课时梯级训练(15) 椭圆的简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(15)　椭圆的简单几何性质 1．已知椭圆C的一个焦点为(1，0)，且过点(0，)，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 B　解析：椭圆的焦点在x轴上，故设其方程为＋＝1(a＞b＞0)， 显然c＝1，b＝，则a2＝b2＋c2＝4， 故椭圆方程为＋＝1. 2．(2024·桂林高二期末检测)椭圆C：＋＝1(a>0)的焦点在x轴上，其离心率为，则(　　) A．椭圆C的短轴长为 B．椭圆C的长轴长为4 C．椭圆C的焦距为4 D．a＝4 B　解析：由条件可知e2＝1－＝1－＝，所以＝，即a＝2，所以c＝1.故选B. 3．设直线x－2y－1＝0与x轴的交点为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F2，过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆交于点M，|F1M|＝，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：根据题意可得，直线x－2y－1＝0与x轴的交点为(1，0)，即F2(1，0)，所以c＝1，且过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆交于点M，将x＝－c代入椭圆方程可得，y＝±，即|F1M|＝＝，所以＝， 所以解得所以离心率为e＝＝. 4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B1，B2是椭圆短轴的上、下顶点，P是该椭圆上任意一点，若|PF1|的最大值与最小值之积为3，且四边形F1B1F2B2的内切圆半径为，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋x2＝1 A　解析：因为|PF1|的最大值与最小值之积为3，所以(a＋c)(a－c)＝a2－c2＝b2＝3， 四边形F1B1F2B2的内切圆半径为， 所以O到直线F2B1的距离为，即bc＝，解得c＝a，即a＝2c. 所以(2c)2－c2＝3，解得c＝1，a＝2， 椭圆C：＋＝1. 5．(多选)椭圆C的方程为＋＝1，焦点为F1，F2，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的焦距为2 B．椭圆C的长轴长为6 C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2为直角 AC　解析：由题意，a＝4，b＝3， c2＝a2－b2＝7，椭圆的焦距为2c＝2，A正确； 椭圆的长轴长为2a＝8，B错误； 椭圆的离心率e＝＝，C正确； 由已知，可求得a＝4，b＝3，c＝，当点P为左顶点或者右顶点时，∠F1PF2最大，此时tan ∠F1PO＝＝<1，又∠F1PO为锐角，可得∠F1PO<，故∠F1PF2<，因此椭圆C上不存在点P，使得∠F1PF2为直角，D错误． 6．(多选)已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1，则(　　) A．k<9 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 AC　解析：由题意，在＋＝1中，有a＝5，b＝3，c＝＝＝4， ∴短半轴长为3，长半轴长为5，焦距为4×2＝8，离心率e＝＝. 在＋＝1中，有a＝，b＝，c＝＝＝4， ∴长半轴长为，短半轴长为，焦距为4×2＝8. 由解得k<9，离心率e＝. ∴A，C正确，B，D错误． 7．已知椭圆mx2＋＝1的焦距为2，则实数m＝__________. 答案：或1　解析：焦距为2，即c＝1. 当焦点在x轴上时，得m＝； 当焦点在y轴上时，得m＝1， 综上，m＝或m＝1. 8．(2023·宿州高二期末检测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，若直线AF1的斜率为，且|AF1|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为__________. 答案：　解析：设∠AF1F2＝θ，由直线AF1的斜率为，知tan θ＝＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，即得cosθ＝， 由|AF1|＝|F1F2|＝2c及椭圆定义知|AF2|＝2a－|AF1|＝2a－2c， 由余弦定理可得，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos θ， 即(2a－2c)2＝(2c)2＋(2c)2－2×(2c)×(2c)×， 化简得(a－c)2＝c2， 故a2－2ac＋c2＝c2⇒c2－2ac＋a2＝0⇒5e2－18e＋9＝0⇒e＝或e＝3(舍去)，即e＝. 9．设椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，若点P在椭圆上，且PF1⊥PF2. (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求△F1PF2的面积； (3)求P点的坐标． 解：(1)由椭圆方程得a＝5，b＝3，c＝＝4， ∴椭圆的长轴长为2a＝10；短轴长为2b＝6；焦点坐标为F1(－4，0)，F2(4，0)，离心率e＝＝. (2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a， 因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2， 即100－2|PF1|·|PF2|＝64，解得|PF1|·|PF2|＝18， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝9. (3)设P(xP，yP)，则S△F1PF2＝|F1F2|·|yP|＝4|yP|＝9，解得yP＝±，∴＋＝1，解得xP＝±， 所以P点坐标为或或或. 10．(2023·赣州高二期末检测)在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点．现有一椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，从一个焦点F1发出的一条光线经椭圆C内壁上一点P反射后经过另一个焦点F2，若∠F1PF2＝60°，且|PF1|＝a，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． D　解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，因为|PF1|＝a，所以|PF2|＝a. 所以，在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以4c2＝a2＋a2－2×××＝a2，整理得c2＝a2，所以c＝a，则e＝. 11．(多选)(2023·长沙高二期末检测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为6，焦点为F1，F2，长轴的端点为A1，A2，点M是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆C的离心率为e，则下列说法正确的是(　　) A．若△MF1F2的周长为16，则椭圆的方程为＋＝1 B．若△MF1F2的面积最大时，∠F1MF2＝120°，则e＝ C．若椭圆C上存在点M使MF1·MF2＝0，则e∈ D．以MF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切 ABD　解析：对于A选项，△MF1F2的周长为2a＋2c＝2a＋6＝16，则a＝5， 所以b＝＝4，即椭圆的方程为＋＝1，所以A正确； 对于B选项，当△MF1F2的面积最大时，点M在短轴顶点处，又∠F1MF2＝120°，所以在△MF1O中，sin 60°＝＝＝e＝，所以B正确； 对于C选项，设点M(x0，y0)， ＝x＋y－c2＝0，因为点M在椭圆C上，则＋＝1，可得y＝b2－， 所以，x＋y－c2＝x＋b2－－c2 ＝＋(a2－c2)－c2＝0，得x＝≥0， 由于－a<x0<a，可得x＝<a2，所以，c2<a2≤2c2，即c<a≤c， 可得≤e<1.因此，椭圆C的离心率的取值范围是，所以C错误； 对于D选项，设MF1的中点为N，设圆N与圆O的半径分别为r1，r2，则r2＝a， 则两圆的连心线的距离为|ON|＝|MF2|＝(2a－|MF1|)＝a－|MF1|＝r2－r1， 所以两圆内切，所以D正确． 12．(2023·钦州高二期末检测)已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点F1和右焦点F2都在x轴上，长轴长为12，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点M为椭圆C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，求点M的坐标． 解：(1)根据题意 解得∴b2＝a2－c2＝20， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)∵点M在第一象限，∴|MF1|>|MF2|， 当|MF2|＝|F1F2|＝2c＝8时，|MF1|＝2a－|MF2|与|MF1|>|MF2|矛盾， ∴|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，即|MF2|＝4. 设点M的坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则S△MF1F2＝·|F1F2|·y0＝4y0， 又S△MF1F2＝×4×＝4， ∴4y0＝4，解得y0＝， ∴＋＝1，解得x0＝3(x0＝－3舍去)，∴点M的坐标为(3，). 13．(2023·抚州高二期末检测)如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且S△PF2Q＝a2，|PF2|＋|F2Q|＝4，则E的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 A　解析：如图，连接PF1，QF1，由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形， 所以|PF2|＋|F2Q|＝|PF2|＋|PF1|＝2a＝4，得a＝2. 又因为PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF2|＝m，|QF2|＝n， 则S△PF2Q＝mn＝a2＝2，所以得m＝n＝2， 则|F1F2|＝2，则c＝，b2＝a2－c2＝2， 椭圆的标准方程为＋＝1. 14．某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群(将鱼群视为点P)洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C.现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求椭圆C的方程； (2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群(探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计)，A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5∶3，试确定此时鱼群P的位置(即点P的坐标). 解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由2a＝8，2c＝4，则a＝4，c＝2，b＝＝2， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)易知A(－2，0)，B(2，0).∵|PA|∶|PB|＝5∶3，|PA|＋|PB|＝8，∴|PA|＝5，|PB|＝3. 设P(x，y)，则解得 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3). 学科网（北京）股份有限公司 $$