2.3.2 抛物线的简单几何性质(2) 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 2.3.2 抛物线的简单 几何性质(2) 1.掌握抛物线的简单几何性质． 2.了解抛物线几何性质的简单应用． 抛物线的简单几何性质． 抛物线几何性质的简单应用． 2 前面我们已经学习了抛物线的标准方程及其简单的几何性质： 那么如何利用抛物线的相关知识解决实际问题呢？ 3 回忆一下，我们是如何定义抛物线的呢？ 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线．其中这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线 l 叫作抛物线的准线． 在求解抛物线有关问题时，什么是隐含条件或者线索呢？ 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线距离这个条件是隐含条件． 已知点M到点F(4，0)的距离比它到直线l:的距离小2，求点M的轨迹方程． 解：如右图，点M到点F(4，0)的距离比它到直线l:的距离小2，即点M到点F(4，0)的距离等于它到直线l'：的距离． 由此可知，点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，以直线l':为准线的抛物线． 故点M的轨迹方程是:． 到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线． 5 已知抛物线上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标． 解：由抛物线方程可得焦点F(1，0)． 设点P的坐标为( )，依题意有 将①代入②，消去 ，然后两边平方，得解得或4． 将代入①，得无解，故舍去； 将4代入①，得16，即． 所以点P的坐标为或()． 解法1：可以利用两点间距离公式直接求解． 已知抛物线上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标． 解：设点P的坐标为( )，由点P( )在抛物线上，得． 由抛物线方程可得其准线方程为． 由点Р到焦点F的距离为5可知，点Р到抛物线的准线的距离也为5， 即解得4． 将4代入得即． 所以点P的坐标为或()． 解法2：利用抛物线上的点到焦点和准线的距离相等求解． 已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3 2)，求的最小值，并求出取最小值时的P点坐标． 解： 如图，作PN⊥l于点N(l为准线)，作AB⊥l于点B， 则=， 当且仅当P为AB与抛物线的交点时取等号． 所以==3 ． 此时，带入抛物线得， 所以此时P点坐标为(2 2)． 总结：解决有关抛物线的最值问题，比如在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. O x y F A P l B N 8 某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车载一集装箱，车宽3m，车与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道?说明理由． 解: 如右图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为．设抛物线方程为 将点A的坐标代入上式，得即．抛物线方程． 将代人抛物线的标准方程，得则． 这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于所以此车不能安全通过隧道． 建系 建立适当的坐标系 求 抛 物 线 实 际 应 用 的 五 个 步 骤 ： 假设 计算 求解 还原 设出合适的抛物线标准方程 通过计算求出抛物线的标准方程 求出需要求出的量 还原到实际问题中，解决实际问题 若抛物线上的点到其焦点F的距离为3，则n的值为 ． 解：由抛物线的定义可知点P到准线的距离为3，所以． 已知点M到点的距离比点M到直线的距离小1，求点M的轨迹方程． 解：由已知可发现动点M满足：到定点A的距离与到直线的距离相等，所以动点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以该抛物线方程为． 11 解：设点P到准线的距离为d，则d，d的最小值为B到准线的距离，故最小值为当垂直于准线时取最小值． 已知P点为抛物线上的动点，A(0)，B(12)，则的最小值为 ． O x y A B P 12 2021年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度． 由题意得A()，B(6)， 设抛物线的方程为()，带入A点解得， 故抛物线的标准方程为， 令x=4，y=，此时E() ， 所以，故所搭建舞台的最大高度为米． 解：如图所示，建立平面直角坐标系， y 12 A B 2 8 6 C x E F 利用抛物线上的点到焦点和准线的距离相等这个条件解决相关问题． 求抛物线实际应用的五个步骤: 14 教材第73页习题2-3A第1-2题． 15 再 见 $$