精品解析：2024年山东省临沂市初中学业水平考试（六月）模拟数学试题

2024年初中学业水平考试模拟试题 数 学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国家能源局数据显示，截至2023年10月底我国可再生能源发电总装机达到亿千瓦，约占全国发电总装机的．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一块积木如图所示，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 6. 已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （ ） A. B. C. D. 7. 解分式方程：的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母；②得整式方程：；③解得；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 已知菱形的顶点，， 按以下步骤作图： ①分别以点 和点 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ②作直线，且恰好经过点，与交于点 ，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线与y轴交于点 ，过点 作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 把多项式分解因式的结果是____________． 12. 若是关于x的方程的解，则的值为____________． 13. 如图，禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志的内角和是______． 14. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图 ，是矩形 的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形 的面积是________ 图1 图2 15. 甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多_____________． 16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形： 序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个 正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④．相应矩形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解不等式组：； （2）化简：． 18. 为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解该校学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干名学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周的体育锻炼时间（小时）分为五组：①；②；③；④；⑤共五种情况．最后将调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是______人； （2）⑤在扇形统计图中对应的圆心角度数是______°，并补全频数分布直方图； （3）该校有学生3000名，估计该校平均每天运动达1小时的人数为______； （4）请对该校学生体育锻炼时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 19. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的 种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用 种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用两种客车共 辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（）的条件下，若 种客车租金为每辆元，种客车租金每辆 元，应该怎样租车才最合算？ 20. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂 ，连杆BC，悬臂 和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面l平行时， °； （2）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （3）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，） 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是12． （1）求点A的坐标及m和k的值． （2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式 的解集． （3）若直线与四边形 有交点时，直接写出t的取值范围． 22. 如图， 是 的内接三角形，连接，过点 作，交 的切线于点 ， 与 交于点 ． （1）求证：； （2）若 的半径为10，，求的长． 23. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小明学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是2． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小明想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小明找到点P的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小明重新设计抛物线，其表达式为当，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围． 24. 【教材呈现】如图是人教版八年级下册教材页的部分内容． 折纸做，，的角 步骤：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平， 步骤：再一次折叠纸片，使点 落在上，并使折痕经过点，得到折痕 ，同时得到了线段． 【问题解决】 （1）求证：四边形是矩形； （2）若 交于点 ，求； 【拓展探究】 （3）如图，若点 是线段上一个动点，将沿 折叠，使点 的对应点为点 ，连接， 若，，当是等腰三角形时，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平考试模拟试题 数 学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国家能源局数据显示，截至2023年10月底我国可再生能源发电总装机达到亿千瓦，约占全国发电总装机的．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大数．根据题意先将亿整理为，再利用科学记数法定义即可写出． 【详解】解： 亿， ∴， 即：， 故选：C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 一块积木如图所示，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答即可． 【详解】解：从左边看，是一个矩形． 故选：C． 【点睛】本题考查简单的几何体的三视图，熟知左视图是从左边看到的图形是解答本题的关键． 4. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线 与相交于点 ，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由三角形外角的定义及性质得出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 下列运算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式以及单项式的除法，根据同底数幂相乘、积的乘方，完全平方公式以及单项式的除法，逐一判断各选项，即可得到答案，掌握运算法则解题的关键． 【详解】 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 6. 已知点，在反比例函数（ 为常数）的图象上，且，下列结论一定正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，结合，判断出 、 所在象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，在反比例函数（ 为常数）的图象上，且， ∴点 位于第三象限，点 位于第一象限， ∴， 故选：A． 7. 解分式方程：的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母；②得整式方程：；③解得；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查解分式方程的步骤：去分母化为整式方程，解整式方程得到解，将整式方程的解代入最简公分母中检验，得到分式方程的解． 检查解分式方程步骤，发现第四步错误，原因是没有检验． 【详解】解：解分式方程的步骤为： ①方程两边同时乘最简公分母； ②得整式方程：； ③解得； ④故原方程的解为3 其中有误的一步为④，此步骤应进行检验． 故选：D． 8. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形（阴影）区域的概率． 【详解】解：根据题意分析可得：正方形ABCD边长为，故面积为5； 阴影部分边长为，面积为1； 则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积的比值为． 故选：A． 9. 如图， 已知菱形的顶点，， 按以下步骤作图： ①分别以点 和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ②作直线 ，且 恰好经过点 ，与交于点 ，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形，连接 ，过点 作轴于 ，根据线段垂直平分线的性质和菱形的性质得出 为等边三角形，得出，在中，解直角三角形得出、 的长，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接 ，过点 作轴于 ， ， 由作图过程可知，直线 为线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴，， ∴ 为等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴点 的坐标为， 故选：B． 10. 抛物线与y轴交于点，过点作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形 ，点，为图形 上两点，若，则 的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称变换，通过计算可得，是关于抛物线对称轴对称的点，再分三种情况：若，即和在 轴右侧（包括在 轴上）；当时，即和在 轴左侧（包括在 轴上）；当，即在 轴左侧，在 轴右侧时；分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，令，得， 令，， ∴，是关于抛物线对称轴对称的点， 若，即和在 轴右侧（包括在 轴上），则点经过翻折得，点经过翻折得，如图： 由对称性可得：，此时不满足； 当时，即和在 轴左侧（包括在 轴上），则点即为，点即为， ∴，此时不满足； 当，即在 轴左侧，在 轴右侧时，如图： 此时，翻折后得 ，满足， 由得：， 故选：D． 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 把多项式分解因式的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式 ，再利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若是关于x的方程的解，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于 的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志的内角和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，根据公式可得到正多边形的内角和，正确计算是解题的关键． 【详解】解：由图可得，该标志为正八边形， 即， 故答案为：． 14. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图 ，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图 重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是________ 图1 图2 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用， 设小正方形的边长为 ，利用、 、 表示矩形的面积，再用、 、 表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、 、 的关系式，解出 ，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为 ， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为： ． 15. 甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据甲组单独工作时30天的时间一共挖掘90米，求出甲每天挖掘的长度，进而求出甲组挖掘的总长度，再求出乙组挖掘的总长度即可得到答案． 【详解】解：由题意得，甲组单独每天可挖掘， ∴甲组一共挖掘了， ∴乙组一共挖掘了， ∴甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多， 故答案为：． 16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形： 序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个 正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④．相应矩形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】466 【解析】 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察图形并得到后一个矩形的宽与长和上一个矩形的宽与长的关系式解题的关键． 根据图示规律，依次写出相应序号的矩形的宽与长，便不难发现，下一个矩形的宽是上一个矩形的长，长是上一个矩形的长与宽的和，然后写到序号为⑩的矩形宽与长，再根据矩形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：由分析知： 第1个长方形的周长为； 第2个长方形的周长为； 第3个长方形的周长为； 第4个长方形的周长为； 第5个长方形的周长为； 第6个长方形的周长为； 第7个长方形的周长为； 第8个长方形的周长为； 序号为⑨的矩形的宽为； 序号为⑩的矩形的宽为． 所以，序号为⑩的矩形周长466． 故答案为：466． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解不等式组：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（ ）求出每个不等式的解集，再取公共部分即可得到不等式组的解集； （ ）先计算括号内的分式减法运算，然后计算分式乘除法即可； 本题考查了解不等式组和分式的运算，熟练掌握解不等式组解法和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（ ） 解不等式得：， 解不等式 得：， ∴不等式组的解集为； （ ） ． 18. 为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解该校学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干名学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周的体育锻炼时间 （小时）分为五组：①；②；③；④；⑤共五种情况．最后将调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是______人； （2）⑤在扇形统计图中对应的圆心角度数是______°，并补全频数分布直方图； （3）该校有学生3000名，估计该校平均每天运动达1小时的人数为______； （4）请对该校学生体育锻炼时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）500 （2）90， 补全条形统计图如图所示： （3）1350人 （4）达到每天1小时以上的不足50%，学校需要加强体育锻炼时间的安排 【解析】 【分析】（1）由第③组的人数和所占的百分比进行计算，即可得到答案； （2）用第⑤组的人数除以本次测试的总人数得到所占百分比，再乘以即可得到答案，先算出第④组的人数，再补全条形统计图即可； （3）先找出平均每天运动1小时及以上的学生人数分布在④、⑤这两组，计算出占被调查人数的百分比，从而即可得到答案； （4）根据实际情况，提出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：由图可得： 本次抽样测试的学生人数是：（人）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：由图可得： ⑤在扇形统计图中对应的圆心角度数是：， 第④组的人数为：（人）， 故答案为：90； 【小问3详解】 解：平均每天运动1小时及以上的学生人数分布在④、⑤这两组， 占被调查人数的百分比为： ， 所以该校平均每天运动达1小时的人数为：（人）， 故答案为：1350人； 【小问4详解】 解：达到每天1小时以上的不足50%，学校需要加强体育锻炼时间的安排． 【点睛】本题主要考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键． 19. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的 种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的 种客车，则可少租 辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用 种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用两种客车共辆，要求 种客车不超过 辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（ ）的条件下，若 种客车租金为每辆元， 种客车租金每辆 元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】（1）原计划租用 种客车辆，这次研学去了人； （2）该学校共有 种租车方案，方案 ：租用 辆 种客车， 辆 种客车；方案 ：租用 辆 种客车， 辆 种客车；方案 ：租用 辆 种客车， 辆 种客车； （3）租用 辆 种客车， 辆 种客车最合算． 【解析】 【分析】（ ）设原计划租用 种客车 辆，则这次研学去了人，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （ ）设租用 种客车 辆， 则租用 种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （ ）分别求得三种方案的费用，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键． 【小问1详解】 设原计划租用 种客车 辆，则这次研学去了人， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：原计划租用 种客车辆，这次研学去了人； 【小问2详解】 设租用 种客车 辆， 则租用 种客车辆， 根据题意得 ， 解得：， 又∵ 为正整数， ∴ 可以为 ， ， ， ∴该学校共有 种租车方案， 方案 ：租用 辆 种客车， 辆 种客车； 方案 ：租用 辆 种客车， 辆 种客车； 方案 ：租用 辆 种客车， 辆 种客车； 【小问3详解】 选择方案 的总租金为（元）； 选择方案 的总租金为（元）； 选择方案 的总租金为（元）； ∵， ∴租用 辆 种客车， 辆 种客车最合算． 20. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂 ，连杆BC，悬臂 和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂 与连杆 的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂 与桌面l平行时， °； （2）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （3）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂 与连杆 的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，） 【答案】（1）58 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点 B作直线，则，根据平行线的性质，即可解答； （2）过点 C作，垂足为 F， 过点 B作， 垂足为N， 过点D作 垂足为M， 设 与 交于点G，则，，，，，，易得则最后根据，即可解答； （3）过点D作， 垂足为M， 设 与 交于点 G，则，，，，，，易得，则进而得出，， 最后根据，即可解答． 【小问1详解】 解：过点 B作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：58； 【小问2详解】 解：过点 C作，垂足为 F， 过点 B作， 垂足为N， 过点D作 垂足为M， 设 与 交于点G， 则，，，，，， ∵， 在中，， ， ∴， ∴悬臂端点 C到桌面l的距离约为． 【小问3详解】 解：过点D作， 垂足为M， 设 与 交于点 G，则，，，，，， ∵摄像头点 D到桌面l的距离为， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是12． （1）求点A的坐标及m和k的值． （2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式 的解集． （3）若直线与四边形 有交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1），， （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质： （1）令 ，可得，再由平行四边形的面积是12，可得，进而得到，，即可； （2）①联立两函数解析式，即可求解；②直接观察图象，即可求解； （3）分别求出直线过点C，A时t的值，即可求解． 【小问1详解】 解：令 ， 则， ∴ ， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴设， ∵平行四边形的面积是 12， ∴，即， ∴，，即， ∵点C在直线上， ∴， ； 【小问2详解】 解：①由（1） 知， ∴直线的解析式为 由（1） 知，， ∴反比例函数的解析式为 ， 联立得：，解得：或 ， ∴一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为； ②由图可得， 当或时，反比例函数 的图象在一次函数的图象上方或两图象相交， ∴不等式 的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图所示， 当直线经过点C时， t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值， 将点代入， 得： ，解得； 将点代入， 得： ，解得， ∴若直线与四边形有交点时， t的取值范围为． 22. 如图， 是 的内接三角形，连接，过点 作，交 的切线于点 ， 与 交于点 ． （1）求证：； （2）若 的半径为10，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 为 的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，锐角三角函数的定义，垂径定理等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，由切线的性质及直角三角形的性质证出 ，得出，则可得出结论； （2）过点 作于 ，则 ，由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义证出，得出，求出 的长，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点 作于 ，则 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小明学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线 垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是2． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小明想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小明找到点P的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小明重新设计抛物线，其表达式为当，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）作A点关于y轴的对称点，连接交于点P，则P点即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据题意，设抛物线的解析式为，待定系数法求解即可； （2）作 点关于 轴的对称点，连接交于点 ，则 点即为所求，据此求解即可； （3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得 的取值范围即可． 【小问1详解】 设抛物线的解析式为 把点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 把代入得，得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令 ，得， ∴P点的坐标为； 【小问3详解】 ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 当时，得： 解得： 当时， 由，得： ， 解得： ∴； 由，得： ， ∴； ∴当时，都成立； 当时，得： 解得： ∴都成立； 综上所述，b的取值范围为 24. 【教材呈现】如图是人教版八年级下册教材页的部分内容． 折纸做，，的角 步骤：对折矩形纸片 ，使与 重合，得到折痕 ，把纸片展平， 步骤：再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕，同时得到了线段． 【问题解决】 （1）求证：四边形是矩形； （2）若交 于点 ，求； 【拓展探究】 （3）如图，若点 是线段上一个动点，将沿折叠，使点 的对应点为点 ，连接， 若，，当是等腰三角形时，求 的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形 是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）； （3） 或或． 【解析】 【分析】（ ）由四边形 是矩形，得，，，证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法即可求证； （ ）由翻折可知，在中，，求出，最后由折叠性质即可求解； （ ）分三种情况当时，过点 作于 交 于 ，当时， 连接， 设交 于 ，当时分析即可； 本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，折叠的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（ ）略 （ ）由翻折可知，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴ ； （ ）解：如图中，当时，过点 作于 交 于 ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图中，当时， 连接，设交 于 ， ∵， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图中，当时，因为是线段 的垂直平分线，也是线段 的垂直平分线， ∴与重合， ∴点 与点 重合，； 综上所述，满足条件的 的值为 或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $