线所在直线l的方程为=1,即4x+7y-28=0, 圆心(0,0)到航线4x+7y-28=0的距离d=,而半径长r=3, 因为>3,所以直线与圆相离. $$