第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及焦点三角形问题，课堂导入结合哈雷彗星轨迹、橄榄球等生活实例，通过细绳实验引导学生观察动点几何条件，衔接圆的知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活激发兴趣，通过即时练辨析2a与焦距关系培养数学思维的严谨性，用标准方程推导和焦点三角形计算强化数学语言表达。小结系统梳理定义法、待定系数法，助力学生构建知识体系提升应用意识，也为教师提供丰富例题与训练，提高教学效率。

第二章　圆锥曲线 §1　椭　圆 1．1　椭圆及其标准方程 新课导入 学习目标 　　生活中有许多椭圆形的例子：哈雷彗星的运行轨迹、风靡全球的橄榄球、甘甜可口的西瓜、神奇的“跳舞草”……椭圆有着怎样的几何性质，它是否像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？   1.理解并掌握椭圆的定义．　2.掌握椭圆的标准方程的推导，会求椭圆的标准方程．　3.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题. 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 5 知识点一　椭圆的定义 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出如图所示的轨迹． 返回导航 思考1　在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示：笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 思考2　在这一过程中，绳子的长度与两定点F1，F2间的距离有何关系？ 提示：绳子的长度大于两定点F1，F2间的距离． 返回导航 [知识梳理] 1．定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于______(大于| F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两个焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|PF1|＋|PF2|＝____(a为大于0的常数)且2a___|F1F2|. > 2a 常数 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (3)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (4)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝3，则点P的轨迹是椭圆．(　　) √ × × √ 返回导航 2．如图，F1，F2是平面上的两点，且|F1F2|＝10，图中的 一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆 的半径分别是1，2，3，…；A，B，C，D，E是图中两组 同心圆的部分公共点．若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则(　　) A．点B和C都在椭圆M上 B．点C和D都在椭圆M上 C．点D和E都在椭圆M上 D．点E和B都在椭圆M上 C 返回导航 解析：由同心圆及点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上得|AF1|＋|AF2|＝3＋9＝12，因为|BF1|＋|BF2|＝5＋9＝14≠12，|CF1|＋|CF2|＝5＋6＝11≠12，|DF1|＋|DF2|＝5＋7＝12，|EF1|＋|EF2|＝11＋1＝12.故点D和E都在椭圆M上． 返回导航 C 返回导航 感悟提升 关于椭圆定义的理解 (1)在椭圆定义中，2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含条件． (2)在椭圆定义中，设M为平面内任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则满足|MF1|＋|MF2|＝2a的动点M一定在椭圆上；反过来，椭圆上的任意一点M都满足|MF1|＋|MF2|＝2a. 返回导航 知识点二　求椭圆的标准方程 思考1　在研究圆的方程时，不同的坐标系得到的圆的方程相同吗？ 提示：坐标系不同，得到的圆的方程不相同． 思考2　类比圆的方程，结合椭圆的形成过程，怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单些？ 提示：结合图形的对称性，以F1F2所在的直线以及线段F1F2的垂直平分线作为坐标轴建立坐标系，所得的方程更简单． 返回导航 [知识梳理] b2＋c2 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 返回导航 [例1] (对接教材例2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 求椭圆的标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法：①作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能． ②设方程：依据上述判断设出椭圆的方程． ③寻关系：依据已知条件，建立关于a，b，c的方程组． ④解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求． 注意　在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 B 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 【解析】　由a2＝25，则a＝5，所以2a＝10，根据椭圆的定义，点P到右焦点的距离为10－6＝4. C 返回导航 15 23 返回导航 感悟提升 椭圆定义的双向运用 判断 (正用) 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点间的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 (逆用) 椭圆上的点一定满足定义中的条件，即到两定点的距离之和为2a 返回导航 B 返回导航 D 返回导航 返回导航 5 返回导航 返回导航 母题探究1　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积． 返回导航 母题探究2　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝θ”，问P位于椭圆的什么位置时，θ最大？ 返回导航 感悟提升 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△F1PF2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 返回导航 感悟提升 返回导航 A 解析：由题及椭圆的定义得，|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，故四边形AF1BF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝8. 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 43 1．(多选)平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是(　　) A．M到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为4 B．M到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为6 C．M到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为6 D．M到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为8 解析：因为两定点(0，2)，(0，－2)的距离为4，且4<6，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义； 因为两定点(3，0)，(－3，0)的距离为6，且6<8，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合椭圆定义． BD 返回导航 AD 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：椭圆的定义及其应用、椭圆的标准方程的求解及判别、椭圆中的焦点三角形问题． 2．须贯通：求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法． 用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：椭圆定义中a，b，c的关系；不同坐标系下椭圆的两种标准方程． 返回导航 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图象 焦点坐标 _______________________ _______________________ a，b，c的关系 a2＝_______ 应用点一　椭圆方程与定义的直接应用 角度1　参数问题 [例2]“m>1”是“椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (0，] $