课时梯级训练(14) 椭圆及其标准方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(14)　椭圆及其标准方程 1．方程＋＝10化简的结果是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 B　解析：方程＋＝10表示动点M(x，y)到两个定点(±2，0)的距离之和为定值10， 且10＞2＋2，由椭圆的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且2a＝10，c＝2，所以b2＝a2－c2＝52－22＝21. 所以椭圆的方程为＋＝1. 2．(2024·焦作高二期末检测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，b＝2，a＝c，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 C　解析：因为b＝2，a＝c，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝2， 由椭圆定义可得△ABF2的周长为4a＝8. 3．已知F1，F2分别为椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是△PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为(　　) A．x2＋9y2＝1 B．x2＋9y2＝1(y≠0) C．＋＝1 D．＋＝1(y≠0) B　解析：因为F1，F2分别为椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，所以F1(－2，0)，F2(2，0)，设G(x，y)，P(m，n)，G点是△PF1F2的重心，则得 又P是椭圆E上一动点，所以＋(3y)2＝1， 即x2＋9y2＝1. 又G点是△PF1F2的重心，所以y≠0. 所以点G的轨迹方程为x2＋9y2＝1(y≠0). 4．设P为椭圆C：＋＝1上的一点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且|PF1|－|PF2|＝，则＝(　　) A． B．2 C． D．3 B　解析：由椭圆C：＋＝1可得a2＝16，即a＝4. 因为P为椭圆C：＋＝1上的一点， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8. 因为|PF1|－|PF2|＝，所以|PF1|＝，|PF2|＝，故＝2. 5．(多选)椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　) A．9 B．23 C．16－ D．16＋ AB　解析：椭圆＋＝1的焦距为2，即2c＝2，得c＝. 依题意当焦点在x轴上时，则16－m＝7，解得m＝9； 当焦点在y轴上时，则m－16＝7，解得m＝23. ∴m的值为9或23. 6．(多选)(2024·钦州高二期末检测)若椭圆C：＋＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，则下列b的取值能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的是(　　) A．b＝ B．b＝ C．b＝2 D．b＝ ABC　解析：令椭圆＋＝1(b＞0)的半焦距为c，则以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2.因为圆x2＋y2＝c2与椭圆C有公共点，则有c2≥b2，即8－b2≥b2，解得0<b≤2，显然选项A，B，C满足，D不满足． 7．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为__________. 答案：2＜m＜　解析：∵椭圆焦点在y轴上， ∴其标准方程应为＋＝1(a＞b＞0)， ∴|m|－1＞5－2m＞0，解得2＜m＜， ∴m的取值范围为2＜m＜. 8．已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0，焦距为4，则k的值为__________. 答案：1或5　解析：将方程kx2＋3y2－6k＝0化为 ＋＝1. ∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2. 当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1； 当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5. 综上，k＝1或k＝5. 9．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，可知圆心坐标为B(－2，0)，半径为6. 如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)， 由于动圆与已知圆相内切，设切点为C. 所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|. 又|BC|＝6，所以|BM|＋|CM|＝6， 又|CM|＝|AM|，所以|BM|＋|AM|＝6， 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆． 所以a＝3，c＝2，b＝＝， 所以所求圆心M的轨迹方程为＋＝1. 10．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 C　解析：因为|MF1|＋|MF2|＝2a＝6≥2，所以|MF1|·|MF2|≤9. 11．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 D　解析：当a>0时，由基本不等式的结论有：a＋≥2＝6，当且仅当a＝3时等号成立． 当a＋＝6时，点P的轨迹表示线段F1F2， 当a＋>6＝F1F2时，点P的轨迹表示以F1，F2为焦点的椭圆． 12．(2024·桂林高二期末检测)P是椭圆＋＝1上的动点，作PD⊥y轴，D为垂足，则PD中点的轨迹方程为__________. 答案：＋＝1　解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则＋＝1.由于PD⊥y轴，D为垂足，则D(0，y0).设PD的中点为M(x，y)，则可得将代入等式＋＝1可得＋＝1，即＋＝1. 13．(2024·桂林高二期末检测)已知过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于不 同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 B　解析：不妨设A在第一象限．由椭圆的左焦点F(－1，0)，点C，F是线段AB的三等分点， 得C为AF的中点，F为BC的中点，所以xA＝1，所以＋＝1，则yA＝， 即A，所以C，B， 将点B的坐标代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝1. 又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4， 所以椭圆的标准方程是＋＝1. 14．已知椭圆E：＋＝1的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，Q点坐标是(1，3)，则|PQ|＋|PF|的最大值为__________. 答案：13　解析：由椭圆E：＋＝1可知a＝4，b＝，c＝＝3， 设椭圆左焦点F′(－3，0)，则|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PF′|≤8＋|QF′| ＝8＋＝8＋5＝13， 当且仅当P，Q，F′共线时且当P在QF′的延长线上时等号成立． ∴|PQ|＋|PF|的最大值为13. 学科网（北京）股份有限公司 $$