专题02 数轴和有理数的大小比较重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题02 数轴和有理数的大小比较重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数轴比较有理数的大小 题型四 有理数的大小比较 题型五 有理数大小比较的实际应用 题型六 数轴上两点之间的距离 题型七 数轴上点的覆盖问题 题型八 数轴上的动点问题 题型九 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十 用数轴解决实际问题 知识点1：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   1．（23-24七年级上·全国·单元测试）在下图中，表示数轴正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 ，在直线上任取一点表示0，这个点叫做 ；通常规定直线上向右的方向为 ；选取适当的长度作为 ，数轴的三要素为 、 、 . 3．（23-24七年级上·广东肇庆·期中）(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 【经典例题二 用数轴上的点表示有理数】 【例2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 1．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·北京顺义·期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和数的两点，那么的值为 ．    3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）（1）先画出数轴，并将下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排序． ． （2）在你所画的数轴上标出表示数2的点A，直接写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数是 ． 【经典例题三 利用数轴比较有理数的大小】 【例3】（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·青海海东·期中）若，，且，把、、、、0按从大到小的顺序进行排列可以排列为 ． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期中）点A、B在数轴上的位置如图所示： (1)点A表示的数是________，点B表示的数是________． (2)在原图中分别标出表示的点C、表示的点D，并用“”号把这四个点所表示的数连接起来． 【经典例题四 有理数的大小比较】 【例4】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）下组各数中，大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）（1）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （2）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （3）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【经典例题五 有理数大小比较的实际应用】 【例5】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 【经典例题六 数轴上两点之间的距离】 【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A到点C的距离等于（    ） A．3 B．6 C．3或9 D．2或10 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）数轴上三个不同的点A、B、P、点A表示的数为，点B表示的数为3．若A、B、P三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”，则符合“和谐三点”的点P对应的数为 ． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8．    (1)写出点A和点B表示的数．A： B： (2)写出与B点距离为厘米的点C所表示的数．C： (3)在数轴上有一点P用于表示数x，请用含x的代数式表示点P到点A、点B距离的和，并说明当x取什么数值时，点P到点A、点B距离的和最小． 【经典例题七 数轴上点的覆盖问题】 【例7】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 1．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（　　） A．2011或2012 B．2012或2013 C．2013或2014 D．2014或2015 2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2021cm的线段AB，则盖住的整点的个数是 ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【经典例题八 数轴上的动点问题】 【例8】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为；则翻转2021次后，数轴上数所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【经典例题九 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例9】（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【经典例题十 用数轴解决实际问题】 【例10】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 1、（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 2、（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 3、（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能在（  ） A．点右侧或，两点之间 B．点左侧或，两点之间 C．点右侧或，两点之间 D．点左侧或，两点之间 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法中正确的个数为（    ） ①正数和负数统称为有理数；②相反数是本身的数是正数；③有最小的负数，没有最大的正数；④如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个正数；⑤数轴上表示的点一定在原点的左边． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级上·北京朝阳·期中）点、、和原点在数轴上的位置如图所示，点、、对应的有理数为、、（对应顺序暂不确定）．若，，，那么表示数的点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上，向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（    ）    A． B．505 C． D．506 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为，则点表示的数是 ． 7．（2023·江苏盐城·模拟预测）在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为 . 8．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图，两点在数轴上（A在B的右侧），点A表示的数是2，两点间的距离是4，点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数是 ．    9．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为，b，10．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，且点B对齐刻度尺处，点C对齐刻度尺处．    （1）在图1的数轴上， 个单位长度． （2）数轴上点B所对应的数b为 ． 10．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中，，c为整数，． （1）若，则A，B，C中与M距离最小的点为 ； （2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 个． 11．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序用“＞”连接起来， ，0，，2.5，， 12．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点，其中，，设点所对应的数的和是． (1)若为原点．则点对应的数是__________；点对应的数是__________，__________． (2)若原点在图中数轴上点的右边，且．求． 13．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 14．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数； (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒． ①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示） ②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴和有理数的大小比较重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数轴比较有理数的大小 题型四 有理数的大小比较 题型五 有理数大小比较的实际应用 题型六 数轴上两点之间的距离 题型七 数轴上点的覆盖问题 题型八 数轴上的动点问题 题型九 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十 用数轴解决实际问题 知识点1：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可． 【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意； 、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）在下图中，表示数轴正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴的定义及特点进行解答即可． 【详解】A、符合数轴的定义，故本选项正确； B、因为-1＞-2，所以-1应在-2的右边，故本选项错误； C、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，而此直线没有原点，故本选项错误； D、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，而此直线没有正方向，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴的定义及特点，即数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，数轴上右边的数总比左边的大． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 ，在直线上任取一点表示0，这个点叫做 ；通常规定直线上向右的方向为 ；选取适当的长度作为 ，数轴的三要素为 、 、 . 【答案】 数轴 原点 正方向 单位长度 原点 正方向 单位长度 【详解】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．在画数轴时，一般先画成一条水平的直线，再在直线上选取一点为原点，然后用箭头表示向右为正，最后根据需要选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，…． 故答案为数轴，原点，正方向，单位长度，原点，正方向，单位长度. 3．（23-24七年级上·广东肇庆·期中）(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 【答案】(1)，，，表示的数分别是：，，，； (2)见解析． 【分析】（）根据数轴可以直接写出点，，、表示的数； （）画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点； 此题主要考查了数轴，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度． 【详解】（1）由数轴可得，点，，，表示的数分别是：，，，； （2）先画出数轴，表示如下图所示：    【经典例题二 用数轴上的点表示有理数】 【例2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，一次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， 余， 数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母重合， 故选：D． 1．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可． 【详解】解：因为该圆的半径为2个单位长度，则圆的周长为个单位长度， 即该圆沿数轴向左滚动1周的距离为个单位长度， 则点的对应点表示的数是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴、圆的周长公式等知识，理解数与数轴上的点的对应关系是解题的关键． 2．（23-24七年级上·北京顺义·期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和数的两点，那么的值为 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数以及数轴上两点之间的距离，求得数轴上表示和数的两点相距8个单位长度是解题关键．首先根据题意“数轴的单位长度是”求得数轴上表示和数的两点相距8个单位长度，然后计算的值即可． 【详解】解：根据题意，数轴的单位长度是， 则数轴上表示和数的两点相距个单位长度， 所以，的值为． 故答案为：5． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）（1）先画出数轴，并将下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序排序． ． （2）在你所画的数轴上标出表示数2的点A，直接写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数是 ． 【答案】（1）画图见解析；（2）见解析，或6 【分析】本题考查用数轴表示有理数，有理数比较大小，数轴上点的移动． （1）画出数轴，表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可； （2）分向左和向右两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）， 在数轴上表示各数，如图： 由图可知：； （2）点在数轴上的位置如图所示： ∵点表示的数为2， ∴将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数是或； 故答案为：或6 【经典例题三 利用数轴比较有理数的大小】 【例3】（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上有理数的大小比较，正负数，解题的关键是熟练掌握数轴上有理数的大小比较法则，根据数轴上的数，以右为正方向时，右边的数永远大于左边的数，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系以及实数的加法法则解决问题即可． 【详解】解：由图知，故选项A、B错误，不符合题意； ， ，故选项C错误，不符合题意； ，根据图像可得，， ，故选项D正确，符合题意． 故选:D． 【点睛】本题主要考查数轴上的点表示的数的大小关系，实数的加法法则，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系，实数的加法法则是解题的关键． 2．（23-24七年级上·青海海东·期中）若，，且，把、、、、0按从大到小的顺序进行排列可以排列为 ． 【答案】 【分析】由，，利用相反数得，，由，说明在数轴上到零点的距离大于到零点的距离，可知数轴上在零到之间，在b到零之间，所以，，整理从大到小的顺序即可． 【详解】解：∵ ，， ∴，， ∵， ∴数轴上到零点的距离大于到零点的距离， ∴数轴上在零与之间，在b与零之间， ，， 则：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小排序，相反数，正数、零、负数在数轴上的位置关系，判断出数轴上到零点的距离大于到零点的距离是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期中）点A、B在数轴上的位置如图所示： (1)点A表示的数是________，点B表示的数是________． (2)在原图中分别标出表示的点C、表示的点D，并用“”号把这四个点所表示的数连接起来． 【答案】(1)，1； (2)标出位置见解析，． 【分析】（1）本题考查数轴上的点表示的数，根据数轴上A、B所在的位置，即可解题； （2）本题主要考查了用数轴表示有理数，以及利用数轴比较有理数的大小，根据数轴表示数的方法在数轴上表示出C、D的位置，然后进行比较大小即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，1； （2）解：数轴表示如下图所示： ． 【经典例题四 有理数的大小比较】 【例4】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 1．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）下组各数中，大小关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小的比较方法比较即可； 【详解】解：A． ，故正确， B． ，故错误， C． ，故错误， D． ，故错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数大小的比较，正确计算是解题的关键． 2．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）（1）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （2）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ； （3）设，，且，用“”号把、、、连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的方法，熟练掌握该方法是解题的关键．必须明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小． （1）首先根据，，且，可得，然后判断出，即可推得，据此求解即可； （2）首先根据，，且，可得，，然后判断出，即可推得，据此求解即可； （3）根据已知得出为负数，为正数，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：（1），，且， ， ， ， 用“”号把、、、连接起来为； （2），，且， ，， ， ， 用“”号把、、、连接起来为； （3），，且， 为负数，为正数，， ，， 用“”号把、、、连接起来为； 故答案为：；；． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去绝对值，再比较大小； （2）比较两个负数绝对值的大小，绝对值大的反而小； （3）先去绝对值、多重符号，再比较大小； （4）比较两个负数绝对值的大小，绝对值大的反而小． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ； （3）解：，， ； （4）解：， ． 【点睛】本题考查比较有理数的大小，去绝对值，去多重符号等，解题的关键是掌握“两个负数比较大小时，绝对值大的反而小” ． 【经典例题五 有理数大小比较的实际应用】 【例5】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较，即可作出判断． 【详解】解：， 故温度最低是， 故选：C． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者”，先确定和，得到，再根据法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴=，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了新定义中的有理数的大小比较，解题的关键是理解题中给出的运算法则． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 【答案】（1）1号的直径最大，最大直径是200.2（mm）；3号的直径最小，最小直径是199.7（mm）；（2）质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【分析】（1）先比较表格中6个数据的大小，然后根据最大的数据和最小的数据即为直径最大和最小解答即可； （2）与规定质量差的绝对值最小的就是质量最好的，与规定质量差的绝对值最大的就是质量最差的，据此解答即可． 【详解】解：（1）由﹣0.3＜﹣0.2＜﹣0.1＜0＜0.1＜0.2知：1号的直径最大，最大直径是200+0.2=200.2（mm）； 3号的直径最小，最小直径是200﹣0.3=199.7（mm）； （2）由于， 所以质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用、有理数的大小比较以及绝对值的实际应用，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 【经典例题六 数轴上两点之间的距离】 【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，即可得出点表示的数，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为， ∴，点对应的数是， ∵移动后的长方形与原长方形 重叠部分的面积为， ∴阴影部分的面积为，，， 如图，当长方形向左平移时， 即， ∴， ∴表示的数为， 如图，当长方形向右平移时， 即， ∴， ∴， ∴， ∴表示的数为， ∴点表示的数为或， 故选：． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A到点C的距离等于（    ） A．3 B．6 C．3或9 D．2或10 【答案】D 【详解】解：∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，若点B到点C的距离为6， ∴当C在B的左侧时，点C表示的数是1﹣6＝﹣5， 当C在B的右侧时，点C表示的数是1＋6＝7， 点A与点C的距离是﹣3﹣（﹣5）＝2或7﹣（﹣3）＝10． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴，分情况讨论得到点C表示的数是解题关键． 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）数轴上三个不同的点A、B、P、点A表示的数为，点B表示的数为3．若A、B、P三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”，则符合“和谐三点”的点P对应的数为 ． 【答案】或3或或1或7． 【分析】依据“和谐三点”的定义，分点P与点A重合，点P与点B重合时，点P在点A的左侧，在A，B之间，在点B的右侧五种情形解答即可． 【详解】解：当点P与点A重合时，， ∴点P对应的数表示为； 当点P与点B重合时，， ∴点P对应的数表示为3； 点P在点A的左侧时， ∵A、B、P三个点是“和谐三点”， ∴． ∴点P对应的数表示为； 当点P在A，B之间时， ∵A、B、P三个点是“和谐三点”， ∴， ∴点P对应的数表示为1； 当点P在点B的右侧时， ∵A、B、P三个点是“和谐三点”， ∴． ∴点P对应的数表示为7． 综上所述，符合“和谐三点”的点P对应的数表示为：或3或或1或7． 故答案为：或3或或1或7． 【点睛】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离，分类讨论的思想．本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义的解题的关键． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8．    (1)写出点A和点B表示的数．A： B： (2)写出与B点距离为厘米的点C所表示的数．C： (3)在数轴上有一点P用于表示数x，请用含x的代数式表示点P到点A、点B距离的和，并说明当x取什么数值时，点P到点A、点B距离的和最小． 【答案】(1)，3 (2)或 (3)当时，有最小值，最小值为6 【分析】此题考查了数轴、相反数、数轴上两点间的距离． （1）根据点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8，点A和点B表示互为相反数即可求解． （2）分两种情况，结合数轴上两点间的距离，即可； （3）分三种情况讨论：当点P在点A、点B之间时，当点P在点A的左侧时， 当点P在点B的右侧时，即可． 【详解】（1）解：数轴上表示互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8， 与B的距离为：， 表示的数为，B表示的数为3； （2）解：与点B距离厘米的点C表示的数为： 或， 故点C表示的数为：或； （3）解：依题意可得：点P到点A为，点B距离的和， ∴点P到点A、点B距离的和为， 当点P在点A、点B之间时，点P到点A、点B距离为6； 当点P在点A的左侧时，点P到点A、点B距离为； 当点P在点B的右侧时，点P到点A、点B距离为； ∴当时，有最小值，最小值为6． 【经典例题七 数轴上点的覆盖问题】 【例7】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 1．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（　　） A．2011或2012 B．2012或2013 C．2013或2014 D．2014或2015 【答案】C 【分析】此题应考虑线段AB的端点正好在两个整数点上和两个端点都不在整数点上两种情况． 【详解】解：若线段AB的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，由此可得长为2013厘米的线段AB盖住2014个整点， 若线段AB的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，由此可得长为2013厘米的线段AB盖住2013个整点， ∴长为2013厘米的线段AB盖住2013或2014个整点． 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴的应用，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或(n+1)个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2021cm的线段AB，则盖住的整点的个数是 ． 【答案】2022或2021/2021或2022 【分析】以线段AB的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． 【详解】解：∵数轴的单位长度是1cm，AB=2021cm， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2021个整点． ∴线段AB共盖住了2022个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2021个整点． 综上，线段AB盖住的整点的个数为2022或2021个． 故答案为2022或2021． 【点睛】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 【经典例题八 数轴上的动点问题】 【例8】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 1．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为；则翻转2021次后，数轴上数所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】由题意可知转一周后， C、B、A、D分别对应的数为，可知其四次一循环， 由此可确定出所对应的点的答案． 【详解】解：当正方形在转动第一周的过程中，所对应的点是，所对应的点是B，所对应的点是，所对应的点是D， ∴四次一循环， ∵ ∴所对应的点是点 故选 【点睛】本题考查的是数轴上点的运动规律，掌握由具体到一般的思想方法推导规律是解题的关键. 2．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为，将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、的对应点分别为，点是线段的中点，当面积为9时，点表示的数为 ． 【答案】14或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长度． 分两种情况讨论：①当正方形沿数轴向右移动时，②当正方形沿数轴向左移动时根据面积为9，正方形的边长为3，求出的长再求出的长，再根据是的中点求出的长，然后由点表示的数为，从而得出结论． 【详解】解：∵正方形的边长为3，点表示的数为， ①当正方形沿数轴向右移动时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为； ②当正方形沿数轴向左移动时，如图， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为． 综上，数轴上点表示的数是14或； 故答案为：14或． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【详解】（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 【经典例题九 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例9】（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴可得，进而根据实数的运算法则即可判断求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴， ∴错误，正确， 故选：． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 【详解】解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【答案】(1)a为正数，b为负数 (2)见解析 (3)b表示的数是，表示的数是10 (4)a表示的数是5，表示的数是 【分析】本题考查了数轴，相反数，正负数，数轴上两点之间的距离等知识： （1）根据原点右边的数是正数，原点左边的数是负数判断即可； （2）根据相反数的定义表示出即可； （3）根据b与表示的点相距20个单位长度即可求出b、表示的数； （4）根据数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度即可求出a、表示的数． 【详解】（1）由数轴得，数a在原点右边，故数a为正数，数b在原点左边，故数b为负数； （2）如图， ； （3）由题意，得， 解得， ∴， 即b表示的数是，表示的数是10； （4）由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴a表示的数是5，表示的数是． 【经典例题十 用数轴解决实际问题】 【例10】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)作图见解析，C村离A村有 (2)邮递员一共骑行了20千米； 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用； （1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答； （2）列出加法算式计算即可； 【详解】（1）解：如下图： 答：C村离A村有； （2）解：， 答：邮递员一共骑行了20千米 1、（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 【答案】(1)西边；14； (2)16 (3)货车一共行驶了38千米，共用了19升油 【分析】（1）以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，依此画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家在数轴上的位置所表示的数的绝对值之和； （3）注意要用绝对值来表示距离，求出路程的和，然后求用的油即可． 【详解】（1）解：根据题意在数轴上表示如下： 小英家在超市西边方向，小英家距离超市14千米， 故答案为：西边；14； （2）小英家距小刚家有km， 故答案为：16； （3）根据题意得： 千米， 升． 货车一共行驶了38千米，货车共用了19升油． 【点睛】题目主要考查有理数在数轴上表示，有理数的加法及绝对值的意义及有理数的除法的应用，理解题意是解题关键． 2、（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 【答案】甲没获胜． 【分析】可以把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，根据数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9，即标志物向甲移了1.9m，由此判断甲没获胜． 【详解】拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向， 标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9， 即标志物向甲移了1.9m＜2m，由此判断甲没获胜． 考点：有理数的加减混合运算． 3、（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)作图见详解 (2)千米 (3) 【分析】（1）根据数轴表示有理数的方法即可求解； （2）运用数轴求两点之间的距离的方法即可求解； （3）运用有理数的加减法运算即可求解． 【详解】（1）解：货车从货场出发，用一个单位长度表示千米，以东为正方向， ∴以货场为原点，根据题意，货车行驶到各点的位置如图所示，    （2）解：由（1）中数轴图示可知，超市距货场的距离为千米． （3）解：货车行驶的路程为． 【点睛】本题主要考查有理数加减法在实际中的运用，掌握数轴表示有理数的方法，数轴上求两点之间距离的方法，有理数加减法的运算等知识是解题的关键． 1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据题意得出与互为相反数，与互为相反数，再根据表示数与的点相距30个单位长度即可求出表示数的点到原点的距离为15，再根据表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的求出的值，从而求出的值． 【详解】解：表示数的点与表示数的点到原点的距离相等， 与互为相反数，即原点在、之间，如图， 与互为相反数，且表示数与的点相距30个单位长度， 表示数的点到原点的距离为15， 表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的， ， ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能在（  ） A．点右侧或，两点之间 B．点左侧或，两点之间 C．点右侧或，两点之间 D．点左侧或，两点之间 【答案】B 【分析】根据“、、三个数的乘积为正数”可知、、均为正数或一个数是正数，另外两个数是负数，结合、、三点在数轴上的位置，即可得到答案． 【详解】解：、、三个数的乘积为正数， 、、均为正数或一个数是正数，另外两个数是负数， 、、三点全都在原点右侧或三点中有一点在原点右侧，另外两点在原点左侧， 数轴上原点的位置可能在点左侧或，两点之间， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上点的特征，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法中正确的个数为（    ） ①正数和负数统称为有理数；②相反数是本身的数是正数；③有最小的负数，没有最大的正数；④如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个正数；⑤数轴上表示的点一定在原点的左边． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据有理数的定义，有理数的分类，相反数的定义，数轴的认识即可求解． 【详解】解：①正有理数，0和负有理数统称为有理数，故该说法错误； ②相反数是本身的数是0，故该说法错误； ③没有最小的负数，没有最大的正数，故该说法错误； ④如果两个数的和是正数，那么这两个数可能为正数和0或者正数和负数或者正数和正数，这两个数中至少有一个正数，故该说法正确； ⑤当时，则一定在原点的右边，故该说法错误； 综上，说法正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的定义，相反数的知识，数轴，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆． 4．（23-24七年级上·北京朝阳·期中）点、、和原点在数轴上的位置如图所示，点、、对应的有理数为、、（对应顺序暂不确定）．若，，，那么表示数的点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据，可得异号，且负数的绝对值大，从而可得出，进而得出，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：，， 异号，且负数的绝对值大， 由数轴可得，点、、三个点中，有两个点为正，一个点为负，且异号， ， ， ， 数表示点，数表示点， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是明确数轴的特点，能根据题目中的信息，判断各个数在数轴上对应哪一个点． 5．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上，向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（    ）    A． B．505 C． D．506 【答案】B 【分析】由题意知，，由表示的数为2，表示的数为4，表示的数为6，…，可推导一般性规律：表示的数为，则表示的数为1010，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵表示的数为2，表示的数为4，表示的数为6，…， ∴可推导一般性规律：表示的数为， ∴表示的数为1010， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上点的规律探究．解题的关键在于推导一般性规律． 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为，则点表示的数是 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查的数轴，折叠的性质，掌握数轴的特点，折叠的性质是解题的关键． 根据折叠分类讨论，当落在4对应的点时；当落在对应的点时；结合数轴的特点即可求解． 【详解】解：，， 当落在4对应的点时，表示的数为：； 当落在对应的点时，表示的数为：； 综上，表示的数为或1， 故答案为：或1． 7．（2023·江苏盐城·模拟预测）在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为 . 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是注意数形结合．根据可得当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，即可求解． 【详解】解：， 当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，最少整数点为个， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图，两点在数轴上（A在B的右侧），点A表示的数是2，两点间的距离是4，点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数是 ．    【答案】0 【分析】 本题考查了数轴的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先求出点到点的距离为2，再根据数轴的性质求解即可得． 【详解】解：∵两点间的距离是4，点到点、点的距离相等， ∴点到点的距离为2， 又∵点表示的数是2，点在点的左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：0． 9．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为，b，10．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，且点B对齐刻度尺处，点C对齐刻度尺处．    （1）在图1的数轴上， 个单位长度． （2）数轴上点B所对应的数b为 ． 【答案】 18 【分析】（1）根据两点之间的距离即可得出答案； （2）先求出个单位长度是多少厘米，再求是几个单位长度，根据有理数的加法即可得出答案． 【详解】解：（个）， ∴个单位长， 故答案为：； （2）单位长度是：， （个）， ， ∴数轴上点所对应的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，有理数的加减运算．掌握如果数轴上两点，表示的数为，，那么，之间的距离是是解题的关键． 10．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中，，c为整数，． （1）若，则A，B，C中与M距离最小的点为 ； （2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 个． 【答案】 A 3 【分析】（1）若，，，求出m的值，再求出A，B，C中与M距离，比较大小，得出与M距离最小的点为A； （2）若在A，B，C中，点C是一个变化的点，点 M随它变化，因此也随之变化．点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个． 【详解】解：（1）当，，时，， ，，， 所以A，B，C中与M距离最小的点为A． 故答案为：点A． （2）． ①当时，．，，，此时最小； ②当时，．，，，此时最小； ③当时，．，，，此时最小； 所以符合条件的点C有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 11．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序用“＞”连接起来， ，0，，2.5，， 【答案】数轴见解析， 【分析】此题考查了在数轴上表示数和借助数轴比较大小，画出数轴，把数表示在数轴上，再用“＞”连接起来即可. 【详解】解：，， 数轴如图： 12．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点，其中，，设点所对应的数的和是． (1)若为原点．则点对应的数是__________；点对应的数是__________，__________． (2)若原点在图中数轴上点的右边，且．求． 【答案】(1)，1， (2) 【分析】本题主要考查了数轴的知识，根据题意确定点所对应的数是解题关键． （1）根据题意，确定点所对应的数，即可获得答案； （2）根据题意，确定点所对应的数，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，，， 若为原点，即点对应的数为0， 则点对应的数为，点对应的数为1， ∴． 故答案为：，1，； （2）解：根据题意，原点在图中数轴上点的右边，且， 则点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴． 13．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)2 (2)①；②A表示的数是，B表示的数是 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离， （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①同（1）求解即可； ②根据结合A、B关于对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， 又∵数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴折痕处表示的数为0， ∴数轴上数表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）解：①∵表示的点与3表示的点重合， 又∵数轴上数表示的点与数3表示的点关于点1对称， ∴折痕处表示的数为1， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ②∵， ∴点A、B到的距离均为， 又∵A在B的左侧， ∴A、B两点表示的数分别是，． 14．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数； (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒． ①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示） ②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 【答案】(1)； (2) (3)， ；或或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的感觉． （1）根据两点表示的数是互为相反数即可得到答案； （2）设点所表示的数为，根据题意列出方程即可得到答案； （3）①根据数轴上的点左加右减的运动规律得到答案； ②分三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：，两点表示的数是互为相反数， 点表示的数是，点表示的数为； （2）解：设点所表示的数为， 根据题意得：， 解得， 故答案为：； （3）解：①运动时间为秒， 点表示的数是，点表示的数为； ②当为中点时，即未出发， ， 当点为中点时，此时， 点表示的数是，点表示的数为， 解得， 当点为中点时，此时， ， 解得． 综上所述，或或． 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 【答案】(1)14；1 (2) (3)2 【分析】本题考查数轴哦上两点间的距离，中点的定义， （1）利用提供的方法解题即可； （2）按照两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法推导出一般公式； （3）运用两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法解决问题即可． 【详解】（1）解：， P点所表示的数为， 古答案为：14；1； （2）； ∵P是的中点， ∴， ∴P表示的数为． （3）t秒后C点所表示的数为：，D所表示的数为， ， ∵M是的中点， ∴， ∴点M所表示的数为， ∴， ∴M的速度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$