课时梯级训练(19) 抛物线的简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(19)　抛物线的简单几何性质 1．(2024·阜阳高二期末检测)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点P(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　) A． B．(0，－1) C． D． A　解析：依题意P(2，－2)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，所以－2＝a×22，解得a＝－， 所以y＝－x2，即x2＝－2y， 故2p＝2，＝，且抛物线开口向下， 所以抛物线的焦点坐标为. 2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3| C　解析：如图所示，由定义知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋， 由2x2＝x1＋x3知，2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|. 3．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置(信号装置安装在抛物线的焦点处).已知接收天线的口径(直径)为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为(　　) 　 A． m B． m C． m D． m A　解析：如图建立直角坐标系，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，利用已知条件可得点A在抛物线上，所以＝2p，则＝，所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为 m. 4．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过C上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若△PQF是边长为4的正三角形，则p＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：由题知F，因为△PQF是边长为4的正三角形， 所以|PF|＝|QF|＝|PQ|＝4， 根据抛物线定义可知xP＋＝4，即xP＝4－， 所以y＝2p，故P，所以Q， 所以|QF|＝＝4， 解得p＝2. 5．(多选)下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是(　　) A．－＝0 B．2y－x2＝0 C．4x2＋9y2＝1 D．x2＋2x＋y2＝0 AC　解析：对于A选项，对于曲线－＝0上的任意点(x，y)，其关于x轴对称的点(x，－y)满足方程－＝0，关于y轴对称的点(－x，y)也满足方程－＝0，故满足条件； 对于B选项，曲线2y－x2＝0表示焦点在y轴正半轴上的抛物线，其关于y轴对称，但不关于x轴对称，故不满足条件； 对于C选项，曲线4x2＋9y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，曲线4x2＋9y2＝1满足既关于x轴对称，又关于y轴对称，故满足条件； 对于D选项，曲线x2＋2x＋y2＝0表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，其关于x轴对称，不关于y轴对称，故不满足条件． 6．(多选)平面内到定点F(0，1)和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C.则(　　) A．曲线C的方程为x2＝4y B．曲线C关于y轴对称 C．当点P(x，y)在曲线C上时，y≥2 D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2 AB　解析：由抛物线定义，知曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为x2＝4y，故A正确； 若点(x，y)在曲线C上，则点(－x，y)也在曲线C上，故曲线C关于y轴对称，故B正确； 由x2＝4y知y≥0，故C错误； 点P到直线l的距离d≥1，故D错误． 7．已知M(2，0)，N(3，0)，P是抛物线C：y2＝3x上一点，则·的最小值是__________. 答案：5　解析：设P(x，y)，则＝(2－x，－y)，＝(3－x，－y)， 所以·＝(3－x)(2－x)＋y2＝x2－5x＋6＋y2. 因为点P在抛物线C上，所以y2＝3x， 所以·＝x2－5x＋6＋y2 ＝x2－5x＋6＋3x＝x2－2x＋6≥5，当且仅当x＝1时取等号． 8．已知M为抛物线y2＝4x上的一个动点，则M到点A(0，2)的距离与M到该抛物线准线的距离之和的最小值为__________. 答案：　解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离|MF|，显然当A，M，F三点共线且M在线段AF上时，|MA|＋|MF|最小，最小值为|AF|，又A(0，2)，F(1，0)， ∴|AF|＝.故所求最小值为. 9．给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2. 对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由． 解：因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合． 又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1， 所以条件④不适合． 当选择条件③时，|AF|＝xA＋1＝1＋1＝2， 此时条件③适合． 故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x. 10．(2024·西安高二期末检测)“米”是象形字．数学探究课上，某同学用拋物线C1：y2＝－2px(p＞0)和C2：y2＝2px(p＞0)构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在拋物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝4，则p＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 D　解析：因为2|PQ|＝4，所以|PQ|＝2，由抛物线的对称性知xP＝－1， 由抛物线定义可知，|PF1|＝－xP， 即4＝－(－1)，解得p＝6. 11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，则p＝__________. 答案：2或4　解析：因为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2， 所以即代入抛物线方程可得8＝2p， 整理得p2－6p＋8＝0， 解得p＝2或p＝4. 12．给定抛物线y2＝2x，设A(a，0)，a≥0，P是抛物线上一点，试求|PA|的最小值． 解：设P(x，y)，则y2＝2x. ∴|PA|＝＝ ＝. ∵a≥0，x≥0， ∴当0≤a<1时，a－1<0，此时，当x＝0时，|PA|取最小值a； 当a≥1时，a－1≥0，此时，当x＝a－1时，|PA|取最小值. 13．(2024·抚州高二期中检测)已知mn≠0，则方程mx2＋ny2＝1与ny2＝mx在同一坐标系内对应的图形编号可能是(　　) 　　 　　 A．①④ B．②③ C．①② D．③④ B　解析：对于①，由双曲线的图象可知m<0，n>0；由抛物线的图象可知m，n同号，矛盾．故①错误； 对于②，由双曲线的图象可知m<0，n>0；由抛物线的图象可知m，n异号，符合要求．故②成立； 对于③，由椭圆的图象可知m>0，n>0；由抛物线的图象可知m，n同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求．故③成立； 对于④，由椭圆的图象可知m>0，n>0；由抛物线的图象可知m，n异号，矛盾．故④错误． 14．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解：以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船露出水面上的部分高为0.75 m， 所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航． 学科网（北京）股份有限公司 $$